준비. 실수와 함수

미적분학은 실수 위의 함수를 다룹니다. 이 장에서는 뒤에서 계속 쓸 실수의 성질, 절댓값으로 거리를 재는 법, 그리고 기본 함수들을 정리합니다. 집합과 함수의 일반적인 정의는 이산수학 4·5강과 선형대수 0장에 있습니다.

0.1 실수와 구간

실수 전체의 집합을 $\mathbb{R}$로 씁니다. 실수는 사칙연산과 대소 비교가 되고, 수직선 위의 점과 일대일로 대응합니다.

정의 0.1 (구간). $a < b$일 때

실수의 가장 중요한 성질은 “빈틈이 없다”는 것입니다.

공리 (완비성). 위로 유계(어떤 수 $M$보다 크지 않음)인 공집합이 아닌 실수의 집합에는 최소 상계(상한, $\sup$)가 있습니다.

유리수는 이 성질이 없습니다. $\{x \in \mathbb{Q} \mid x^2 < 2\}$의 상한 $\sqrt2$는 유리수가 아닙니다(이산수학 3강의 정리 3.6). 극한이 존재한다는 정리(단조수렴 정리, 중간값 정리, 최대·최소 정리)는 모두 이 성질에 기댑니다.

0.2 절댓값과 거리

정의 0.2 (절댓값). $|x| = x$ ($x \ge 0$), $|x| = -x$ ($x < 0$). $|x - a|$는 수직선에서 $x$와 $a$ 사이의 거리입니다.

정리 0.3. $\delta > 0$일 때 $|x - a| < \delta \iff a - \delta < x < a + \delta$.

정리 0.4 (삼각부등식). $|x + y| \le |x| + |y|$.

증명. $-|x| \le x \le |x|$, $-|y| \le y \le |y|$를 더하면 $-(|x| + |y|) \le x + y \le |x| + |y|$이고, 정리 0.3에 따라 $|x + y| \le |x| + |y|$입니다. □

1장의 극한의 정의는 “거리가 $\delta$보다 가까우면 값의 거리가 $\varepsilon$보다 가깝다”는 절댓값 부등식으로 쓰입니다.

예제 0.5. $|2x - 6| < 1$을 풀면 $|x - 3| < 1/2$, 곧 $2.5 < x < 3.5$입니다.

0.3 함수와 그래프

정의 0.6. 실수의 부분집합 $D$의 각 $x$에 실수 $f(x)$를 하나씩 정하는 규칙 $f$를 함수(function)라 하고, $D$를 정의역(domain), $\{f(x) \mid x \in D\}$를 치역(range)이라 합니다. 점 $(x, f(x))$의 모임을 그래프라 합니다.

식만 주어지면 식이 뜻을 갖는 가장 큰 집합을 정의역으로 봅니다. $f(x) = \sqrt{x - 1}$이면 $[1, \infty)$, $g(x) = 1/(x^2 - 4)$이면 $x \ne \pm 2$입니다.

정의 0.7 (우함수, 기함수). 모든 $x$에서 $f(-x) = f(x)$이면 우함수(그래프가 $y$축 대칭), $f(-x) = -f(x)$이면 기함수(원점 대칭)입니다.

정의 0.8 (증가, 감소). $x_1 < x_2$이면 $f(x_1) < f(x_2)$일 때 증가(increasing), $f(x_1) > f(x_2)$일 때 감소(decreasing)합니다.

0.4 합성과 역함수

정의 0.9. $(f \circ g)(x) = f(g(x))$. 일반적으로 $f \circ g \ne g \circ f$입니다.

예제 0.10. $f(x) = x^2$, $g(x) = x + 1$이면 $(f \circ g)(x) = (x+1)^2$, $(g \circ f)(x) = x^2 + 1$입니다.

정의 0.11 (역함수). 단사인 $f$에 대해 $f^{-1}(y) = x \iff f(x) = y$. 그래프는 직선 $y = x$에 대칭입니다.

증가함수나 감소함수는 단사이므로 역함수가 있습니다. $x^2$은 $\mathbb{R}$에서 단사가 아니지만 정의역을 $[0, \infty)$로 줄이면 역함수 $\sqrt{x}$가 있습니다.

0.5 기본 함수

다항함수와 유리함수. $p(x) = a_n x^n + \cdots + a_0$, 그리고 다항식의 비 $p(x)/q(x)$.

지수함수. $a > 0$, $a \ne 1$일 때 $a^x$. 지수법칙 $a^{x+y} = a^x a^y$, $(a^x)^y = a^{xy}$를 만족합니다. 미적분학에서는 밑 $e \approx 2.71828$을 주로 씁니다. $e$가 특별한 이유는 3장에서 $(e^x)' = e^x$로 드러납니다.

로그함수. $\log_a x$는 $a^x$의 역함수입니다. $\ln x = \log_e x$로 씁니다.

정리 0.12 (로그 법칙). $\ln(xy) = \ln x + \ln y$, $\ln(x/y) = \ln x - \ln y$, $\ln x^r = r\ln x$, $\log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a}$.

삼각함수. 각은 라디안으로 잽니다(반지름 1인 원에서 호의 길이). $\pi$ 라디안 $= 180°$입니다. 단위원 위의 점 $(\cos\theta, \sin\theta)$로 정의하므로 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$이고, 둘 다 주기가 $2\pi$입니다. 자세한 내용은 푸리에 해석의 준비 장에 있습니다.

쓰이는 곳. 머신러닝 모델은 입력에서 출력으로 가는 함수이고, 활성화 함수(시그모이드 $\frac{1}{1+e^{-x}}$, ReLU $\max(0, x)$)와 손실 함수(로그 손실 $-\ln p$)는 이 장의 기본 함수로 만듭니다. 로그는 곱을 합으로 바꿔 주므로 확률의 곱을 다룰 때 거의 언제나 로그를 씁니다.

0.6 이 장의 요약

• $|x - a| < \delta$는 “$a$에서 $\delta$ 안쪽”, 삼각부등식 $|x + y| \le |x| + |y|$.
• 역함수가 있으려면 단사여야 합니다.
• 기본 함수: 다항·유리, $e^x$와 $\ln x$, $\sin$과 $\cos$(라디안).

문제

3
5
1/2
-1/2

2

1,4

4

3