미분방정식의 뜻과 계수, 초기값 문제, 기울기장, 변수분리형 방정식, 지수 증가와 감쇠, 로지스틱 방정식, 해의 존재와 유일성
미분방정식 (DE)
변화율로 세상을 기술하는 방법: 변수분리형과 일차 선형 방정식, 진동과 공명, 연립 선형계와 고윳값, 상평면과 안정성, 수치 풀이(오일러·RK4), 라플라스 변환, 편미분방정식 맛보기까지 다룹니다.
뉴턴의 운동 법칙, 전기 회로, 인구 증가, 방사성 붕괴, 열의 전달은 모두 “어떤 양이 얼마나 빨리 변하는가”로 기술됩니다. 이런 관계를 식으로 쓴 것이 미분방정식이고, 그 식에서 양 자체를 찾아내는 것이 미분방정식을 푸는 일입니다. 최근에는 신경망의 깊이를 연속 시간으로 본 신경 ODE, 잡음을 거꾸로 되돌리는 확산 모델처럼 머신러닝에서도 핵심 언어가 되었습니다.
- 미적분학 전체와 선형대수의 고윳값(7·16장)을 바탕으로 합니다. 7장은 푸리에 해석과, 8장은 다변수 미적분과 이어집니다.
- 물리·공학 논문의 운동 방정식과 회로 방정식은 2–5장, 머신러닝의 신경 ODE·확산 모델·경사 흐름은 5·6장과 이어집니다.
- 수치 답은 분수, π·√가 든 식, 소수로 써도 채점됩니다.
| 부 | 단원 | 수 | 진도 |
|---|---|---|---|
| 1부. 일계 방정식 | DE.1–DE.2 | 2 | |
| 2부. 선형 방정식과 연립계 | DE.3–DE.5 | 3 | |
| 3부. 풀이 도구와 확장 | DE.6–DE.9 | 4 |
1부. 일계 방정식
- DE.1
- DE.2
- 일계 선형 방정식의 꼴, 적분인자, 동차해와 특수해의 합, RC 회로와 혼합 문제, 시간 상수, 평형과 과도 응답
2부. 선형 방정식과 연립계
- DE.3
- 용수철–질량 계, 상수계수 동차 방정식, 특성방정식의 세 경우, 단순조화운동, 감쇠 진동(부족·임계·과감쇠), 해의 중첩
- DE.4
- 비동차 이계 방정식, 미정계수법, 복소지수 입력, 진폭 응답과 위상, 공명과 Q 인자, RLC 회로, 맥놀이
- DE.5
- 고계 방정식을 일계 연립계로, x′ = Ax, 고윳값과 고유벡터로 풀기, 행렬 지수함수, 상평면의 분류(마디점·안장점·나선·중심), 안정성 판정
3부. 풀이 도구와 확장
- DE.6
- 평형점, 야코비 행렬로 선형화, 진자와 포식자–피식자 모형, 리아푸노프 함수, 경사 흐름, 극한 주기와 혼돈 맛보기
- DE.7
- 오일러 방법, 국소·전역 오차와 정확도의 차수, 개선된 오일러(호인) 방법, 4차 룽게–쿠타(RK4), 안정성과 강성 방정식, 후진 오일러, 적응 간격, 신경 ODE
- DE.8
- 라플라스 변환의 정의와 기본 쌍, 도함수의 변환, 미분방정식을 대수 방정식으로, 부분분수와 역변환, 계단함수와 충격, 전달함수와 극점
- DE.9
- 편미분방정식의 세 대표(열·파동·라플라스 방정식), 경계 조건, 변수분리와 푸리에 급수, 열방정식의 감쇠, 파동의 정상파, 확산과 확률, 수치 격자