선형대수 단원들의 구성, 같은 개념을 세 번 만나는 순서, 공부하는 방법, 문제의 종류, 기호
선형대수 (LA)
벡터와 행렬을 그림으로 보는 데서 시작해 계산 선형대수, 추상 벡터공간, 조르당 형식, 텐서곱과 응용까지 갑니다.
정의에서 출발해 손으로 계산할 수 있는 데까지 갑니다. 같은 개념을 그림, 계산, 추상의 세 번에 걸쳐 만납니다. 단원마다 정의와 정리, 예제, 문제가 있고, 값을 바꿔 가며 볼 수 있는 곳에는 위젯이 있습니다.
- 각 단원 끝의 확인 문제를 모두 맞히면 단원이 완료됩니다. 잠금은 없으므로 어느 단원부터 읽어도 됩니다.
- 위젯은 먼저 결과를 예측하고 확인하는 방식이 기본입니다. 위젯 위의 단추로 자유 조작으로 바꿀 수 있습니다.
- 증명과 서술형 문제는 풀이를 연 뒤 스스로 채점합니다.
- 단원마다 난이도가 붙어 있습니다. 기본은 고등학교 바로 다음, 심화는 대학 1~2학년, 고급은 특정 분야에만 필요한 내용입니다. 고급 단원은 건너뛰어도 뒤 단원을 읽을 수 있습니다.
| 부 | 단원 | 수 | 진도 |
|---|---|---|---|
| 0부. 준비 | LA.안내–LA.1 | 3 | |
| 1부. 그림으로 보는 선형대수 | LA.2–LA.7 | 6 | |
| 2부. 계산 선형대수 | LA.8–LA.19 | 12 | |
| 3부. 추상 선형대수 | LA.20–LA.28 | 9 | |
| 4부. 심화 | LA.29–LA.32 | 4 | |
| 부록 | LA.A–LA.B | 2 |
0부. 준비
- LA.안내
- LA.0
- 집합과 곱집합, 수의 집합, 명제와 연결어, 한정기호와 부정, 합의 기호, 함수와 단사·전사·전단사, 합성과 역함수
- LA.1
- 직접 증명, 대우, 귀류법, 수학적 귀납법, 두 방향의 포함과 반례, 증명을 쓰는 습관
1부. 그림으로 보는 선형대수
- LA.2
- 화살표와 숫자 목록으로서의 벡터, 두 점 사이의 벡터, 덧셈과 스칼라배와 뺄셈, 8가지 연산 법칙, 길이와 내적, 내적과 각
- LA.3
- 일차결합, 일차결합을 찾는 연립방정식과 행 그림·열 그림, 해의 개수, span과 그 성질, R³에서의 span, 쓸모없는 벡터
- LA.4
- 선형변환의 정의와 격자 그림, 기저벡터의 행선지, 표준행렬, 행렬과 벡터의 곱(열 그림·행 그림), 평면의 기본 변환, Ax = b의 세 가지 읽기
- LA.5
- 선형변환의 합성과 행렬곱의 정의, 크기 규칙, 행렬곱의 네 가지 계산법, 연산 법칙과 교환법칙의 실패, 거듭제곱과 회전의 덧셈정리, 전치와 대칭행렬
- LA.6
- 평행사변형의 넓이와 2×2 행렬식, 부호와 방향, 모든 도형의 넓이 배율, 곱의 행렬식, 행렬식이 0일 때와 2×2 역행렬 공식, 3×3 행렬식과 부피
- LA.7
- 방향이 바뀌지 않는 벡터, 고윳값과 고유벡터의 정의, 특성방정식과 대각합·행렬식, 사영·층밀림·회전·반사의 고유벡터, 거듭제곱과 피보나치 수열, 1부 정리
2부. 계산 선형대수
- LA.8
- 소거의 아이디어와 피벗·승수, 3×3 예제, 첨가행렬과 기본 행 연산, 행 교환과 특이한 경우, 소거행렬과 치환행렬, 계산량과 피벗으로 구하는 행렬식
- LA.9
- 역행렬의 정의와 유일성, 이미 아는 역행렬들, 역행렬의 성질, 가우스–요르단 소거, 가역성의 동치 조건, LU 분해와 전진대입·후진대입, LDLᵀ와 PA = LU
- LA.10
- 부분공간의 정의와 예, 부분공간이 아닌 집합, 교집합, 열공간과 해의 존재, 영공간과 해 전체의 구조, 행 연산이 보존하는 부분공간, 4대 부분공간
- LA.11
- 직사각행렬의 소거, 사다리꼴과 피벗 열·자유 열, 기약 행 사다리꼴 R, 특수해와 영공간, 랭크와 랭크 1 행렬, Ax = b의 완전한 해, 랭크로 보는 네 가지 경우
- LA.12
- 일차독립과 일차종속, 행렬로 판정하기, 기저와 좌표의 유일성, 독립 목록과 span 목록의 길이, 차원, 기저의 존재와 지름길, 4대 부분공간의 기저와 차원, 행 랭크 = 열 랭크, 랭크–영공간 정리
- LA.13
- 직교하는 부분공간과 직교여공간, 영공간과 행공간의 직교, 직교 분해, 코시–슈바르츠 부등식과 삼각부등식, 직선 위로의 사영과 사영행렬, 부분공간 위로의 사영과 정규방정식, 최소제곱
- LA.14
- 정규직교 벡터와 직교행렬, 길이와 각의 보존, 정규직교 기저에서의 좌표와 사영, 그람–슈미트 과정, A = QR 분해와 QR로 푸는 최소제곱
- LA.15
- 세 가지 기본 성질로 정의한 행렬식, 성질에서 나오는 결과와 피벗의 곱, 곱과 전치, 큰 공식과 순열, 여인수 전개, 크래머 공식과 역행렬 공식, 행렬식과 부피
- LA.16
- 특성다항식, 고윳값과 대각합·행렬식, 대각화 A = XΛX⁻¹, 서로 다른 고윳값의 고유벡터, 거듭제곱과 차분방정식, 대수적·기하적 중복도, 닮음, 복소 고윳값
- LA.17
- 대칭행렬의 실수 고윳값과 수직인 고유벡터, 스펙트럴 정리와 스펙트럴 분해, 양정치 행렬의 다섯 가지 판정법, 숄레스키 분해, 이차형식과 주축 정리
- LA.18
- 원을 타원으로 보내는 그림, SVD의 구성 A = UΣVᵀ, SVD와 4대 부분공간, 랭크 1 조각들의 합과 가장 좋은 근사, 특잇값의 의미와 조건수, 유사역행렬
- LA.19
- 기저 없이 정의한 선형변환, 기저에 대한 행렬과 좌표, 합성의 행렬, 기저변환 행렬과 닮음 B = M⁻¹AM, 입력과 출력에 다른 기저, 2부의 분해들을 좋은 기저로 다시 읽기
3부. 추상 선형대수
- LA.20
- 체(유리수, 실수, 복소수, F₂, Fₚ), 벡터공간의 여덟 공리, 함수·다항식·행렬·수열 공간, 공리에서 나오는 기본 성질, 부분공간 판정, 부분공간의 합과 직합
- LA.21
- 추상 벡터공간의 span과 유한차원, 일차종속 보조정리, 행렬 없이 증명하는 교환 정리, 기저의 판정과 줄이기·늘이기, 여공간, 차원, 합의 차원 공식
- LA.22
- 선형사상과 L(V, W), 기저 위의 값으로 정해지는 사상, 영공간과 치역, 선형사상의 기본정리, 선형사상의 행렬, 가역성과 동형, 몫공간과 제1 동형정리, 쌍대공간과 쌍대사상, 행 랭크 = 열 랭크의 재증명
- LA.23
- 계수의 유일성과 반데르몽드 행렬, 차원 세기로 증명하는 나눗셈 정리, 인수정리와 근의 개수, 대수학의 기본정리, 실수 계수 다항식의 켤레근과 인수분해, 연산자에 다항식 대입하기
- LA.24
- 불변부분공간과 고유벡터, 행렬식 없이 증명하는 고윳값의 존재, 최소다항식의 존재·유일성과 근, 위삼각화와 위삼각행렬에서 읽는 것, 최소다항식으로 판정하는 대각화 가능성, 교환하는 연산자의 공통 고유벡터
- LA.25
- 내적의 공리와 복소 내적, 노름과 수직, 피타고라스와 코시–슈바르츠, 정규직교 기저와 파르스발 등식, 그람–슈미트와 슈어의 정리, 리스 표현 정리, 직교여공간과 직교사영, 함수의 근사와 푸리에 급수
- LA.26
- 수반연산자와 켤레전치, 자기수반 연산자와 정규 연산자, 복소·실수 스펙트럴 정리, 양연산자와 제곱근, 등거리사상, 극분해와 연산자 버전의 특잇값 분해
- LA.27
- 거듭제곱의 영공간 사슬과 null Tⁿ ⊕ range Tⁿ, 일반화 고유벡터와 일반화 고유공간, 멱영 연산자, 일반화 고유공간 분해, 행렬식 없는 특성다항식과 케일리–해밀턴 정리, 조르당 블록과 조르당 형식, 블록 크기를 세는 법
- LA.28
- 다중선형 형식과 쌍선형 형식의 행렬, 교대 형식과 그 성질, 교대 n-형식의 공간이 1차원임, 행렬 없이 정의한 연산자의 행렬식, 행렬식과 특성다항식, 부피와 특잇값, 외적의 정체
4부. 심화
- LA.29
- 순환 부분공간과 동반행렬, F[x]-모듈 V_T, 아이디얼과 최대공약수, 표현 정리 V_A ≅ F[x]ⁿ/(xI − A)F[x]ⁿ, 스미스 표준형과 불변 인자, 유리 표준형과 닮음 판정, 기본 인자와 조르당 형식, 유한생성 아벨 군
- LA.30
- 부동소수점과 상쇄, 벡터 노름과 연산자 노름, 에카르트–영 정리의 증명, 조건수, 후방 안정성과 부분 피벗팅, 하우스홀더 QR, 거듭제곱법과 QR 알고리즘, 야코비 반복과 스펙트럼 반지름
- LA.31
- 마르코프 연쇄와 페이지랭크, 주성분 분석과 저랭크 근사, 그래프 라플라시안과 키르히호프 법칙, 해밍 부호, 동차좌표와 컴퓨터 그래픽스, 행렬 지수함수와 미분방정식, 선형 점화식
- LA.32
- 크로네커 곱과 혼합곱 법칙, vec과 실베스터 방정식, 기저 없이 정의한 텐서곱 공간, 순수 텐서와 랭크 1, 보편성, 연산자의 텐서곱과 슈미트 분해, 큐비트와 얽힘, 외대수와 행렬식
부록
- LA.A
- 복소수의 정의와 연산, 켤레와 절댓값, 복소평면과 극형식, 곱은 회전과 확대, 복소수를 2×2 실수 행렬로 보기, 복소 벡터의 내적
- LA.B
- 선형대수 단원에서 쓰는 기호를 집합과 수, 벡터, 행렬, 공간과 사상, 기타로 나누어 뜻과 처음 나오는 장과 함께 모은 표