복소수의 연산, 복소평면과 켤레, 절댓값과 삼각부등식, 극형식과 오일러 공식, 곱셈은 회전과 확대, 드무아브르 공식과 거듭제곱근, 복소평면의 영역
복소해석학 (CV)
복소평면과 극형식, 복소함수와 사상, 정칙함수와 코시–리만 방정식, 경로적분과 코시 정리, 코시 적분 공식과 그 결과, 로랑 급수와 특이점, 유수 정리와 실적분, 등각 사상과 응용까지 다룹니다.
복소수는 “음수의 제곱근”이라는 기묘한 출발과 달리, 회전과 진동을 다루는 가장 자연스러운 언어입니다. 복소수에서 미분가능한 함수는 실수 함수와 비교할 수 없을 만큼 강한 성질을 가져서, 한 번 미분가능하면 무한 번 미분가능하고, 경계의 값만으로 안쪽이 모두 정해집니다. 이 성질 덕분에 실수만으로는 어려운 적분을 쉽게 계산하고(유수 정리), 2차원 물리 문제를 지도 바꾸듯 풀며(등각 사상), 신호의 안정성을 극점으로 판정합니다.
- 미적분학, 다변수 미적분 9장(선적분)과 선형대수 부록 A(복소수)를 바탕으로 합니다. 푸리에 해석 2장을 읽었다면 1장은 빠르게 넘겨도 됩니다.
- 물리·공학 논문의 유수 계산, 극점 해석, 분산 관계는 6·7장, 2차원 유체와 정전기 문제는 8장과 이어집니다.
- 수치 답은 분수, π·√가 든 식, 소수로 써도 채점됩니다.
| 부 | 단원 | 수 | 진도 |
|---|---|---|---|
| 1부. 복소수와 정칙함수 | CV.1–CV.3 | 3 | |
| 2부. 복소 적분 | CV.4–CV.5 | 2 | |
| 3부. 급수, 유수, 응용 | CV.6–CV.8 | 3 |
1부. 복소수와 정칙함수
- CV.1
- CV.2
- 복소함수를 평면에서 평면으로의 사상으로 보기, 거듭제곱·지수·삼각함수, 복소 로그와 가지, 1/z와 뫼비우스 변환, 극한과 연속
- CV.3
- 복소 미분의 정의, 방향과 무관해야 한다는 조건, 코시–리만 방정식, 정칙함수, 미분 규칙, 조화함수와 켤레, 등각성
2부. 복소 적분
- CV.4
- 복소 경로적분의 정의와 계산, ∮dz/z = 2πi, 원시함수와 경로 독립, ML 부등식, 코시 정리, 경로의 변형
- CV.5
- 코시 적분 공식, 도함수 공식과 무한 번 미분가능성, 평균값 성질, 리우빌 정리, 대수학의 기본정리, 최대 절댓값 원리
3부. 급수, 유수, 응용
- CV.6
- 복소 거듭제곱급수와 수렴 반지름, 정칙이면 테일러 전개 가능, 영점, 로랑 급수, 고립 특이점의 세 종류(제거 가능·극·본질적), 유수의 정의
- CV.7
- 유수 정리, 유리함수의 실적분(큰 반원), 삼각함수의 적분(단위원), 조르당 보조정리와 푸리에형 적분, 역 라플라스 변환과 극점, 편각 원리
- CV.8
- 등각 사상으로 영역 바꾸기, 리만 사상 정리, 조화함수의 전달, 2차원 정전기와 열전달, 복소 퍼텐셜과 이상 유체, 주코프스키 변환과 날개