10장. 적분의 응용

정적분이 “작은 조각의 합의 극한”이라는 것을 쓰면, 넓이 말고도 많은 양을 적분으로 구할 수 있습니다. 매번 같은 순서입니다. (1) 작은 조각 하나를 잘라 그 양을 $f(x)\,\Delta x$ 로 어림하고, (2) 모두 더한 것의 극한을 $\int f(x)\,dx$ 로 씁니다.

10.1 두 곡선 사이의 넓이

정리 10.1. $[a, b]$ 에서 $f \ge g$ 이면 두 곡선 사이의 넓이는 $\displaystyle\int_a^b (f(x) - g(x))\,dx$ 입니다.

폭 $dx$ 인 세로 띠의 높이가 $f(x) - g(x)$ 이기 때문입니다. 위아래가 바뀌는 곳이 있으면 구간을 나눠 $|f - g|$ 를 적분합니다.

예제 10.2. $y = x^2$ 과 $y = x$ 로 둘러싸인 넓이. 교점은 $x = 0, 1$ 이고 그 사이에서 $x \ge x^2$ 이므로 $\int_0^1(x - x^2)dx = \frac12 - \frac13 = \frac16$ 입니다.

10.2 회전체의 부피

정리 10.3 (단면적). $x$ 에서의 단면의 넓이가 $A(x)$ 인 입체의 부피는 $\int_a^b A(x)\,dx$ 입니다.

원판법. $y = f(x)$ 를 $x$ 축 둘레로 돌리면 단면이 반지름 $f(x)$ 인 원이므로

V = \int_a^b \pi f(x)^2\,dx.

예제 10.4 (구의 부피). $y = \sqrt{r^2 - x^2}$ 를 돌리면 $\int_{-r}^r\pi(r^2 - x^2)dx = \pi\left(2r^3 - \frac{2r^3}3\right) = \frac43\pi r^3$ 입니다.

원통껍질법. $y = f(x)$ ( $a \le x \le b$ , $a \ge 0$ ) 아래 영역을 $y$ 축 둘레로 돌리면, $x$ 에 있는 폭 $dx$ 띠가 반지름 $x$ , 높이 $f(x)$ 인 얇은 원통 껍질이 됩니다. 펼치면 넓이 $2\pi x f(x)$ 인 판이므로

V = \int_a^b 2\pi x f(x)\,dx.

예제 10.5. $y = x - x^2$ ( $0 \le x \le 1$ ) 아래를 $y$ 축 둘레로 돌린 부피: $\int_0^1 2\pi x(x - x^2)dx = 2\pi\left(\frac13 - \frac14\right) = \frac\pi6$ .

10.3 곡선의 길이

짧은 조각을 선분으로 어림하면 길이는 $\sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} = \sqrt{1 + f'(x)^2}\,dx$ 입니다.

정리 10.6. $f'$ 이 연속이면 $y = f(x)$ ( $a \le x \le b$ )의 길이는 $\displaystyle\int_a^b\sqrt{1 + f'(x)^2}\,dx$ 입니다.

예제 10.7. $y = \frac23x^{3/2}$ ( $0 \le x \le 3$ ): $f' = \sqrt x$ 이므로 $\int_0^3\sqrt{1 + x}\,dx = \frac23\left[(1 + x)^{3/2}\right]_0^3 = \frac23(8 - 1) = \frac{14}3$ .

근호 때문에 원시함수를 구할 수 있는 경우가 드뭅니다. 대부분은 수치적분으로 계산합니다.

10.4 일

일정한 힘 $F$ 로 거리 $d$ 를 움직이면 일은 $W = Fd$ 입니다. 힘이 위치에 따라 바뀌면 작은 구간마다 $F(x)\,dx$ 를 더해

W = \int_a^b F(x)\,dx.

예제 10.8 (용수철). 훅의 법칙 $F = kx$ 에서 자연 길이로부터 $0.1$ m 늘리는 데 드는 일은 $\int_0^{0.1}kx\,dx = 0.005k$ 입니다. $k = 200$ N/m이면 1 J입니다.

예제 10.9 (물 퍼내기). 반지름 1 m, 깊이 2 m인 원기둥 물통의 물을 위로 모두 퍼낸다면? 바닥에서 높이 $y$ 인 얇은 물 층(부피 $\pi\cdot1^2\,dy$ , 무게 $\rho g\pi\,dy$ )을 $2 - y$ 만큼 올리므로 $W = \int_0^2\rho g\pi(2 - y)\,dy = 2\pi\rho g$ 입니다. $\rho g \approx 9800$ N/m³이면 약 $61{,}600$ J입니다.

10.5 확률밀도와 기댓값

연속적인 값을 갖는 확률변수는 확률을 넓이로 줍니다. 이산수학 13강의 합이 적분으로 바뀝니다.

정의 10.10. $f \ge 0$ 이고 $\int_{-\infty}^\infty f\,dx = 1$ 인 함수를 확률밀도함수(probability density function, pdf)라 하고 $P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx$ , $E[X] = \int_{-\infty}^\infty xf(x)\,dx$ 로 정합니다.

예제 10.11 (지수분포). 평균 대기 시간이 $\mu$ 인 현상의 대기 시간은 $f(x) = \frac1\mu e^{-x/\mu}$ ( $x \ge 0$ )를 따릅니다. $E[X] = \int_0^\infty\frac x\mu e^{-x/\mu}dx = \mu$ (9장의 부분적분)이고, $P(X > t) = e^{-t/\mu}$ 입니다.

예제 10.12 (정규분포). $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ . 전체 적분이 1이 되는 것은 가우스 적분 $\int e^{-x^2/2}dx = \sqrt{2\pi}$ 때문입니다.

쓰이는 곳. 확률밀도함수와 기댓값 $\mathbb{E}[X] = \int x f(x)\,dx$ 는 머신러닝 논문에서 가장 자주 나오는 적분입니다. 물리에서는 일, 질량 중심, 관성 모멘트를 적분으로 구합니다.

10.6 이 장의 요약

양	작은 조각	적분
사이 넓이	$(f - g)\,dx$	$\int(f - g)\,dx$
원판 부피	$\pi f^2\,dx$	$\int\pi f^2\,dx$
껍질 부피	$2\pi xf\,dx$	$\int 2\pi xf\,dx$
곡선 길이	$\sqrt{1 + f'^2}\,dx$	$\int\sqrt{1 + f'^2}\,dx$
일	$F\,dx$	$\int F\,dx$

문제

10.1 [계산] · 확인 문제

$y = 4 - x^2$ 과 $x$ 축으로 둘러싸인 넓이는? (분수로 답할 수 있습니다)

정답

32/3

풀이

교점 $x = \pm2$ . $\int_{-2}^2(4 - x^2)dx = 16 - \frac{16}3 = \frac{32}3$ 입니다.

10.2 [계산] · 확인 문제

$y = \sqrt x$ ( $0 \le x \le 4$ )를 $x$ 축 둘레로 돌린 입체의 부피는? (π가 든 식으로 답할 수 있습니다)

정답

8π

풀이

$\int_0^4\pi x\,dx = 8\pi$ 입니다.

10.3 [계산] · 확인 문제

$y = x^2$ 과 $y = 2x$ 로 둘러싸인 영역의 넓이는?

정답

4/3

풀이

교점 $x = 0, 2$ , 그 사이에서 $2x \ge x^2$ . $\int_0^2(2x - x^2)dx = 4 - \frac83 = \frac43$ 입니다.

10.4 [계산]

반지름 $r$ , 높이 $h$ 인 원뿔의 부피 공식 $V = k\pi r^2 h$ 에서 $k$ 는? (원판법으로 구합니다)

힌트 1

꼭짓점을 원점에 두고 $y = \frac rh x$ ( $0 \le x \le h$ )를 $x$ 축 둘레로 돌립니다.

정답

1/3

풀이

$\int_0^h\pi\frac{r^2}{h^2}x^2dx = \pi\frac{r^2}{h^2}\cdot\frac{h^3}3 = \frac13\pi r^2h$ 이므로 $k = \frac13$ 입니다.

10.5 [계산]

평균 대기 시간이 10분인 지수분포에서 20분 넘게 기다릴 확률은? (소수 넷째 자리까지)

정답

0.1353

풀이

$P(X > 20) = e^{-20/10} = e^{-2} \approx 0.1353$ 입니다.

10.6 [증명]

원통껍질법으로 반지름 $r$ 인 구의 부피 $\frac43\pi r^3$ 을 다시 구합니다.

풀이

반원판 $0 \le x \le r$ , $|y| \le \sqrt{r^2 - x^2}$ 를 $y$ 축 둘레로 돌리면 구가 됩니다. 높이는 $2\sqrt{r^2 - x^2}$ 이므로 $V = \int_0^r2\pi x\cdot2\sqrt{r^2 - x^2}\,dx$ . $u = r^2 - x^2$ 으로 치환하면 $2\pi\int_0^{r^2}\sqrt u\,du = 2\pi\cdot\frac23r^3 = \frac43\pi r^3$ 입니다.