0장. 기호와 집합·함수

요약

집합과 곱집합, 수의 집합, 명제와 연결어, 한정기호와 부정, 합의 기호, 함수와 단사·전사·전단사, 합성과 역함수

수학책과 논문은 '모든', '어떤', '~의 원소', '~에서 ~로 가는 함수' 같은 말을 기호로 짧게 씁니다. 이 장은 그 기호들을 처음부터 정리합니다. 고등학교에서 본 집합과 함수를 조금 더 정확하게 다시 보고, 대학 수학에서 매일 쓰는 단사·전사 같은 말을 새로 익힙니다. 이 장의 기호를 알아 두면 뒤의 모든 장과 논문의 첫 쪽이 훨씬 덜 낯섭니다.

0.1 기호가 필요한 이유

질문. 다음 문장을 읽어 봅시다. “어떤 실수를 골라도, 그 수를 제곱한 값은 0보다 작지 않습니다.” 이 문장을 한 줄짜리 식으로 줄일 수 있을까요?

수학책은 말 대신 기호를 씁니다. 기호가 어려워 보이는 이유는 대개 기호 자체가 아니라, 그 기호가 줄여 놓은 긴 문장을 머릿속에서 다시 펼치는 연습이 안 되어 있기 때문입니다. 위 문장은 이 장이 끝나면 다음처럼 쓸 수 있습니다.

\forall x \in \mathbb{R}, \quad x^2 \ge 0

읽는 법은 “모든 실수 $x$ 에 대하여, $x^2$ 은 0 이상입니다”입니다. 기호 하나하나가 문장의 어느 부분을 맡고 있는지 대응시킬 수 있으면 이 장의 목표는 달성된 것입니다.

이 장에서 다루는 것은 네 가지입니다.

집합(set): 대상을 묶는 방법
논리 기호: “모든”, “어떤”, “이면”을 정확하게 쓰는 방법
합의 기호 $\sum$ : 길게 늘어지는 덧셈을 줄이는 방법
함수(function): 한 집합의 원소를 다른 집합의 원소로 보내는 규칙

선형대수의 모든 정의는 이 네 가지 재료로 쓰입니다.

0.2 집합

직관. 집합은 “주머니”입니다. 주머니 안에 무엇이 들어 있는지만 중요하고, 들어 있는 순서나 몇 번 넣었는지는 상관없습니다.

정의 0.1 (집합과 원소). 잘 정의된 대상들의 모임을 집합(set)이라 하고, 집합을 이루는 대상 하나하나를 원소(element)라 합니다. $a$ 가 집합 $A$ 의 원소이면 $a \in A$ 라 쓰고, 원소가 아니면 $a \notin A$ 라 씁니다.

“잘 정의된”이란 어떤 대상이 그 모임에 속하는지 아닌지가 분명하게 결정된다는 뜻입니다. “큰 수들의 모임”은 큰 수의 기준이 없으므로 집합이 아닙니다. “10보다 큰 정수들의 모임”은 집합입니다.

0.2.1 집합을 적는 두 가지 방법

원소나열법은 원소를 중괄호 안에 모두 적습니다.

A = \{1, 2, 3, 4\}

$\{1, 2, 3, 4\}$ , $\{4, 3, 2, 1\}$ , $\{1, 1, 2, 3, 4\}$ 는 모두 같은 집합입니다. 순서와 중복은 의미가 없습니다.

조건제시법은 원소가 만족할 조건을 적습니다.

A = \{\, x \in \mathbb{Z} : 1 \le x \le 4 \,\}

읽는 법은 “ $1 \le x \le 4$ 를 만족하는 정수 $x$ 전체의 집합”입니다. 쌍점(:) 앞에는 어디서 고르는지, 뒤에는 어떤 조건으로 고르는지를 씁니다. 쌍점 대신 세로선 $|$ 을 쓰는 책도 있습니다.

예제 0.2. $B = \{\, x \in \mathbb{R} : x^2 = 4 \,\}$ 를 원소나열법으로 쓰면 $B = \{-2, 2\}$ 입니다. 한편 $C = \{\, x \in \mathbb{R} : x^2 = -1 \,\}$ 에는 원소가 하나도 없습니다.

정의 0.3 (공집합). 원소가 하나도 없는 집합을 공집합(empty set)이라 하고 $\varnothing$ 로 씁니다.

0.2.2 부분집합과 같음

정의 0.4 (부분집합). 집합 $A$ 의 모든 원소가 집합 $B$ 의 원소이면 $A$ 를 $B$ 의 부분집합(subset)이라 하고 $A \subseteq B$ 로 씁니다.

정의 0.5 (집합의 같음). $A \subseteq B$ 이고 $B \subseteq A$ 이면 두 집합이 같다(equal)고 하고 $A = B$ 로 씁니다.

두 번째 정의는 앞으로 아주 자주 쓰입니다. “두 집합이 같습니다”를 증명하라는 문제는 거의 언제나 “ $\subseteq$ 를 양쪽 방향으로 보여라”는 뜻입니다. 선형대수에서 “두 부분공간이 같습니다”를 증명할 때도 이 방법을 씁니다(1장 1.6절).

0.2.3 집합의 연산

정의 0.6 (합집합·교집합·차집합). 두 집합 $A$ , $B$ 에 대하여

\begin{aligned} A \cup B &= \{\, x : x \in A\ \text{또는}\ x \in B \,\} && \text{합집합(union)} \\ A \cap B &= \{\, x : x \in A\ \text{그리고}\ x \in B \,\} && \text{교집합(intersection)} \\ A \setminus B &= \{\, x : x \in A\ \text{그리고}\ x \notin B \,\} && \text{차집합(difference)} \end{aligned}

입니다. 수학에서 “또는”은 둘 다인 경우도 포함합니다. $x$ 가 $A$ 와 $B$ 에 모두 속해도 $x \in A \cup B$ 입니다.

두 원이 겹친 그림(벤 다이어그램)으로 보면 평면이 네 영역으로 나뉩니다. $A$ 에만 있는 영역, 둘 다에 있는 영역, $B$ 에만 있는 영역, 어느 쪽에도 없는 영역입니다. 합집합은 앞의 세 영역, 교집합은 가운데 영역, $A \setminus B$ 는 $A$ 에만 있는 영역입니다.

0.2.4 곱집합: 순서쌍의 집합

이 절에서 가장 중요한 개념입니다. 다음 장에서 벡터를 “숫자의 목록”으로 볼 때 정확히 이 개념을 씁니다.

정의 0.7 (순서쌍과 곱집합). $a \in A$ , $b \in B$ 로 만든 $(a, b)$ 를 순서쌍(ordered pair)이라 합니다. 두 순서쌍은 같은 자리의 성분이 모두 같을 때만 같습니다. 즉

(a, b) = (c, d) \iff a = c\ \text{그리고}\ b = d

다. $A$ 의 원소와 $B$ 의 원소로 만들 수 있는 순서쌍 전체의 집합을 곱집합(Cartesian product)이라 하고 $A \times B$ 로 씁니다.

A \times B = \{\, (a, b) : a \in A,\ b \in B \,\}

집합과 달리 순서쌍은 순서가 중요합니다. $\{1, 2\} = \{2, 1\}$ 이지만 $(1, 2) \ne (2, 1)$ 입니다.

예제 0.8. $A = \{1, 2\}$ , $B = \{x, y, z\}$ 이면

A \times B = \{(1, x), (1, y), (1, z), (2, x), (2, y), (2, z)\}

이고 원소는 $2 \times 3 = 6$ 개입니다.

$\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ 은 실수 두 개로 이루어진 순서쌍 전체, 즉 좌표평면의 점 전체입니다. 이것을 $\mathbb{R}^2$ 이라 씁니다. 같은 방식으로 실수 $n$ 개의 순서 있는 목록 전체를 $\mathbb{R}^n$ 이라 씁니다.

\mathbb{R}^n = \{\, (x_1, x_2, \ldots, x_n) : x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{R} \,\}

▶ 문제 0.1–0.4

0.3 수의 집합

자주 쓰는 수의 집합에는 고정된 이름이 있습니다.

기호	이름	원소의 예
$\mathbb{N}$	자연수	$1, 2, 3, \ldots$
$\mathbb{Z}$	정수	$\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$
$\mathbb{Q}$	유리수	$\frac{p}{q}$ 꼴 ( $p, q \in \mathbb{Z}$ , $q \ne 0$ )
$\mathbb{R}$	실수	$\sqrt{2}$ , $\pi$ , $-0.5$
$\mathbb{C}$	복소수	$a + bi$ 꼴 ( $a, b \in \mathbb{R}$ , $i^2 = -1$ )

이들 사이에는 $\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$ 의 관계가 있습니다. 여기서 $\mathbb{N}$ 은 1부터 시작합니다(0을 포함시키는 책도 있습니다).

선형대수에서는 “어떤 수로 계산하는가”가 결과를 바꾸기도 합니다. 예를 들어 $x^2 + 1 = 0$ 은 $\mathbb{R}$ 에서 해가 없지만 $\mathbb{C}$ 에서는 해 $\pm i$ 가 있습니다. 이 차이는 16장과 24장에서 고윳값이 존재하는지를 결정합니다. 그전까지는 거의 모든 계산을 $\mathbb{R}$ 에서 합니다.

▶ 문제 0.5

0.4 논리 기호

0.4.1 명제와 연결어

정의 0.9 (명제). 참인지 거짓인지가 분명하게 결정되는 문장을 명제(statement)라 합니다.

“ $3 > 2$ ”는 참인 명제, “ $2 + 2 = 5$ ”는 거짓인 명제입니다. “ $x > 2$ ”는 $x$ 가 정해지지 않으면 참·거짓을 알 수 없으므로 아직 명제가 아닙니다.

명제 $P$ , $Q$ 를 연결하는 기호는 다음과 같습니다.

기호	읽는 법	참이 되는 경우
$P \land Q$	$P$ 그리고 $Q$	둘 다 참
$P \lor Q$	$P$ 또는 $Q$	적어도 하나가 참
$\neg P$	$P$ 가 아니다	$P$ 가 거짓
$P \Rightarrow Q$	$P$ 이면 $Q$	$P$ 가 참인데 $Q$ 가 거짓인 경우만 빼고 모두
$P \Leftrightarrow Q$	$P$ 일 필요충분조건은 $Q$	$P$ , $Q$ 의 참·거짓이 같음

$P \Rightarrow Q$ 의 마지막 줄이 처음에는 이상하게 보입니다. “비가 오면 땅이 젖습니다”는 약속을 생각합시다. 이 약속이 깨지는 경우는 비가 왔는데 땅이 안 젖은 경우뿐입니다. 비가 안 온 날에는 땅이 젖든 말든 약속을 어긴 것이 아닙니다. 그래서 $P$ 가 거짓이면 $P \Rightarrow Q$ 는 자동으로 참입니다.

정의 0.10 (역·대우). 명제 $P \Rightarrow Q$ 에 대하여 $Q \Rightarrow P$ 를 역(converse), $\neg Q \Rightarrow \neg P$ 를 대우(contrapositive)라 합니다.

정리 0.11 (대우의 동치). $P \Rightarrow Q$ 와 그 대우 $\neg Q \Rightarrow \neg P$ 는 참·거짓이 항상 같습니다. 반면 역은 원래 명제와 참·거짓이 다를 수 있습니다.

증명. $P \Rightarrow Q$ 가 거짓인 경우는 “ $P$ 참, $Q$ 거짓”뿐입니다. $\neg Q \Rightarrow \neg P$ 가 거짓인 경우는 “ $\neg Q$ 참, $\neg P$ 거짓”, 즉 “ $Q$ 거짓, $P$ 참”뿐입니다. 두 명제가 거짓이 되는 경우가 똑같으므로 참·거짓이 항상 같습니다.

역이 다를 수 있다는 것은 예 하나로 충분합니다. “ $x = 2$ 이면 $x^2 = 4$ ”는 참이지만, 역 “ $x^2 = 4$ 이면 $x = 2$ ”는 $x = -2$ 일 때 거짓입니다. $\blacksquare$

0.4.2 한정기호: 모든, 어떤

정의 0.12 (한정기호).

$\forall x \in A,\ P(x)$ : “ $A$ 의 모든 원소 $x$ 에 대하여 $P(x)$ 입니다.” ( $\forall$ 는 전칭기호(universal quantifier))
$\exists x \in A,\ P(x)$ : “ $P(x)$ 를 만족하는 $x \in A$ 가 적어도 하나 존재합니다.” ( $\exists$ 는 존재기호(existential quantifier))

$\forall$ 는 뒤집힌 A(All), $\exists$ 는 뒤집힌 E(Exists)로 기억하면 됩니다.

한정기호가 두 개 이상이면 순서가 뜻을 바꿉니다. 다음 두 명제를 비교합시다.

\text{(가)}\ \ \forall x \in \mathbb{R},\ \exists y \in \mathbb{R},\ x + y = 0 \qquad\qquad \text{(나)}\ \ \exists y \in \mathbb{R},\ \forall x \in \mathbb{R},\ x + y = 0

(가)는 “어떤 $x$ 를 주든, 그 $x$ 에 맞춰 $y$ 를 고를 수 있습니다”입니다. $y = -x$ 로 고르면 되므로 참입니다. (나)는 “하나의 $y$ 가 있어서, 그 $y$ 가 모든 $x$ 에 대해 동시에 $x + y = 0$ 을 만족합니다”입니다. $x = 0$ 이면 $y = 0$ 이어야 하고 $x = 1$ 이면 $y = -1$ 이어야 하므로 그런 $y$ 는 없습니다. 따라서 거짓입니다.

직관. $\forall x\, \exists y$ 에서는 $y$ 를 고를 때 $x$ 를 보고 고를 수 있습니다. $\exists y\, \forall x$ 에서는 $x$ 를 보기 전에 $y$ 를 먼저 정해야 합니다.

0.4.3 부정

정리 0.13 (한정기호의 부정).

\neg\big(\forall x \in A,\ P(x)\big) \iff \exists x \in A,\ \neg P(x), \qquad \neg\big(\exists x \in A,\ P(x)\big) \iff \forall x \in A,\ \neg P(x)

말로 하면 이렇습니다. “모두 그렇습니다”가 틀렸다는 것은 “그렇지 않은 것이 적어도 하나 있습니다”는 것입니다. “그런 것이 있습니다”가 틀렸다는 것은 “모두 그렇지 않습니다”는 것입니다. 부정을 기계적으로 하는 규칙은 $\forall$ 와 $\exists$ 를 맞바꾸고, 맨 끝의 조건만 부정한다입니다.

예제 0.14. (가)의 부정은 $\exists x \in \mathbb{R},\ \forall y \in \mathbb{R},\ x + y \ne 0$ 입니다.

“그리고”와 “또는”의 부정은 다음과 같습니다(드모르간 법칙).

\neg(P \land Q) \iff \neg P \lor \neg Q, \qquad \neg(P \lor Q) \iff \neg P \land \neg Q

▶ 문제 0.6–0.8

0.5 합의 기호 Σ

질문. $1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + 100^2$ 을 줄여 쓰려면?

정의 0.15 (합의 기호). 수 $a_m, a_{m+1}, \ldots, a_n$ 의 합을

\sum_{k=m}^{n} a_k = a_m + a_{m+1} + \cdots + a_n

로 씁니다. $k$ 를 첨자(index)라 하고, $k$ 는 $m$ 부터 1씩 늘어나 $n$ 에서 멈춥니다.

위 질문의 합은 $\sum_{k=1}^{100} k^2$ 입니다.

예제 0.16.

\sum_{k=1}^{4}(2k - 1) = 1 + 3 + 5 + 7 = 16, \qquad \sum_{j=0}^{3} 2^j = 1 + 2 + 4 + 8 = 15

첨자의 이름은 아무것이나 써도 됩니다. $\sum_{k=1}^n a_k$ 와 $\sum_{i=1}^n a_i$ 는 같은 값입니다. 첨자는 합 안에서만 의미가 있는 “임시 변수”입니다.

정리 0.17 (합의 기호의 성질). 수 $a_k$ , $b_k$ 와 상수 $c$ 에 대하여

$\sum_{k=1}^n (a_k + b_k) = \sum_{k=1}^n a_k + \sum_{k=1}^n b_k$
$\sum_{k=1}^n c\, a_k = c\sum_{k=1}^n a_k$
$\sum_{k=1}^n c = nc$

입니다.

증명. (2)만 보입니다. 나머지는 문제 0.11에서 합니다.

\sum_{k=1}^n c\, a_k = ca_1 + ca_2 + \cdots + ca_n = c(a_1 + a_2 + \cdots + a_n) = c\sum_{k=1}^n a_k

분배법칙을 한 번 쓴 것뿐입니다. $\blacksquare$

성질 (1), (2)를 합쳐 “ $\sum$ 은 선형(linear)입니다”라고 합니다. “선형대수”의 “선형”이 처음 등장하는 곳입니다. 덧셈을 먼저 하고 $\sum$ 을 하든, $\sum$ 을 먼저 하고 더하든 결과가 같다는 뜻입니다. 4장에서 행렬이 정확히 이 성질을 가진다는 것을 보게 됩니다.

0.5.1 이중합

$\sum$ 을 두 번 겹쳐 쓸 수도 있습니다.

\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{3} a_{ij} = \sum_{i=1}^{2}(a_{i1} + a_{i2} + a_{i3}) = a_{11} + a_{12} + a_{13} + a_{21} + a_{22} + a_{23}

안쪽 $\sum$ 부터 계산합니다. 이렇게 두 첨자를 가진 수 $a_{ij}$ 는 표(행 $i$ , 열 $j$ )로 늘어놓을 수 있습니다. 이 표가 바로 행렬(matrix)입니다. 덧셈 범위가 유한하면 $\sum_i\sum_j$ 와 $\sum_j\sum_i$ 는 같습니다. 표의 모든 칸을 더하는데 가로줄부터 더하든 세로줄부터 더하든 결과가 같기 때문입니다.

▶ 문제 0.9–0.11

0.6 함수

직관. 함수는 “기계”입니다. 정해진 입력 상자에서 하나를 넣으면 정해진 출력 상자의 원소 하나가 나옵니다. 같은 것을 넣으면 언제나 같은 것이 나옵니다.

정의 0.18 (함수). 집합 $A$ 의 각 원소 $a$ 에 집합 $B$ 의 원소를 정확히 하나씩 대응시키는 규칙 $f$ 를 $A$ 에서 $B$ 로의 함수(function) 또는 사상(map)이라 하고 $f : A \to B$ 로 씁니다. $a$ 에 대응하는 원소를 $f(a)$ 로 씁니다.

$A$ 를 정의역(domain), $B$ 를 공역(codomain)이라 합니다.
$f(A) = \{\, f(a) : a \in A \,\}$ 를 치역(range, image)이라 합니다.

공역과 치역은 다릅니다. 공역은 “출력이 들어갈 수 있는 곳”이고, 치역은 “실제로 나오는 출력 전체”입니다. $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = x^2$ 이면 공역은 $\mathbb{R}$ 이지만 치역은 $\{\, y \in \mathbb{R} : y \ge 0 \,\}$ 입니다.

0.6.1 단사·전사·전단사

정의 0.19 (단사·전사·전단사). 함수 $f : A \to B$ 에 대하여

서로 다른 입력이 항상 서로 다른 출력으로 가면, 즉 $\forall a_1, a_2 \in A,\ f(a_1) = f(a_2) \Rightarrow a_1 = a_2$ 이면 $f$ 를 단사(injective)라 합니다.
공역의 모든 원소가 어떤 입력의 출력이면, 즉 $\forall b \in B,\ \exists a \in A,\ f(a) = b$ 이면 $f$ 를 전사(surjective)라 합니다.
단사이면서 전사이면 전단사(bijective)라 합니다.

정의역과 공역을 두 타원으로, 대응을 화살표로 그려 봅시다. 공역에 화살표를 받지 못한 점이 있으면 전사가 아닙니다. 한 점이 화살표 두 개를 받으면 단사가 아닙니다. 짝이 정확히 하나씩 맞으면 전단사입니다.

단사의 정의는 대우로 바꿔 “ $a_1 \ne a_2 \Rightarrow f(a_1) \ne f(a_2)$ ”로 읽으면 직관에 더 가깝습니다. 그런데 증명할 때는 원래 형태 “ $f(a_1) = f(a_2)$ 이면 $a_1 = a_2$ ”가 더 쓰기 편합니다. 등식에서 출발해 등식에 도착하는 계산이 되기 때문입니다.

예제 0.20. $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = 2x + 1$ 이 단사임을 보입시다. $f(a_1) = f(a_2)$ 라 하면 $2a_1 + 1 = 2a_2 + 1$ 이므로 $a_1 = a_2$ 입니다.

전사임도 보입시다. 임의의 $b \in \mathbb{R}$ 이 주어졌을 때 $a = \frac{b - 1}{2}$ 로 잡으면 $f(a) = 2 \cdot \frac{b - 1}{2} + 1 = b$ 입니다.

전사를 증명하는 방법을 눈여겨봅시다. “임의의 $b$ 가 주어졌습니다”로 시작해서, 그 $b$ 를 이용해 $a$ 를 직접 만들어 보여 줍니다. 정의의 $\forall b\, \exists a$ 순서가 그대로 증명의 순서가 된 것입니다.

0.6.2 합성과 역함수

정의 0.21 (합성함수). $f : A \to B$ , $g : B \to C$ 에 대하여 $(g \circ f)(a) = g\big(f(a)\big)$ 로 정의한 함수 $g \circ f : A \to C$ 를 $f$ 와 $g$ 의 합성(composition)이라 합니다.

$g \circ f$ 는 오른쪽의 $f$ 를 먼저 적용합니다. 함숫값을 $g(f(a))$ 로 쓸 때 $a$ 에 가까운 쪽이 먼저 작용하기 때문입니다. 5장에서 행렬곱 $BA$ 도 “ $A$ 먼저, $B$ 나중”으로 읽게 되는데, 이유가 똑같습니다.

합성은 순서를 바꾸면 보통 다른 함수가 됩니다. $f(x) = x + 1$ , $g(x) = x^2$ 이면 $(g \circ f)(x) = (x + 1)^2$ 이고 $(f \circ g)(x) = x^2 + 1$ 입니다.

정의 0.22 (역함수). $f : A \to B$ 에 대하여 $g : B \to A$ 가

g\big(f(a)\big) = a\ \ (\forall a \in A), \qquad f\big(g(b)\big) = b\ \ (\forall b \in B)

를 만족하면 $g$ 를 $f$ 의 역함수(inverse function)라 하고 $f^{-1}$ 로 씁니다.

정리 0.23 (역함수의 존재). $f : A \to B$ 의 역함수가 존재하는 것은 $f$ 가 전단사인 것과 동치입니다.

증명. ( $\Rightarrow$ ) 역함수 $g$ 가 있다고 합시다. 단사: $f(a_1) = f(a_2)$ 이면 양변에 $g$ 를 적용해 $a_1 = g(f(a_1)) = g(f(a_2)) = a_2$ 입니다. 전사: 임의의 $b \in B$ 에 대해 $a = g(b)$ 로 잡으면 $f(a) = f(g(b)) = b$ 입니다.

( $\Leftarrow$ ) $f$ 가 전단사라 합시다. 각 $b \in B$ 에 대해, 전사이므로 $f(a) = b$ 인 $a$ 가 있고, 단사이므로 그런 $a$ 는 하나뿐입니다. 이 유일한 $a$ 를 $g(b)$ 로 정의합니다. 그러면 정의에 의해 $f(g(b)) = b$ 입니다. 또 $a \in A$ 에 대해 $b = f(a)$ 로 두면 $g(b)$ 는 $f(\cdot) = b$ 를 만족하는 유일한 원소이므로 $g(f(a)) = a$ 입니다. $\blacksquare$

이 정리는 9장과 22장에서 “가역 행렬”과 “동형사상”의 바탕이 됩니다. 행렬 $A$ 의 역행렬이 존재하는지를 묻는 것은, $A$ 가 나타내는 변환이 전단사인지를 묻는 것과 같습니다.

▶ 문제 0.12–0.15

쓰이는 곳. 논문의 정의 문장은 거의 언제나 “ $f : \mathcal{X} \to \mathbb{R}$ ”, “ $\forall x \in S$ ”, “ $\{x \mid \cdots\}$ ” 같은 이 장의 기호로 시작합니다. 예를 들어 머신러닝의 모델은 '입력 집합 $\mathcal{X}$ 에서 출력 집합 $\mathcal{Y}$ 로 가는 함수'로, 데이터셋은 순서쌍의 집합 $\{(x_i, y_i)\}_{i=1}^n$ 으로 씁니다.

이 장의 요약

집합은 원소의 모임이고, 순서와 중복은 의미가 없습니다. $A = B$ 는 $A \subseteq B$ 와 $B \subseteq A$ 로 증명합니다.
순서쌍은 순서가 중요합니다. 실수 $n$ 개의 순서 있는 목록 전체가 $\mathbb{R}^n$ 입니다.
$P \Rightarrow Q$ 와 대우 $\neg Q \Rightarrow \neg P$ 는 동치이고, 역은 아닙니다.
한정기호의 순서는 뜻을 바꿉니다. 부정은 $\forall \leftrightarrow \exists$ 를 바꾸고 마지막 조건을 부정합니다.
$\sum$ 은 선형입니다: $\sum(a_k + b_k) = \sum a_k + \sum b_k$ , $\sum ca_k = c\sum a_k$ .
함수 $f : A \to B$ 는 단사(다른 입력 → 다른 출력), 전사(공역 전체를 덮음), 전단사(둘 다)로 분류됩니다. 역함수가 있는 것과 전단사인 것은 동치입니다.

문제

0.1 [계산]

다음 집합을 원소나열법으로 씁니다.

(a) $\{\, x \in \mathbb{Z} : x^2 < 5 \,\}$ (b) $\{\, x \in \mathbb{N} : x \mid 12 \,\}$ (“ $x$ 가 12를 나눕니다”, 1장 정의 1.3) (c) $\{\, x \in \mathbb{R} : x^2 - 3x + 2 = 0 \,\}$ (d) $\{\, x \in \mathbb{R} : x^2 + x + 1 = 0 \,\}$

풀이

(a) $x^2 < 5$ 인 정수는 $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$ 다( $x = \pm 3$ 이면 $9 > 5$ ). (b) 12의 양의 약수 $\{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$ 입니다. (c) $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$ 이므로 $\{1, 2\}$ 입니다. (d) 판별식 $1 - 4 = -3 < 0$ 이므로 실근이 없습니다. $\varnothing$ 입니다.

0.2 [계산]

$A = \{1, 2, 3, 4\}$ , $B = \{3, 4, 5\}$ , $C = \{a, b\}$ 일 때 다음을 구합니다. (a) $A \cup B$ , $A \cap B$ , $A \setminus B$ , $B \setminus A$ (b) $B \times C$ (원소를 모두 씁니다) (c) $A \times B$ 의 원소의 개수

풀이

(a) $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ , $A \cap B = \{3, 4\}$ , $A \setminus B = \{1, 2\}$ , $B \setminus A = \{5\}$ 입니다. (b) $B \times C = \{(3, a), (3, b), (4, a), (4, b), (5, a), (5, b)\}$ 입니다. (c) $4 \times 3 = 12$ 개입니다.

0.3 [계산] · 확인 문제

다음 중 참인 것을 모두 고릅니다. (원래 문제는 각각의 이유를 한 줄로 쓰는 것입니다.)

$\{1, 2\} = \{2, 1, 1\}$
$(1, 2) = (2, 1)$
$\varnothing \subseteq \{1\}$
$\{1\} \in \{1, 2\}$
$\{1\} \subseteq \{1, 2\}$
$(0, 1) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}$

힌트 1

4와 5의 차이, 즉 $\in$ (원소입니다)와 $\subseteq$ (부분집합입니다)의 차이를 구별합니다.

정답

1,3,5,6

풀이

참. 집합에서 순서와 중복은 의미가 없습니다.
거짓. 첫째 성분이 $1 \ne 2$ 입니다.
참. $\varnothing$ 에는 원소가 없으므로 “ $\varnothing$ 의 모든 원소가 $\{1\}$ 에 속합니다”를 깨는 원소도 없습니다. 공집합은 모든 집합의 부분집합입니다.
거짓. $\{1, 2\}$ 의 원소는 수 1과 2다. 집합 $\{1\}$ 은 원소가 아닙니다.
참. $\{1\}$ 의 유일한 원소 1이 $\{1, 2\}$ 에 속합니다.
참. $0 \in \mathbb{R}$ , $1 \in \mathbb{R}$ 이므로 $(0, 1) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ 입니다.

0.4 [증명]

임의의 집합 $A$ , $B$ 에 대하여 $A \cap B \subseteq A$ 이고 $A \subseteq A \cup B$ 임을 보입니다.

풀이

$A \cap B \subseteq A$ : $x \in A \cap B$ 이면 정의에 의해 “ $x \in A$ 그리고 $x \in B$ ”이므로 특히 $x \in A$ 입니다. $A \subseteq A \cup B$ : $x \in A$ 이면 “ $x \in A$ 또는 $x \in B$ ”가 참이므로 $x \in A \cup B$ 입니다.

0.5 [계산] · 확인 문제

다음 수가 속하는 집합 중 가장 작은 것을 N, Z, Q, R, C 중에서 고릅니다. 빈칸에 글자 하나를 적습니다.

수	가장 작은 집합
$-3$	[?]
$0.25$	[?]
$\sqrt{9}$	[?]
$\sqrt{2}$	[?]
$\pi$	[?]
$2i$	[?]
$(1 + i)(1 - i)$	[?]

정답

Z
Q
N
R
R
C
N

풀이

$-3 \in \mathbb{Z}$ , $0.25 = \frac{1}{4} \in \mathbb{Q}$ , $\sqrt{9} = 3 \in \mathbb{N}$ , $\sqrt{2} \in \mathbb{R}$ , $\pi \in \mathbb{R}$ , $2i \in \mathbb{C}$ , $(1 + i)(1 - i) = 1 - i^2 = 2 \in \mathbb{N}$ 입니다.

0.6 [계산] · 확인 문제

다음 명제 중 참인 것을 모두 고릅니다. 거짓인 것은 그 이유를 생각해 봅니다.

$\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \ge 0$
$\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 = -1$
$\forall x \in \mathbb{R},\ \exists y \in \mathbb{R},\ y > x$
$\exists y \in \mathbb{R},\ \forall x \in \mathbb{R},\ y > x$
$\exists x \in \mathbb{N},\ x^2 = 2x$

정답

1,3,5

풀이

참입니다.
거짓입니다. 모든 실수 $x$ 에 대해 $x^2 \ge 0 > -1$ 입니다.
참입니다. 주어진 $x$ 에 대해 $y = x + 1$ 로 잡으면 됩니다.
거짓입니다. 그런 $y$ 가 있다면 $x = y$ 일 때 $y > y$ 가 되어 모순입니다.
참입니다. $x = 2$ 이면 $4 = 4$ 입니다. ( $x = 0$ 도 식을 만족하지만 여기서 $0 \notin \mathbb{N}$ 입니다.)

0.7 [계산]

다음 명제의 부정을 기호로 쓰고, (d)는 문장으로 씁니다. 부정 기호 $\neg$ 가 맨 앞에 남지 않도록 끝까지 정리합니다.

(a) $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \ge 0$ (b) $\exists n \in \mathbb{N},\ n^2 = 2$ (c) $\forall a > 0,\ \exists b > 0,\ b < a$ (d) “모든 학생은 수학 또는 과학을 좋아합니다.”

풀이

(a) $\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 < 0$ (b) $\forall n \in \mathbb{N},\ n^2 \ne 2$ (c) $\exists a > 0,\ \forall b > 0,\ b \ge a$ (d) 수학도 좋아하지 않고 과학도 좋아하지 않는 학생이 적어도 한 명 있습니다. (“또는”의 부정은 “그리고”가 됩니다.)

0.8 [계산]

다음 각 명제의 역과 대우를 쓰고, 원래 명제·역·대우의 참·거짓을 판정합니다. ( $x$ 는 실수, $n$ 은 정수)

(a) $x = 3$ 이면 $x^2 = 9$ 입니다. (b) $n$ 이 4의 배수이면 $n$ 은 짝수입니다.

풀이

(a) 원래 명제는 참입니다. 역 “ $x^2 = 9$ 이면 $x = 3$ ”은 거짓입니다( $x = -3$ ). 대우 “ $x^2 \ne 9$ 이면 $x \ne 3$ ”은 참입니다.

(b) 원래 명제는 참입니다( $n = 4k = 2(2k)$ ). 역 “ $n$ 이 짝수이면 4의 배수”는 거짓입니다( $n = 2$ ). 대우 “ $n$ 이 홀수이면 4의 배수가 아닙니다”는 참입니다.

두 경우 모두 원래 명제와 대우의 참·거짓이 같고, 역은 다릅니다(정리 0.11).

0.9 [계산] · 확인 문제

다음 값을 구합니다.

식	값
(a) $\sum_{k=1}^{4}k^2$	[?]
(b) $\sum_{k=0}^{3}(-1)^k$	[?]
(c) $\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{2}(i + j)$	[?]
(d) $\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{3}ij$	[?]

정답

풀이

(a) $1 + 4 + 9 + 16 = 30$ 입니다. (b) $1 - 1 + 1 - 1 = 0$ 입니다. (c) $i = 1$ : $(1 + 1) + (1 + 2) = 5$ , $i = 2$ : $3 + 4 = 7$ , $i = 3$ : $4 + 5 = 9$ 이므로 합은 21입니다. (d) $\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{3}ij = \sum_{i=1}^{2}i(1 + 2 + 3) = 6(1 + 2) = 18$ 입니다.

0.10 [계산]

다음 합을 $\sum$ 기호로 씁니다.

(a) $2 + 4 + 6 + \cdots + 20$ (b) $1 + 3 + 5 + \cdots + 99$ (c) $a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ (d) $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$

풀이

(a) $\sum_{k=1}^{10}2k$ (b) $\sum_{k=1}^{50}(2k - 1)$ ( $k = 50$ 일 때 99) (c) $\sum_{k=1}^{3}a_kb_k$ (d) $\sum_{k=1}^{5}\frac{(-1)^{k+1}}{k}$

(a)를 $\sum_{k=2}^{20}k$ 처럼 쓰면 홀수도 더해지므로 틀립니다. 첨자가 1씩 증가한다는 점을 기억합시다.

0.11 [증명]

정리 0.17(합의 기호의 성질)의 (1)과 (3)을 증명합니다.

풀이

(1) 좌변은 $(a_1 + b_1) + (a_2 + b_2) + \cdots + (a_n + b_n)$ 입니다. 실수 덧셈의 교환·결합법칙으로 순서를 바꾸면 $(a_1 + \cdots + a_n) + (b_1 + \cdots + b_n)$ 입니다.

(3) $\sum_{k=1}^n c$ 는 $c$ 를 $n$ 번 더한 것이므로 $nc$ 입니다. 첨자 $k$ 가 식에 나타나지 않아도 $k$ 가 1부터 $n$ 까지 변하는 동안 매번 $c$ 를 더한다는 점이 핵심입니다.

0.12 [계산]

$f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = 2x + 1$ , $g(x) = x^2$ 일 때 $(g \circ f)(x)$ , $(f \circ g)(x)$ , $(f \circ f)(x)$ , $(g \circ f)(1)$ 을 구합니다. 마지막 값 $(g \circ f)(1)$ 을 적습니다.

힌트 1

$g \circ f$ 는 $f$ 를 먼저 적용합니다.

정답

풀이

$(g \circ f)(x) = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$ , $(f \circ g)(x) = 2x^2 + 1$ , $(f \circ f)(x) = 2(2x + 1) + 1 = 4x + 3$ , $(g \circ f)(1) = 9$ 입니다.

0.13 [계산] · 확인 문제

다음 함수가 단사인지, 전사인지 판정합니다. 각 칸에 O(그렇습니다) 또는 X(아닙니다)를 적습니다. 아니라면 그 이유가 되는 구체적인 예를 생각해 봅니다.

함수	단사	전사
(a) $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = x^3$	[?]	[?]
(b) $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = x^2$	[?]	[?]
(c) $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = 2^x$	[?]	[?]
(d) $f : \mathbb{R} \to \{\, y \in \mathbb{R} : y \ge 0 \,\}$ , $f(x) = x^2$	[?]	[?]
(e) $g : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ , $g(n) = 2n$	[?]	[?]
(f) $h : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ , $h(n) = n + 5$	[?]	[?]

정답

O
O
X
X
O
X
X
O
O
X
O
O

풀이

(a) 전단사입니다. 단사: $a^3 = b^3$ 이면 $a = b$ (세제곱근이 하나뿐). 전사: $y$ 에 대해 $x = \sqrt[3]{y}$ .

(b) 둘 다 아닙니다. $f(1) = f(-1)$ 이므로 단사가 아니고, $-1$ 은 출력되지 않으므로 전사가 아닙니다.

(d) 전사이지만 단사가 아닙니다. $y \ge 0$ 에 대해 $x = \sqrt{y}$ 이고, $f(1) = f(-1)$ 입니다.

(e) 단사이지만 전사가 아닙니다. $2a = 2b \Rightarrow a = b$ 입니다. 홀수(예: 1)는 출력되지 않습니다.

(f) 전단사입니다. 역함수는 $h^{-1}(n) = n - 5$ 입니다.

(b)와 (d)는 같은 식 $x^2$ 인데 공역만 다릅니다. 전사인지 아닌지는 공역에 달려 있습니다.

0.14 [증명]

$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = 3x - 5$ 가 전단사임을 보이고, 역함수 $f^{-1}$ 을 구합니다. 구한 $f^{-1}$ 이 역함수의 정의(정의 0.22)의 두 등식을 모두 만족하는지 확인합니다.

풀이

단사: $3a - 5 = 3b - 5 \Rightarrow a = b$ 입니다. 전사: 임의의 $y$ 에 대해 $x = \frac{y + 5}{3}$ 이면 $f(x) = y$ 입니다. 따라서 $f^{-1}(y) = \frac{y + 5}{3}$ 입니다. 확인하면 $f^{-1}(f(x)) = \frac{(3x - 5) + 5}{3} = x$ , $f(f^{-1}(y)) = 3 \cdot \frac{y + 5}{3} - 5 = y$ 입니다.

0.15 [도전]

$f : A \to B$ , $g : B \to C$ 라 합시다.

(a) $f$ 와 $g$ 가 모두 단사이면 $g \circ f$ 도 단사임을 보입니다. (b) $f$ 와 $g$ 가 모두 전사이면 $g \circ f$ 도 전사임을 보입니다. (c) $g \circ f$ 가 단사이면 $f$ 는 단사임을 보입니다. $g$ 도 반드시 단사일까요?

풀이

(a) $g(f(a_1)) = g(f(a_2))$ 이면 $g$ 가 단사이므로 $f(a_1) = f(a_2)$ , $f$ 가 단사이므로 $a_1 = a_2$ 입니다.

(b) 임의의 $c \in C$ 에 대해 $g$ 가 전사이므로 $g(b) = c$ 인 $b$ 가 있고, $f$ 가 전사이므로 $f(a) = b$ 인 $a$ 가 있습니다. 그러면 $(g \circ f)(a) = c$ 입니다.

(c) $f(a_1) = f(a_2)$ 이면 양변에 $g$ 를 적용해 $(g \circ f)(a_1) = (g \circ f)(a_2)$ , 따라서 $a_1 = a_2$ 입니다. $g$ 는 단사가 아니어도 됩니다. 반례: $A = \{1\}$ , $B = \{1, 2\}$ , $C = \{1\}$ , $f(1) = 1$ , $g(1) = g(2) = 1$ . 정의역 $A$ 가 원소 하나뿐이라 $g \circ f$ 는 단사이지만 $g$ 는 단사가 아닙니다.