29장. 다항식 위의 모듈과 유리 표준형

스칼라 자리에 수 대신 다항식을 놓으면 벡터공간이 모듈이 됩니다. 이 장에서는 선형사상을 다항식 위의 모듈로 보아, 행렬을 분류하는 또 다른 표준형(유리 표준형)을 얻습니다. 추상대수학으로 넘어가는 다리이며, 논문을 읽는 데는 대부분 필요하지 않으므로 처음에는 건너뛰어도 됩니다(고급).

29.1 고윳값을 모를 때

질문. 조르당 형식은 특성다항식이 일차식들로 쪼개질 때만 존재합니다. $\mathbb{R}$ 위의 회전 $\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$이나 $\mathbb{Q}$ 위의 $x^3 - 2$ 같은 다항식을 특성다항식으로 갖는 행렬은 조르당 형식이 없습니다. 근을 구하지 않고도, 어떤 체에서든 쓸 수 있는 표준형이 있을까요? 그리고 두 행렬이 닮았는지 계산으로 판정할 수 있을까요?

답은 그렇다입니다. 아이디어는 하나입니다. $T \in \mathcal{L}(V)$가 주어지면 다항식 $p$를 벡터에 “곱할” 수 있습니다: $p \cdot v = p(T)v$. 그러면 $V$는 스칼라가 체 $\mathbb{F}$ 대신 다항식 고리 $\mathbb{F}[x]$인 “벡터공간”이 됩니다. 이것을 모듈이라 합니다. 다항식은 나눗셈 정리가 성립하므로 정수와 비슷하게 다룰 수 있고, 정수 행렬을 대각화하듯 다항식 행렬 $xI - A$를 대각화하면 $T$의 구조가 드러납니다.

이 장에서 $\mathbb{F}$는 임의의 체, $\mathbb{F}[x]$는 $\mathbb{F}$ 계수 다항식 전체, $V$는 $n$차원, $T \in \mathcal{L}(V)$입니다.

29.2 순환 부분공간과 동반행렬

정의 29.1 (순환 부분공간). $v \in V$에 대해 $Z(v, T) = \operatorname{span}(v, Tv, T^2v, \ldots)$를 $v$가 생성하는 순환 부분공간(cyclic subspace)이라 합니다. $V = Z(v, T)$인 $v$가 있으면 $T$를 순환(cyclic)이라 합니다.

$Z(v, T)$는 $v$를 포함하는 $T$-불변 부분공간 중 가장 작은 것입니다. $Z(v, T) = \{ p(T)v : p \in \mathbb{F}[x] \}$입니다.

정리 29.2 (순환 부분공간의 기저). $v \ne 0$이고 $k$가 $T^kv \in \operatorname{span}(v, \ldots, T^{k-1}v)$인 가장 작은 수이면

1. $v, Tv, \ldots, T^{k-1}v$는 $Z(v, T)$의 기저입니다.
2. $T^kv = -(a_0v + a_1Tv + \cdots + a_{k-1}T^{k-1}v)$로 쓸 때 $p_v(x) = x^k + a_{k-1}x^{k-1} + \cdots + a_0$은 $T|_{Z(v,T)}$의 최소다항식이고, $p(T)v = 0 \iff p_v \mid p$입니다.

증명. (1) $k$의 최소성에 의해 $v, \ldots, T^{k-1}v$는 독립입니다(일차종속 보조정리). 귀납적으로 $T^{k+j}v = T^j(T^kv)$도 이들의 결합이므로 생성합니다.

(2) $p_v(T)v = 0$이고 $p_v(T)$는 $T$와 교환하므로 $p_v(T)T^iv = T^ip_v(T)v = 0$: $p_v(T)$는 $Z(v, T)$에서 0입니다. 차수가 $k$보다 작은 0이 아닌 $q$에 대해 $q(T)v$는 독립인 벡터들의 계수가 모두 0은 아닌 결합이므로 0이 아닙니다. 따라서 $p_v$가 최소다항식입니다. 나머지는 정리 24.9와 같은 논리(나눗셈 정리)입니다. ■

기저 $v, Tv, \ldots, T^{k-1}v$에서 $T$는 각 기저벡터를 다음 것으로 보내고, 마지막 것은 $T^kv = -\sum a_iT^iv$로 보냅니다.

정의 29.3 (동반행렬). $p(x) = x^k + a_{k-1}x^{k-1} + \cdots + a_1x + a_0$의 동반행렬(companion matrix)은

입니다.

$C(p)$의 최소다항식과 특성다항식은 모두 $p$입니다. 최소다항식은 정리 29.2에서, 특성다항식은 $\det(xI - C(p))$를 계산하면 나옵니다(문제 29.3). 따라서 모든 일계수 다항식은 어떤 행렬의 특성다항식입니다. 다항식의 근을 구하는 문제는 행렬의 고윳값을 구하는 문제와 같습니다. 실제로 많은 수치 프로그램이 다항식의 근을 동반행렬의 고윳값으로 계산합니다.

예제 29.4. $\mathbb{R}^2$의 회전 $R = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$은 $v = \mathbf{e}_1$에 대해 $Rv = \mathbf{e}_2$, $R^2v = -\mathbf{e}_1$이므로 순환이고 $p_v = x^2 + 1$. 기저 $v, Rv$에서 행렬은 $C(x^2 + 1) = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$, 원래 행렬 그대로입니다.

▶ 문제 29.1–29.3

29.3 F[x]-모듈

정수와 다항식은 둘 다 더하고 곱할 수 있지만 나눌 수는 없습니다. 이런 수 체계를 가환환이라 합니다. 정확히는, 덧셈과 곱셈이 있고 체의 공리 중 “0이 아닌 원소의 역원” 하나만 빠진 것입니다. 이 장에서 쓰는 가환환은 $\mathbb{Z}$와 $\mathbb{F}[x]$ 둘뿐입니다.

정의 29.5 (모듈). $R$이 가환환일 때, 벡터공간의 정의(정의 20.3)에서 스칼라를 $\mathbb{F}$ 대신 $R$에서 가져온 것을 $R$-모듈($R$-module)이라 합니다.

예제 29.6.

1. $\mathbb{F}$-모듈은 $\mathbb{F}$ 위의 벡터공간입니다.
2. $R^n$은 성분별 연산으로 $R$-모듈입니다. $\mathbb{Z}^n$, $\mathbb{F}[x]^n$.
3. 모든 아벨 군(덧셈이 있는 집합)은 $\mathbb{Z}$-모듈입니다. $3 \cdot g = g + g + g$. 예를 들어 $\mathbb{Z}/6 = \{0, 1, \ldots, 5\}$ (6으로 나눈 나머지).
4. $T \in \mathcal{L}(V)$이면 $p \cdot v = p(T)v$로 $V$는 $\mathbb{F}[x]$-모듈입니다. 이것을 $V_T$라 씁니다.

벡터공간에서 쓰던 말들이 그대로 옮겨집니다. 부분모듈, 모듈 준동형(스칼라곱을 보존하는 덧셈 보존 사상), 동형, 몫모듈 $M/N$(22장의 몫공간과 같은 정의), 직합. $V_T$에 대해 번역하면 다음과 같습니다.

마지막 줄을 확인합시다. $\varphi : V_T \to W_S$가 모듈 동형이면 $\varphi$는 선형 동형이고 $\varphi(x \cdot v) = x \cdot \varphi(v)$, 즉 $\varphi T = S\varphi$입니다. 따라서 $S = \varphi T\varphi^{-1}$. 역도 같습니다.

모듈은 벡터공간과 결정적으로 다릅니다. $\mathbb{Z}/6$에서 $6 \cdot 1 = 0$이지만 $6 \ne 0$이고 $1 \ne 0$입니다. 스칼라로 나눌 수 없으니 “$cv = 0$이면 $c = 0$ 또는 $v = 0$”이 깨집니다. 그래서 모듈에는 일반적으로 기저가 없습니다. $V_T$도 마찬가지로, 최소다항식 $m_T$에 대해 $m_T \cdot v = 0$입니다.

다음 사실이 $\mathbb{Z}$와 $\mathbb{F}[x]$를 특별하게 만듭니다.

정리 29.7 (아이디얼은 하나로 생성됩니다). $R = \mathbb{Z}$ 또는 $\mathbb{F}[x]$이고 $I \subseteq R$이 덧셈과 $R$의 원소 곱에 대해 닫힌 부분집합(아이디얼(ideal))이면, 어떤 $g \in R$에 대해 $I = gR = \{ gr : r \in R \}$입니다.

증명. $I = \{0\}$이면 $g = 0$. 아니면 $I$에서 0이 아닌 원소 중 크기(정수는 절댓값, 다항식은 차수)가 가장 작은 $g$를 고릅니다. $a \in I$를 $g$로 나누면 $a = qg + r$이고 $r = a - qg \in I$. $r$은 $g$보다 작으므로 $r = 0$. ■

$a, b \in R$에 대해 $\{ ra + sb : r, s \in R \}$는 아이디얼이므로 $gR$ 꼴입니다. 이 $g$가 $a, b$의 최대공약수(gcd)이고(다항식이면 일계수로 맞춥니다), $g = ra + sb$인 $r, s$가 있습니다(베주 항등식). 정수에서 익숙한 이 사실들이 다항식에서도 똑같이 성립합니다.

▶ 문제 29.4–29.5

29.4 V_A의 표현

$V = \mathbb{F}^n$, $T = A$로 둡시다. $\mathbb{F}[x]^n$의 원소는 다항식 $n$개의 열벡터입니다.

정리 29.8 (표현 정리). $\Phi : \mathbb{F}[x]^n \to V_A$, $\Phi(p_1, \ldots, p_n) = p_1(A)\mathbf{e}_1 + \cdots + p_n(A)\mathbf{e}_n$은 전사인 모듈 준동형이고, 그 핵은 $xI - A$의 열들이 생성하는 부분모듈입니다. 따라서

증명. 상수 벡터 $\mathbf{c} \in \mathbb{F}^n \subseteq \mathbb{F}[x]^n$에 대해 $\Phi(\mathbf{c}) = \mathbf{c}$이므로 전사입니다. $xI - A$의 $j$열은 $x\mathbf{e}_j - A\mathbf{e}_j$이고 $\Phi$는 이것을 $A\mathbf{e}_j - A\mathbf{e}_j = 0$으로 보냅니다. 따라서 $K = (xI - A)\mathbb{F}[x]^n \subseteq \operatorname{null}\Phi$.

역으로, $K$를 법으로 $x\mathbf{e}_j \equiv A\mathbf{e}_j$입니다. 이 치환을 반복하면 모든 $f \in \mathbb{F}[x]^n$은 $K$를 법으로 어떤 상수 벡터 $\mathbf{c}$와 합동입니다($x$의 차수를 하나씩 낮춥니다). $\Phi(f) = 0$이면 $\mathbf{c} = \Phi(\mathbf{c}) = \Phi(f) = 0$이므로 $f \in K$. ■

$xI - A$는 다항식을 성분으로 가진 $n \times n$ 행렬입니다. 이 행렬을 기본 연산으로 단순하게 만들면 몫모듈이 단순해집니다.

▶ 문제 29.6

29.5 스미스 표준형

$R = \mathbb{Z}$ 또는 $\mathbb{F}[x]$ 위의 행렬에 대한 기본 연산은 다음 셋입니다(행과 열 모두).

1. 두 행(열)을 바꿉니다.
2. 한 행(열)에 $R$의 가역원(정수면 $\pm1$, 다항식이면 0이 아닌 상수)을 곱합니다.
3. 한 행(열)에 다른 행(열)의 $r$배를 더합니다. 이때 $r \in R$은 아무 원소나 됩니다.

세 연산 모두 같은 종류의 연산으로 되돌릴 수 있습니다. 행 연산은 왼쪽에, 열 연산은 오른쪽에 $R$ 위에서 가역인 행렬을 곱하는 것입니다.

정리 29.9 (스미스 표준형). $R = \mathbb{Z}$ 또는 $\mathbb{F}[x]$ 위의 $m \times n$ 행렬 $M$은 기본 연산으로

꼴로 바뀝니다. $d_i$를 양수(정수) 또는 일계수(다항식)로 맞추면 $d_i$들은 $M$에 의해 유일하게 정해집니다. 이 $d_i$를 $M$의 불변 인자(invariant factors)라 합니다.

증명. 존재. $M \ne O$이라 합시다. 크기가 가장 작은 0이 아닌 성분을 교환으로 $(1, 1)$에 놓습니다. 첫 열의 성분 $a_{i1}$을 $a_{11}$로 나누어 $a_{i1} = qa_{11} + r$이면, $i$행에서 1행의 $q$배를 빼서 $a_{i1}$을 $r$로 바꿉니다. $r \ne 0$이면 $r$은 $a_{11}$보다 작으므로 $(1, 1)$로 옮겨 다시 시작합니다. 첫 행도 열 연산으로 똑같이 합니다. 크기는 무한히 줄어들 수 없으므로, 언젠가 첫 행과 첫 열이 $a_{11}$을 빼고 모두 0이 됩니다.

이제 $a_{11}$이 나머지 어떤 성분 $a_{ij}$를 나누지 않으면 $i$행을 1행에 더합니다. 그러면 첫 행에 $a_{ij}$가 나타나고, 위의 과정에서 나머지가 생겨 $(1, 1)$의 크기가 진짜로 줄어듭니다. 이것도 무한히 반복될 수 없으므로, 결국 $a_{11}$이 나머지 모든 성분을 나눕니다. 남은 $(m-1) \times (n-1)$ 행렬에 같은 과정을 반복하면 그 성분들은 계속 $a_{11}$의 배수이므로 $d_1 \mid d_2$입니다.

유일성. $\Delta_k(M)$을 $M$의 $k \times k$ 소행렬식 전체의 최대공약수라 합시다. 기본 연산 후의 $k \times k$ 소행렬식은 원래 $k \times k$ 소행렬식들의 $R$-결합이므로(문제 29.9) $\Delta_k(M)$은 $\Delta_k(\text{새 행렬})$을 나누고, 연산은 되돌릴 수 있으므로 서로 같습니다. 대각 꼴에서는 $\Delta_k = d_1d_2 \cdots d_k$이므로 $d_k = \Delta_k/\Delta_{k-1}$이 $M$으로 정해집니다. ■

알고리즘은 15장의 소거와 같은 모양입니다. 차이는 피벗으로 나눌 수 없다는 것입니다. 그래서 나눗셈 정리로 나머지를 만들고, 나머지를 새 피벗으로 삼습니다. 유클리드 호제법이 행렬 안에서 돌아가는 셈입니다.

예제 29.10. $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$. $xI - A = \begin{bmatrix} x - 2 & -1 \\ 0 & x - 2 \end{bmatrix}$. 두 열을 바꾸고 1행에 $-1$을 곱하면 $\begin{bmatrix} 1 & -(x-2) \\ x - 2 & 0 \end{bmatrix}$. 2행에서 1행의 $(x - 2)$배를 빼고, 2열에 1열의 $(x - 2)$배를 더하면

반면 $A = 2I$이면 $xI - A = \begin{bmatrix} x - 2 & 0 \\ 0 & x - 2 \end{bmatrix}$가 이미 스미스 표준형입니다. 두 행렬은 특성다항식이 $(x-2)^2$으로 같지만 불변 인자가 다릅니다.

▶ 문제 29.7–29.9

29.6 유리 표준형

스미스 표준형을 $xI - A$에 씁시다. $\det(xI - A) \ne 0$이므로 대각성분이 모두 0이 아니고, 가역행렬 $P, Q$에 대해

$f \mapsto Pf$는 $\mathbb{F}[x]^n$의 동형이고 $(xI - A)\mathbb{F}[x]^n$을 $P(xI - A)Q\,\mathbb{F}[x]^n$으로 보냅니다($Q$는 가역이므로 $Q\mathbb{F}[x]^n = \mathbb{F}[x]^n$). 대각행렬의 열이 생성하는 부분모듈로 나누면 성분별로 나누는 것이고 $\mathbb{F}[x]/(1) = 0$이므로, 표현 정리에 의해

$\mathbb{F}[x]/(d)$는 $1, x, \ldots, x^{k-1}$ ($k = \deg d$)을 기저로 하는 $k$차원 공간이고, $x$를 곱하는 연산자는 $1 \mapsto x \mapsto \cdots \mapsto x^{k-1} \mapsto x^k \equiv -(a_0 + \cdots + a_{k-1}x^{k-1})$이므로 행렬이 $C(d)$입니다. 정리하면 다음과 같습니다.

정리 29.11 (유리 표준형). 모든 $T \in \mathcal{L}(V)$에 대해 $V = Z(v_1, T) \oplus \cdots \oplus Z(v_r, T)$인 $v_1, \ldots, v_r$이 있고, $T|_{Z(v_i,T)}$의 최소다항식 $d_i$가 $d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_r$을 만족합니다. 이 기저에서

$d_i$는 $xI - \mathcal{M}(T)$의 (상수가 아닌) 불변 인자이고, 따라서 $T$에 의해 유일하게 정해집니다. 또

증명. 분해와 행렬은 위에서 보였습니다. $p(T) = 0 \iff$ 모든 $d_i \mid p \iff d_r \mid p$이므로 $d_r$이 최소다항식입니다. $\det(xI - A) = \det P^{-1}\det Q^{-1}\prod d_i$이고 $\det P$, $\det Q$는 가역인 다항식, 즉 상수입니다. 양변이 일계수이므로 상수는 1입니다. ■

$d_1d_2 \cdots d_r = \det(xI - T)$이고 $d_r = m_T$이므로 $m_T \mid \det(xI - T)$입니다. 케일리–해밀턴 정리가 임의의 체에서 다시 증명되었습니다.

따름정리 29.12 (닮음 판정). $n \times n$ 행렬 $A, B$에 대해 다음은 동치입니다.

1. $A$와 $B$는 닮았습니다.
2. $xI - A$와 $xI - B$의 스미스 표준형이 같습니다.
3. 모든 $k$에 대해 $\Delta_k(xI - A) = \Delta_k(xI - B)$.

특히 $\mathbb{F} \subseteq \mathbb{K}$이고 $A, B$가 $\mathbb{F}$ 계수일 때, $\mathbb{K}$ 위에서 닮았으면 $\mathbb{F}$ 위에서도 닮았습니다.

증명. 유리 표준형이 같으면 닮았고, 닮으면 같은 연산자이므로 같은 유리 표준형을 가집니다. (2) $\iff$ (3)은 정리 29.9의 유일성 증명에서 나옵니다. 마지막 문장: $\Delta_k$는 최대공약수이고, 최대공약수는 유클리드 호제법으로 계수의 사칙연산만으로 계산되므로 체를 넓혀도 바뀌지 않습니다. ■

예제 29.13. $A = \operatorname{diag}(2, 2, 3)$. $\Delta_1 = \gcd(x - 2, x - 3) = 1$, $\Delta_2 = \gcd\big((x-2)^2, (x-2)(x-3)\big) = x - 2$, $\Delta_3 = (x-2)^2(x-3)$. 불변 인자는 $d_1 = x - 2$, $d_2 = (x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6$이고 유리 표준형은

대각행렬이 더 단순해 보이지만, 유리 표준형은 근을 구하지 않고 얻는다는 점이 다릅니다. $m_A = d_2$는 중근이 없으므로 $A$는 대각화 가능하다는 것도 읽힙니다.

▶ 문제 29.10–29.12

29.7 기본 인자와 조르당 형식

불변 인자를 더 쪼갤 수 있습니다.

정리 29.14 (중국인의 나머지 정리). $a, b \in \mathbb{F}[x]$의 최대공약수가 1이면 $\mathbb{F}[x]/(ab) \cong \mathbb{F}[x]/(a) \oplus \mathbb{F}[x]/(b)$.

증명. $f \mapsto (f \bmod a, f \bmod b)$는 모듈 준동형입니다. 핵은 $a$와 $b$로 모두 나누어떨어지는 $f$입니다. $1 = ra + sb$이므로 $f = raf + sbf$이고, $ab \mid f$입니다. 따라서 단사이고, 양쪽 차원이 $\deg a + \deg b$로 같으므로 동형입니다. ■

각 $d_i$를 기약 다항식의 거듭제곱으로 인수분해하고 이 정리를 쓰면

입니다. $p_j^{k_j}$들을 기본 인자(elementary divisors)라 합니다.

$\mathbb{F} = \mathbb{C}$이면 기약 다항식은 $x - \lambda$뿐입니다. $\mathbb{C}[x]/\big((x - \lambda)^k\big)$에서 기저

를 잡으면 $x = \lambda + (x - \lambda)$를 곱하는 연산자는 각 기저벡터를 $\lambda$배하고 앞의 것을 더하므로 행렬이 $J_k(\lambda)$입니다. 조르당 형식의 존재와 유일성이 다시 나왔습니다. 조르당 블록 하나는 기본 인자 하나입니다.

예제 29.15. $\mathbb{R}$ 위에서 기약 다항식은 일차식과 $x^2 + bx + c$ ($b^2 < 4c$)입니다. 예를 들어 기본 인자가 $(x^2 + 1)^2$이면 $\mathbb{R}[x]/\big((x^2 + 1)^2\big)$에 해당하는 $4 \times 4$ 블록이 생깁니다. 복소수로 가면 $(x - i)^2(x + i)^2$이므로 $J_2(i) \oplus J_2(-i)$가 됩니다.

▶ 문제 29.13

29.8 같은 정리, 다른 고리

지금까지의 논증에서 $\mathbb{F}[x]$에 대해 쓴 것은 나눗셈 정리뿐이었습니다. 따라서 모든 것이 $\mathbb{Z}$에서도 성립합니다. 정수 행렬 $M$에 대해 $\mathbb{Z}^m/M\mathbb{Z}^n$은 스미스 표준형으로

이 됩니다. 유한 개의 원소로 생성되는 모든 아벨 군은 이런 모양입니다(유한생성 아벨 군의 기본정리(fundamental theorem of finitely generated abelian groups)).

예제 29.16. $M = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{bmatrix}$. 성분의 최대공약수 $\Delta_1 = 2$, $\Delta_2 = \lvert \det M \rvert = 8$이므로 $d_1 = 2$, $d_2 = 4$. $\mathbb{Z}^2/M\mathbb{Z}^2 \cong \mathbb{Z}/2 \oplus \mathbb{Z}/4$. 원소는 8개이고, 이것은 $\lvert \det M \rvert$가 평행사변형 $M[0, 1]^2$의 넓이이자 그 안에 들어가는 격자점의 개수라는 사실과 맞습니다.

직관. $\mathbb{Z}^2/M\mathbb{Z}^2$는 “$M$의 열을 0으로 여긴 정수 격자”입니다. 모든 격자점은 $M$의 열을 정수 번 더하고 빼서 기본 평행사변형 안의 점 하나로 옮길 수 있고, 그 점들이 군의 원소입니다. 아래 위젯에서 $(1, 0)$을 거듭 더해 그 점들을 모두 지나는지 보면, 군이 순환군인지($d_1 = 1$) 알 수 있습니다.

두 고리를 아우르는 개념이 주 아이디얼 정역(PID)입니다. 정리 29.7이 성립하는 정역(곱해서 0이면 하나가 0인 가환환)을 말하며, 위의 모든 결과는 PID 위의 유한생성 모듈에 대해 성립합니다. 이 일반화는 추상대수학의 몫입니다.

▶ 문제 29.14–29.15

쓰이는 곳. 유한생성 아벨 군의 분류는 결정학, 부호이론, 위상수학(호몰로지)에서 쓰입니다. 머신러닝·공학 논문에서는 드물게 나오므로 필요할 때 돌아와 읽어도 됩니다.

이 장의 요약

• $p \cdot v = p(T)v$로 $V$는 $\mathbb{F}[x]$-모듈 $V_T$가 됩니다. 부분모듈은 불변 부분공간, 동형은 닮음입니다.
• 순환 부분공간 $Z(v, T)$는 기저 $v, \ldots, T^{k-1}v$에서 동반행렬 $C(p_v)$로 표현됩니다.
• $V_A \cong \mathbb{F}[x]^n/(xI - A)\mathbb{F}[x]^n$. 다항식 행렬 $xI - A$를 스미스 표준형으로 바꾸면 $V_A \cong \bigoplus \mathbb{F}[x]/(d_i)$.
• 유리 표준형: $\operatorname{diag}(C(d_1), \ldots, C(d_r))$, $d_1 \mid \cdots \mid d_r$. 임의의 체에서 존재하고 유일합니다. $d_r = m_T$, $\prod d_i = \det(xI - T)$.
• 닮음 판정: $xI - A$와 $xI - B$의 불변 인자가 같습니다. 체를 넓혀도 닮음은 변하지 않습니다.
• 불변 인자를 기약 거듭제곱으로 쪼개면 기본 인자. $\mathbb{C}$에서 기본 인자 $(x - \lambda)^k$는 조르당 블록 $J_k(\lambda)$입니다.
• 같은 정리가 $\mathbb{Z}$에서는 유한생성 아벨 군의 분류입니다.

문제

1
2
3
O

5
6
0
0

2
6
12
144

2
-5
4

O
X
X