2장. 연속

연속함수는 “그래프를 펜을 떼지 않고 그릴 수 있는” 함수입니다. 이 직관을 1장의 극한으로 정확히 정의하고, 연속함수에 대해서만 성립하는 두 정리(중간값 정리, 최대·최소 정리)를 다룹니다. 두 정리는 0장의 실수의 완비성에 기대고 있습니다.

2.1 정의

정의 2.1 (연속). 함수 $f$ 가 $x = a$ 에서 연속(continuous)이라는 것은

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

라는 뜻입니다. 곧 (1) $f(a)$ 가 정의되고, (2) 극한이 존재하고, (3) 둘이 같아야 합니다. 구간의 모든 점에서 연속이면 그 구간에서 연속이라 합니다(끝점에서는 한쪽 극한).

2.2 불연속의 종류

종류	예	무엇이 깨졌나
제거 가능	$\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ ( $x = 1$ )	극한은 있지만 $f(a)$ 가 없거나 다름
도약	$\lfloor x \rfloor$ (정수점)	좌극한 ≠ 우극한
무한	$1/x$ ( $x = 0$ )	한쪽 극한이 $\pm\infty$
진동	$\sin(1/x)$ ( $x = 0$ )	극한이 없음

제거 가능 불연속은 $f(a)$ 를 극한값으로 다시 정하면 연속이 됩니다.

예제 2.2. $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ ( $x \ne 0$ ), $f(0) = 1$ 로 정하면 정리 1.12에 따라 $f$ 는 모든 실수에서 연속입니다.

2.3 연속함수의 연산

정리 2.3. $f$ , $g$ 가 $a$ 에서 연속이면 $f + g$ , $f - g$ , $fg$ , 그리고 $g(a) \ne 0$ 일 때 $f/g$ 도 $a$ 에서 연속입니다.

극한 법칙(정리 1.4)에서 바로 나옵니다.

정리 2.4 (합성). $g$ 가 $a$ 에서 연속이고 $f$ 가 $g(a)$ 에서 연속이면 $f \circ g$ 는 $a$ 에서 연속입니다. 곧 $\lim_{x\to a} f(g(x)) = f(\lim_{x\to a} g(x))$ 입니다.

정리 2.5. 다항함수, 유리함수(정의역에서), $\sin$ , $\cos$ , $e^x$ , $\ln x$ ( $x > 0$ ), $\sqrt{x}$ ( $x \ge 0$ )는 모두 정의역에서 연속입니다.

이 정리들 덕분에 대부분의 식은 “정의되는 곳에서 연속”이고, 극한은 대입으로 구합니다.

예제 2.6. $\lim_{x\to0} e^{\cos x} = e^{\cos 0} = e$ (합성 함수의 연속성).

2.4 중간값 정리

정리 2.7 (중간값 정리). $f$ 가 $[a, b]$ 에서 연속이고 $N$ 이 $f(a)$ 와 $f(b)$ 사이의 수이면, $f(c) = N$ 인 $c \in [a, b]$ 가 있습니다.

증명 개요. $f(a) < N < f(b)$ 라 하고 $S = \{x \in [a, b] \mid f(x) < N\}$ 의 상한을 $c$ 라 합니다(완비성). $f(c) < N$ 이면 연속성으로 $c$ 보다 조금 큰 점에서도 $f < N$ 이라 $c$ 가 상한이라는 데 어긋나고, $f(c) > N$ 이면 $c$ 보다 조금 작은 점에서도 $f > N$ 이라 역시 어긋납니다. 그러므로 $f(c) = N$ 입니다. □

따름정리 2.8 (근의 존재). $f$ 가 $[a, b]$ 에서 연속이고 $f(a)$ 와 $f(b)$ 의 부호가 다르면 $(a, b)$ 에 $f(c) = 0$ 인 $c$ 가 있습니다.

예제 2.9. $x^3 + x - 1 = 0$ 은 $(0, 1)$ 에 근이 있습니다. $f(0) = -1 < 0 < 1 = f(1)$ 입니다.

이분법

따름정리 2.8을 되풀이하면 근을 원하는 정확도로 찾을 수 있습니다. 구간의 가운데 점에서 부호를 보고, 부호가 바뀌는 쪽 절반을 남깁니다. 한 번 할 때마다 구간이 절반이 됩니다.

단계	구간	가운데 $m$	$f(m)$ 부호
1	$[0, 1]$	0.5	$-$
2	$[0.5, 1]$	0.75	$+$
3	$[0.5, 0.75]$	0.625	$-$
4	$[0.625, 0.75]$	0.6875	$+$
5	$[0.625, 0.6875]$	…

근은 약 $0.6823$ 입니다. $n$ 단계 뒤 구간의 길이는 $(b - a)/2^n$ 입니다.

2.5 최대·최소 정리

정리 2.10 (최대·최소 정리). 닫힌구간 $[a, b]$ 에서 연속인 함수는 그 구간에서 최댓값과 최솟값을 가집니다.

두 조건이 모두 필요합니다.

닫힌구간이 아니면 깨집니다: $f(x) = x$ 는 $(0, 1)$ 에서 최댓값이 없습니다(1에 가까워지기만 함).
연속이 아니면 깨집니다: $[-1, 1]$ 에서 $f(x) = 1/x$ ( $x \ne 0$ ), $f(0) = 0$ 은 위로 끝없이 커집니다.

이 정리는 6장의 최적화에서 “닫힌구간에서는 최대·최소가 반드시 있으니, 후보(임계점과 끝점)만 비교하면 된다”는 근거가 됩니다.

쓰이는 곳. 중간값 정리와 이분법은 방정식의 근을 찾는 수치 알고리즘의 바탕이고, 최대·최소 정리는 '최적해가 존재한다'는 주장의 근거입니다. 신경망이 연속함수를 근사할 수 있다는 정리(보편 근사 정리)도 연속성을 다룹니다.

2.6 이 장의 요약

연속 ⟺ $\lim_{x\to a}f(x) = f(a)$ . 식으로 만든 함수는 정의되는 곳에서 연속입니다.
중간값 정리: 부호가 바뀌면 그 사이에 근. 이분법으로 찾습니다.
닫힌구간의 연속함수는 최대·최소를 가집니다.

문제

2.1 [계산] · 확인 문제

함수 $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ ( $x \ne 2$ ), $f(2) = k$ 가 모든 실수에서 연속이 되는 $k$ 는?

정답

풀이

$\lim_{x\to2}\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x\to2}(x + 2) = 4$ 이므로 $k = 4$ 입니다.

2.2 [계산] · 확인 문제

$f(x) = ax + 1$ ( $x < 1$ ), $f(x) = x^2 + 3$ ( $x \ge 1$ )이 $x = 1$ 에서 연속이 되는 $a$ 는?

정답

풀이

좌극한 $a + 1$ 과 $f(1) = 4$ 가 같아야 하므로 $a = 3$ 입니다.

2.3 [계산] · 확인 문제

$[0, 1]$ 에서 이분법을 쓸 때, 근을 오차 $0.001$ 이내로 좁히려면(구간의 길이가 $0.001$ 이하) 최소 몇 단계가 필요할까요?

정답

풀이

$n$ 단계 뒤 길이는 $1/2^n$ 입니다. $2^{10} = 1024 > 1000$ 이고 $2^9 = 512 < 1000$ 이므로 10단계입니다.

2.4 [개념]

주어진 구간에서 최댓값을 반드시 갖는 것을 모두 고릅니다.

$f(x) = x^2$ , $[-1, 2]$
$f(x) = 1/x$ , $(0, 1]$
$f(x) = \sin x$ , $\mathbb{R}$
$f(x) = x$ , $[0, 1)$

정답

1,3

풀이

1번은 닫힌구간의 연속함수이므로 정리 2.10에 따라 최댓값(4)이 있습니다. 2번은 0 근처에서 끝없이 커집니다. 3번은 정리 2.10의 조건(닫힌구간)이 맞지 않지만 실제로 최댓값 1을 가집니다. 4번은 1에 가까워지기만 하고 최댓값이 없습니다. “반드시 갖는 것”은 실제로 최댓값이 있는 1번과 3번입니다.

2.5 [계산]

$f(x) = x^3 - 2$ 의 근을 $[1, 2]$ 에서 이분법으로 찾을 때, 3단계 뒤 남는 구간의 왼쪽 끝은? (각 단계에서 가운데 점의 부호로 절반을 남깁니다)

정답

1.25

풀이

1단계: $m = 1.5$ , $f = 1.375 > 0$ → $[1, 1.5]$ . 2단계: $m = 1.25$ , $f = -0.047 < 0$ → $[1.25, 1.5]$ . 3단계: $m = 1.375$ , $f = 0.600 > 0$ → $[1.25, 1.375]$ . 왼쪽 끝은 1.25입니다. (실제 근 $\sqrt[3]{2} \approx 1.26$ .)

2.6 [증명]

홀수 차수 다항식은 실근을 적어도 하나 가짐을 보입니다.

힌트 1

최고차항의 계수가 양수인 $p(x) = x^n + \cdots$ ( $n$ 홀수)이면 $x \to \infty$ 에서 $+\infty$ , $x \to -\infty$ 에서 $-\infty$ 로 갑니다.

풀이

최고차항 계수를 1로 나눠 $p(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0$ ( $n$ 홀수)라 합시다. $p(x) = x^n(1 + a_{n-1}/x + \cdots + a_0/x^n)$ 이고 괄호 안은 $x \to \pm\infty$ 에서 1로 가므로, 충분히 큰 $M$ 에서 $p(M) > 0$ , $p(-M) < 0$ 입니다( $n$ 이 홀수라 $(-M)^n < 0$ ). 다항식은 연속이므로 따름정리 2.8에 따라 $(-M, M)$ 에 근이 있습니다.