7장. 정적분

미분이 “순간의 변화율”이었다면, 적분은 “쌓인 양”입니다. 곡선 아래의 넓이, 속도로부터 이동 거리, 밀도로부터 질량은 모두 “작은 조각의 합의 극한”입니다. 이 장에서는 그 극한을 정의하고, 8장에서 그것이 미분의 거꾸로임을 봅니다.

7.1 넓이 문제

$y = x^2$ 아래, $0 \le x \le 1$ 의 넓이를 구합니다. 구간을 $n$ 등분하고 각 조각 위에 직사각형을 세웁니다. 오른쪽 끝점의 높이를 쓰면 직사각형의 폭은 $\frac1n$ , 높이는 $\left(\frac kn\right)^2$ 이므로 넓이의 합은

R_n = \sum_{k=1}^n \left(\frac kn\right)^2\frac1n = \frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} \to \frac13.

합 공식은 이산수학 6강의 정리 6.3입니다. 직사각형을 잘게 할수록 넓이에 가까워지고, 극한이 넓이입니다.

7.2 시그마 기호

$\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ . 선형성 $\sum(ca_k + b_k) = c\sum a_k + \sum b_k$ 를 만족합니다.

정리 7.1 (합 공식).

\sum_{k=1}^n 1 = n, \quad \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}2, \quad \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}6, \quad \sum_{k=1}^n k^3 = \left(\frac{n(n+1)}2\right)^2.

7.3 리만 합과 정적분

정의 7.2 (리만 합). $[a, b]$ 를 $a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$ 로 나누고 각 조각 $[x_{k-1}, x_k]$ 에서 점 $x_k^*$ 를 고를 때

\sum_{k=1}^n f(x_k^*)\,\Delta x_k \qquad (\Delta x_k = x_k - x_{k-1})

를 리만 합(Riemann sum)이라 합니다.

정의 7.3 (정적분). 조각의 최대 폭을 0으로 보낼 때 리만 합이 (점의 선택과 상관없이) 한 값으로 가면, 그 값을 $f$ 의 $a$ 에서 $b$ 까지의 정적분(definite integral)이라 하고

\int_a^b f(x)\,dx

로 씁니다. 이때 $f$ 는 $[a, b]$ 에서 적분 가능(integrable)합니다.

기호 $\int$ 는 합(Sum)의 S를 늘인 것이고, $dx$ 는 폭 $\Delta x$ 에서 왔습니다. $f$ 가 음수인 곳에서는 넓이를 빼므로, 정적분은 $x$ 축 위의 넓이에서 아래의 넓이를 뺀 부호 있는 넓이입니다.

정리 7.4. $[a, b]$ 에서 연속인 함수는 적분 가능합니다. 유한 개의 점에서만 불연속이고 유계인 함수도 적분 가능합니다.

7.4 정적분의 성질

정리 7.5.

$\int_a^b (cf + g)\,dx = c\int_a^b f\,dx + \int_a^b g\,dx$
$\int_a^b f\,dx + \int_b^c f\,dx = \int_a^c f\,dx$
$\int_a^a f\,dx = 0$ , $\int_b^a f\,dx = -\int_a^b f\,dx$
$[a, b]$ 에서 $f \le g$ 이면 $\int_a^b f\,dx \le \int_a^b g\,dx$
$m \le f \le M$ 이면 $m(b - a) \le \int_a^b f\,dx \le M(b - a)$

모두 리만 합의 성질에서 극한으로 넘어온 것입니다.

정리 7.6 (적분의 평균값 정리). $f$ 가 $[a, b]$ 에서 연속이면 $\int_a^b f\,dx = f(c)(b - a)$ 인 $c \in [a, b]$ 가 있습니다. 값 $\frac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$ 를 $f$ 의 평균값(mean value)이라 합니다.

증명. 성질 5와 최대·최소 정리로 평균값은 최솟값과 최댓값 사이에 있고, 중간값 정리로 그 값을 $f(c)$ 로 갖는 $c$ 가 있습니다. □

7.5 정의로 계산하기

예제 7.7. $\int_0^2 (3x + 1)\,dx$ . $n$ 등분, 오른쪽 끝점: $\Delta x = 2/n$ , $x_k = 2k/n$ .

\sum_{k=1}^n \left(\frac{6k}{n} + 1\right)\frac2n = \frac{12}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}2 + 2 \to 6 + 2 = 8.

사다리꼴의 넓이 $\frac{(1 + 7)\cdot2}{2} = 8$ 과 같습니다.

예제 7.8. 대칭성: $f$ 가 기함수이면 $\int_{-a}^a f\,dx = 0$ , 우함수이면 $\int_{-a}^a f\,dx = 2\int_0^a f\,dx$ 입니다. 예: $\int_{-1}^1 x^3\,dx = 0$ .

정의로 계산하는 것은 번거롭습니다. 8장의 기본정리는 이 극한을 도함수의 거꾸로(원시함수)로 단번에 구하게 해 줍니다.

쓰이는 곳. 연속 확률분포의 확률은 밀도함수의 정적분이고, 물리의 일·질량·전하량은 밀도를 적분한 것입니다. 리만 합은 컴퓨터가 적분을 근사하는 수치적분의 출발점입니다.

7.6 이 장의 요약

정적분 = 리만 합의 극한 = 부호 있는 넓이.
연속함수는 적분 가능합니다.
선형성, 구간 가법성, 대소 비교, 평균값 정리.

문제

7.1 [계산] · 확인 문제

$\displaystyle\sum_{k=1}^{10}(2k^2 - k)$ 는?

정답

풀이

$2\cdot\frac{10\cdot11\cdot21}6 - \frac{10\cdot11}2 = 770 - 55 = 715$ 입니다.

7.2 [계산] · 확인 문제

$\int_0^1 x^2\,dx$ 의 오른쪽 끝점 리만 합 $R_n$ 을 $n = 4$ 로 계산한 값은? (분수로 답할 수 있습니다)

정답

15/32

풀이

$\frac14\left(\frac1{16} + \frac4{16} + \frac9{16} + \frac{16}{16}\right) = \frac{30}{64} = \frac{15}{32}$ 입니다. 참값 $\frac13$ 보다 큽니다( $x^2$ 이 증가하므로 오른쪽 끝점이 높음).

7.3 [계산] · 확인 문제

넓이(기하)로 $\int_{-3}^{3}\sqrt{9 - x^2}\,dx$ 를 구합니다.

힌트 1

$y = \sqrt{9 - x^2}$ 은 반지름 3인 반원입니다.

정답

9π/2

풀이

반지름 3인 반원의 넓이 $\frac12\pi\cdot9 = \frac{9\pi}2$ 입니다.

7.4 [계산]

$\int_{-2}^{2}(x^3 + 3)\,dx$ 는?

정답

풀이

$x^3$ 은 기함수라 적분이 0이고, $\int_{-2}^2 3\,dx = 12$ 입니다.

7.5 [계산]

$\int_0^4 f(x)\,dx = 10$ , $\int_0^1 f(x)\,dx = 3$ 일 때 $\int_1^4 f(x)\,dx$ 는?

정답

풀이

구간 가법성으로 $10 - 3 = 7$ 입니다.

7.6 [증명]

정의(리만 합)로 $\int_0^b x\,dx = \frac{b^2}2$ 임을 보입니다.

풀이

$n$ 등분, 오른쪽 끝점이면 $\Delta x = b/n$ , $x_k = kb/n$ 이므로 $\sum_{k=1}^n \frac{kb}n\cdot\frac bn = \frac{b^2}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}2 = \frac{b^2}2\cdot\frac{n+1}n \to \frac{b^2}2$ 입니다. 연속함수이므로 점의 선택과 상관없이 같은 값입니다.