5장. 연립 선형계와 고윳값

여러 양이 서로 영향을 주며 변하는 경우가 많습니다. 두 탱크 사이를 오가는 소금물, 연결된 두 진자, 포식자와 먹이, 신경망의 은닉 상태가 그렇습니다. 이런 계는 벡터 방정식 $\mathbf x' = A\mathbf x$로 쓰이고, 선형대수의 고윳값이 그 해를 완전히 결정합니다. 3장의 특성방정식은 사실 이 장의 고윳값 방정식의 특수한 경우입니다.

5.1 일계 연립계로 바꾸기

모든 고계 방정식은 일계 연립계로 바꿀 수 있습니다. $mx'' + cx' + kx = 0$에서 $x_1 = x$(위치), $x_2 = x'$(속도)로 두면

그래서 이론과 수치 풀이(7장)는 일계 연립계 $\mathbf x' = \mathbf f(t, \mathbf x)$만 다루면 충분합니다. $(x_1, x_2)$가 사는 평면을 상평면(phase plane), 더 일반적으로 상공간(phase space)이라 합니다.

5.2 고유벡터 해

$\mathbf x' = A\mathbf x$에 $\mathbf x = e^{\lambda t}\mathbf v$를 넣으면 $\lambda e^{\lambda t}\mathbf v = e^{\lambda t}A\mathbf v$, 곧

고윳값과 고유벡터가 바로 지수 해를 줍니다.

정리 5.1. $A$($n \times n$)가 일차독립인 고유벡터 $\mathbf v_1, \dots, \mathbf v_n$(고윳값 $\lambda_1, \dots, \lambda_n$)을 가지면

뜻: 고유벡터 방향으로 보면 계가 서로 독립인 $n$개의 1차원 방정식 $y_i' = \lambda_iy_i$로 갈라집니다(대각화). 각 방향은 $e^{\lambda_it}$로 늘거나 줄어듭니다.

예제 5.2. $A = \begin{pmatrix}1 & 2\\2 & 1\end{pmatrix}$. 고윳값 $3$($\mathbf v = (1, 1)$), $-1$($\mathbf v = (1, -1)$).

$\mathbf x(0) = (2, 0)$이면 $c_1 + c_2 = 2$, $c_1 - c_2 = 0$에서 $c_1 = c_2 = 1$.

3장과의 관계. 5.1절의 행렬의 특성다항식 $\det(A - \lambda I) = \lambda^2 + \frac cm\lambda + \frac km$에 $m$을 곱하면 3장의 특성방정식 $m\lambda^2 + c\lambda + k = 0$입니다.

5.3 행렬 지수함수

일변수 $x' = ax$의 해가 $e^{at}x_0$이듯이

정의 5.3. $e^{At} = I + At + \frac{(At)^2}{2!} + \frac{(At)^3}{3!} + \cdots$를 행렬 지수함수(matrix exponential)라 합니다. $\mathbf x' = A\mathbf x$, $\mathbf x(0) = \mathbf x_0$의 해는 $\mathbf x(t) = e^{At}\mathbf x_0$입니다.

$A = PDP^{-1}$로 대각화되면 $e^{At} = Pe^{Dt}P^{-1}$, $e^{Dt} = \mathrm{diag}(e^{\lambda_1t}, \dots, e^{\lambda_nt})$입니다. 정리 5.1을 행렬로 쓴 것입니다.

예제 5.4. $A = \begin{pmatrix}0 & -\omega\\\omega & 0\end{pmatrix}$이면 $e^{At} = \begin{pmatrix}\cos\omega t & -\sin\omega t\\\sin\omega t & \cos\omega t\end{pmatrix}$, 곧 각속도 $\omega$의 회전입니다. 고윳값 $\pm i\omega$가 순수 허수이면 회전(진동)이 됩니다.

5.4 상평면의 분류 (2×2)

고윳값의 실수부가 늘거나 줄어드는 정도를, 허수부가 회전의 빠르기를 정합니다.

예제 5.2는 안장점, 감쇠 진동자(부족감쇠)는 안정 나선, 마찰 없는 진동자는 중심입니다.

정리 5.5 (안정성). $\mathbf x' = A\mathbf x$의 모든 해가 $\mathbf 0$으로 갈 필요충분조건은 모든 고윳값의 실수부가 음수인 것입니다.

2×2이면 대각합 $\tau = \mathrm{tr}A$와 행렬식 $\Delta = \det A$로 바로 판정할 수 있습니다. 고윳값의 합이 $\tau$, 곱이 $\Delta$이므로 $\tau < 0$이고 $\Delta > 0$이면 안정, $\Delta < 0$이면 안장점입니다.

5.5 이 장의 요약

• 고계 방정식 → 일계 연립계 $\mathbf x' = A\mathbf x$.
• 해 $= \sum c_ie^{\lambda_it}\mathbf v_i = e^{At}\mathbf x_0$.
• 고윳값의 실수부 → 성장/감쇠, 허수부 → 회전. 마디점·안장점·나선·중심.
• 안정 ⇔ 모든 고윳값의 실수부 < 0. 2×2: $\mathrm{tr} < 0$, $\det > 0$.

쓰이는 곳. 연결된 진동자와 분자의 정규 모드, 회로망 해석, 제어공학의 상태공간 모형과 안정성 판정, 역학계 이론, 신경망의 연속 시간 해석(선형 RNN과 상태공간 모델 S4·Mamba는 $\mathbf x' = A\mathbf x + B\mathbf u$를 이산화한 것), 경사하강법의 연속판 $\mathbf x' = -\nabla f$를 이차함수 근처에서 본 것($A = -H$)이 이 장의 내용입니다.

문제

-4
-2

4

20.4534
19.7177

1