그네를 탈 때 그네가 흔들리는 박자에 맞춰 발을 구르면, 작은 힘으로도 크게 흔들 수 있습니다. 이것이 공명입니다. 라디오가 원하는 방송국만 골라 듣는 것도, 군대가 다리 위에서 발을 맞추지 않는 것도 공명 때문입니다. 이 장에서는 외부에서 주기적인 힘이 가해지는 진동 m x ′ ′ + c x ′ + k x = F ( t ) mx'' + cx' + kx = F(t) m x ′′ + c x ′ + k x = F ( t )
4.1 비동차 방정식의 구조
2장 정리 2.5 와 같이, a y ′ ′ + b y ′ + c y = f ( t ) ay'' + by' + cy = f(t) a y ′′ + b y ′ + cy = f ( t )
y = y h + y p ( 동차해 + 특수해 하나 ) . y = y_h + y_p \quad (\text{동차해} + \text{특수해 하나}). y = y h + y p ( 동차해 + 특수해 하나 ) . 동차해 y h y_h y h
4.2 미정계수법
입력 f f f sin \sin sin cos \cos cos 미정계수법 (method of undetermined coefficients)이라 합니다.
입력 f ( t ) f(t) f ( t )
추측할 y p y_p y p
e s t e^{st} e s t A e s t Ae^{st} A e s t
다항식 (n n n
n n n
cos ω t \cos\omega t cos ω t sin ω t \sin\omega t sin ω t A cos ω t + B sin ω t A\cos\omega t + B\sin\omega t A cos ω t + B sin ω t
추측한 꼴이 이미 동차해이면 t t t
예제 4.1. y ′ ′ + 3 y ′ + 2 y = 4 e t y'' + 3y' + 2y = 4e^{t} y ′′ + 3 y ′ + 2 y = 4 e t y p = A e t y_p = Ae^t y p = A e t A ( 1 + 3 + 2 ) = 4 A(1 + 3 + 2) = 4 A ( 1 + 3 + 2 ) = 4 A = 2 3 A = \frac23 A = 3 2 y = C 1 e − t + C 2 e − 2 t + 2 3 e t y = C_1e^{-t} + C_2e^{-2t} + \frac23e^t y = C 1 e − t + C 2 e − 2 t + 3 2 e t
예제 4.2. y ′ ′ + y = 3 t y'' + y = 3t y ′′ + y = 3 t y p = a t + b y_p = at + b y p = a t + b a t + b = 3 t at + b = 3t a t + b = 3 t y p = 3 t y_p = 3t y p = 3 t
4.3 복소지수로 풀기
cos ω t = R e e i ω t \cos\omega t = \mathrm{Re}\,e^{i\omega t} cos ω t = Re e iω t F 0 e i ω t F_0e^{i\omega t} F 0 e iω t
m x ′ ′ + c x ′ + k x = F 0 e i ω t mx'' + cx' + kx = F_0e^{i\omega t} m x ′′ + c x ′ + k x = F 0 e iω t x p = X e i ω t x_p = Xe^{i\omega t} x p = X e iω t ( − m ω 2 + i c ω + k ) X = F 0 (-m\omega^2 + ic\omega + k)X = F_0 ( − m ω 2 + i c ω + k ) X = F 0
X = F 0 k − m ω 2 + i c ω . X = \frac{F_0}{k - m\omega^2 + ic\omega}. X = k − m ω 2 + i c ω F 0 . 정리 4.3 (진폭 응답). 입력 F 0 cos ω t F_0\cos\omega t F 0 cos ω t x p = ∣ X ∣ cos ( ω t − ϕ ) x_p = |X|\cos(\omega t - \phi) x p = ∣ X ∣ cos ( ω t − ϕ )
∣ X ∣ = F 0 ( k − m ω 2 ) 2 + ( c ω ) 2 , tan ϕ = c ω k − m ω 2 . |X| = \frac{F_0}{\sqrt{(k - m\omega^2)^2 + (c\omega)^2}}, \qquad \tan\phi = \frac{c\omega}{k - m\omega^2}. ∣ X ∣ = ( k − m ω 2 ) 2 + ( c ω ) 2 F 0 , tan ϕ = k − m ω 2 c ω . H ( ω ) = 1 k − m ω 2 + i c ω H(\omega) = \frac{1}{k - m\omega^2 + ic\omega} H ( ω ) = k − m ω 2 + i c ω 1 전달함수 (transfer function) 또는 주파수 응답이라 합니다. 크기는 진폭이 몇 배가 되는지, 편각은 위상이 얼마나 늦는지를 알려 줍니다(푸리에 해석 10장).
4.4 공명
∣ X ∣ |X| ∣ X ∣ ω \omega ω ω 0 = k / m \omega_0 = \sqrt{k/m} ω 0 = k / m
감쇠가 없으면 (c = 0 c = 0 c = 0 ω = ω 0 \omega = \omega_0 ω = ω 0 ∣ X ∣ = ∞ |X| = \infty ∣ X ∣ = ∞ t sin ω 0 t t\sin\omega_0t t sin ω 0 t t t t 공명 (resonance)이라 합니다.감쇠가 있으면 진폭은 유한하지만, 감쇠가 작을수록 ω 0 \omega_0 ω 0
ω = ω 0 \omega = \omega_0 ω = ω 0 ∣ X ∣ = F 0 c ω 0 |X| = \frac{F_0}{c\omega_0} ∣ X ∣ = c ω 0 F 0 F 0 / k F_0/k F 0 / k
Q = k c ω 0 = m k c = 1 2 ζ Q = \frac{k}{c\omega_0} = \frac{\sqrt{mk}}{c} = \frac{1}{2\zeta} Q = c ω 0 k = c mk = 2 ζ 1 를 Q 인자 (quality factor)라 합니다. Q Q Q Q ∼ 10 4 Q \sim 10^4 Q ∼ 1 0 4
예제 4.4. m = 1 m = 1 m = 1 k = 100 k = 100 k = 100 c = 2 c = 2 c = 2 ω 0 = 10 \omega_0 = 10 ω 0 = 10 Q = 10 / 2 = 5 Q = 10/2 = 5 Q = 10/2 = 5 F 0 = 1 F_0 = 1 F 0 = 1 0.01 0.01 0.01 0.05 0.05 0.05
4.5 RLC 회로
인덕터 L L L R R R C C C V ( t ) V(t) V ( t ) q ( t ) q(t) q ( t )
L q ′ ′ + R q ′ + 1 C q = V ( t ) . Lq'' + Rq' + \frac1Cq = V(t). L q ′′ + R q ′ + C 1 q = V ( t ) . 용수철–질량 계와 같은 꼴입니다: L ↔ m L \leftrightarrow m L ↔ m R ↔ c R \leftrightarrow c R ↔ c 1 / C ↔ k 1/C \leftrightarrow k 1/ C ↔ k ω 0 = 1 / L C \omega_0 = 1/\sqrt{LC} ω 0 = 1/ L C C C C ω 0 \omega_0 ω 0
4.6 맥놀이
감쇠가 없고 ω \omega ω ω 0 \omega_0 ω 0 x ( 0 ) = x ′ ( 0 ) = 0 x(0) = x'(0) = 0 x ( 0 ) = x ′ ( 0 ) = 0
x = F 0 m ( ω 0 2 − ω 2 ) ( cos ω t − cos ω 0 t ) = 2 F 0 m ( ω 0 2 − ω 2 ) sin ( ω 0 − ω ) t 2 sin ( ω 0 + ω ) t 2 . x = \frac{F_0}{m(\omega_0^2 - \omega^2)}(\cos\omega t - \cos\omega_0t) = \frac{2F_0}{m(\omega_0^2 - \omega^2)}\sin\frac{(\omega_0 - \omega)t}{2}\sin\frac{(\omega_0 + \omega)t}{2}. x = m ( ω 0 2 − ω 2 ) F 0 ( cos ω t − cos ω 0 t ) = m ( ω 0 2 − ω 2 ) 2 F 0 sin 2 ( ω 0 − ω ) t sin 2 ( ω 0 + ω ) t . 빠른 진동 sin ω 0 + ω 2 t \sin\frac{\omega_0 + \omega}2t sin 2 ω 0 + ω t sin ω 0 − ω 2 t \sin\frac{\omega_0 - \omega}2t sin 2 ω 0 − ω t 맥놀이 (beats)라 하며, 악기를 조율할 때 씁니다.
4.7 이 장의 요약
일반해 = 동차해 + 특수해. 미정계수법: 입력과 같은 꼴로 추측.
복소지수 입력 → 전달함수 H ( ω ) = 1 / ( k − m ω 2 + i c ω ) H(\omega) = 1/(k - m\omega^2 + ic\omega) H ( ω ) = 1/ ( k − m ω 2 + i c ω )
공명: ω ≈ ω 0 \omega \approx \omega_0 ω ≈ ω 0 Q = 1 / ( 2 ζ ) Q = 1/(2\zeta) Q = 1/ ( 2 ζ )
RLC 회로는 같은 방정식. 맥놀이 = 가까운 진동수의 간섭.
쓰이는 곳. 라디오·필터 설계, 다리와 건물의 공명 회피(타코마 다리, 밀레니엄 다리), MRI와 핵자기공명, 원자 시계, 레이저 공진기, 기계의 진동 시험, 물리 논문의 공명 곡선(로렌츠 모양) 맞춤이 이 장의 방정식입니다.
문제
4.1 [계산] · 확인 문제
y ′ ′ + 4 y = 8 e 2 t y'' + 4y = 8e^{2t} y ′′ + 4 y = 8 e 2 t A e 2 t Ae^{2t} A e 2 t A A A
정답 풀이 A ( 4 + 4 ) = 8 A(4 + 4) = 8 A ( 4 + 4 ) = 8 A = 1 A = 1 A = 1
4.2 [계산] · 확인 문제
x ′ ′ + 2 x ′ + 5 x = 10 cos t x'' + 2x' + 5x = 10\cos t x ′′ + 2 x ′ + 5 x = 10 cos t
정답 풀이 ∣ X ∣ = 10 ( 5 − 1 ) 2 + 2 2 = 10 20 = 5 ≈ 2.2361 |X| = \frac{10}{\sqrt{(5 - 1)^2 + 2^2}} = \frac{10}{\sqrt{20}} = \sqrt5 \approx 2.2361 ∣ X ∣ = ( 5 − 1 ) 2 + 2 2 10 = 20 10 = 5 ≈ 2.2361
4.3 [계산] · 확인 문제
L = 0.01 L = 0.01 L = 0.01 C = 10 − 6 C = 10^{-6} C = 1 0 − 6
정답 풀이 ω 0 = 1 / 10 − 8 = 10 4 \omega_0 = 1/\sqrt{10^{-8}} = 10^4 ω 0 = 1/ 1 0 − 8 = 1 0 4
4.4 [계산] · 확인 문제
m = 4 m = 4 m = 4 k = 100 k = 100 k = 100 c = 1 c = 1 c = 1
정답 풀이 Q = m k / c = 400 / 1 = 20 Q = \sqrt{mk}/c = \sqrt{400}/1 = 20 Q = mk / c = 400 /1 = 20
4.5 [증명]
감쇠가 없는 x ′ ′ + ω 0 2 x = cos ω 0 t x'' + \omega_0^2x = \cos\omega_0t x ′′ + ω 0 2 x = cos ω 0 t x p = t 2 ω 0 sin ω 0 t x_p = \frac{t}{2\omega_0}\sin\omega_0t x p = 2 ω 0 t sin ω 0 t
풀이 x p ′ = 1 2 ω 0 sin ω 0 t + t 2 cos ω 0 t x_p' = \frac{1}{2\omega_0}\sin\omega_0t + \frac t2\cos\omega_0t x p ′ = 2 ω 0 1 sin ω 0 t + 2 t cos ω 0 t x p ′ ′ = cos ω 0 t − ω 0 t 2 sin ω 0 t x_p'' = \cos\omega_0t - \frac{\omega_0t}{2}\sin\omega_0t x p ′′ = cos ω 0 t − 2 ω 0 t sin ω 0 t x p ′ ′ + ω 0 2 x p = cos ω 0 t x_p'' + \omega_0^2x_p = \cos\omega_0t x p ′′ + ω 0 2 x p = cos ω 0 t t 2 ω 0 \frac{t}{2\omega_0} 2 ω 0 t t t t