1장. 미적분 도구

푸리에 해석은 적분을 많이 씁니다. 이 장은 뒤에서 필요한 미적분 도구(극한, 미분, 적분, 부분적분, 이상적분, 우함수·기함수의 대칭성)를 모아 둔 요약입니다. 처음 배우는 내용이 있다면 미적분학 과목의 해당 장을 먼저 읽고 돌아오면 됩니다.

푸리에 변환은 적분으로 정의되고, 그 성질은 미분, 치환적분, 부분적분, 급수로 증명됩니다. 이 장은 뒤에서 실제로 쓰는 도구만 골라 정리합니다. 각 절 끝의 “어디에 쓰나”가 그 도구의 용도입니다.

1.1 합 기호와 함수

수 $a_m, a_{m+1}, \ldots, a_n$의 합을

으로 씁니다. $k$는 첨자이고 다른 글자로 바꿔도 값은 같습니다. 합 기호는 선형입니다.

첨자를 옮기는 계산을 자주 합니다. $m = k - 1$로 놓으면 $\sum_{k=1}^{N} a_{k-1} = \sum_{m=0}^{N-1} a_m$입니다. 이중합 $\sum_n \sum_m a_{nm}$은 항이 유한 개이면 더하는 순서를 바꿔도 됩니다.

함수 $x : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$는 각 실수 $t$에 수 $x(t)$를 하나 대응시키는 규칙입니다. 여기서 $t$는 대개 시간이고 $x(t)$는 그 시각의 신호값(전압, 음압 등)입니다.

• $x(-t) = x(t)$이면 우함수(even function), $x(-t) = -x(t)$이면 기함수(odd function)라 합니다. $\cos t$, $t^2$은 우함수, $\sin t$, $t$는 기함수입니다.
• 모든 $t$에서 $x(t + T) = x(t)$이면 $x$는 주기 $T$인 주기함수(periodic function)다.
• 모든 함수는 우함수와 기함수의 합으로 한 가지 방법으로만 쓸 수 있습니다.

1.2 극한

$t$가 $a$에 한없이 가까워질 때 $x(t)$가 $L$에 한없이 가까워지면 $\lim_{t \to a} x(t) = L$이라 씁니다. 정확히는 “아무리 작은 $\varepsilon > 0$을 잡아도, $t$를 $a$에 충분히 가깝게(단 $t \ne a$) 잡으면 $|x(t) - L| < \varepsilon$이 되게 할 수 있습니다”는 뜻입니다. $x(a)$ 자체의 값이나 정의 여부는 상관없다는 점이 중요합니다. $\lim_{t \to a} x(t) = x(a)$이면 $x$는 $a$에서 연속(continuous)입니다.

정리 1.1. $\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ (단 $h$의 단위는 라디안).

증명. $0 < h < \pi/2$일 때 단위원에서 넓이를 비교하면 (삼각형) < (부채꼴) < (접선 삼각형), 즉 $\frac{1}{2}\sin h < \frac{1}{2}h < \frac{1}{2}\tan h$입니다(“준비. 삼각함수”의 그림 0.5). $\sin h > 0$으로 나누고 역수를 취하면 $\cos h < \frac{\sin h}{h} < 1$입니다. $h \to 0$이면 $\cos h \to 1$이므로 가운데도 1로 갑니다. $\sin h / h$는 우함수이므로 $h < 0$에서도 같습니다. $\blacksquare$

어디에 쓰나. $\sin$의 미분, 그리고 sinc 함수의 0에서의 값. $\sin(\omega\tau/2)/\omega$ 꼴이 $\omega \to 0$에서 $\tau/2$로 간다는 계산을 계속 씁니다.

1.3 미분

정의 1.2. $x$의 $t$에서의 미분계수(순간 변화율)는

입니다. 각 $t$에 $x'(t)$를 대응시킨 함수를 도함수(derivative)라 합니다.

그래프로는 접선의 기울기입니다. $h$가 작을 때 $x(t + h) \approx x(t) + x'(t)h$라는 1차 근사로 읽는 것이 가장 쓸모 있습니다.

정리 1.3 (미분 규칙). $x$, $y$가 미분가능하고 $\alpha$, $\beta$가 상수일 때 다음이 성립합니다.

1. (선형성) $(\alpha x + \beta y)' = \alpha x' + \beta y'$
2. (곱) $(xy)' = x'y + xy'$
3. (몫) $(x/y)' = (x'y - xy')/y^2$
4. (연쇄법칙) $\frac{d}{dt} x(g(t)) = x'(g(t))\, g'(t)$

증명. (2)만 보입니다. $x(t+h)y(t+h) - x(t)y(t) = [x(t+h) - x(t)]\,y(t+h) + x(t)\,[y(t+h) - y(t)]$를 $h$로 나누고 $h \to 0$으로 보내면 됩니다. (4)는 1차 근사로 보면 $g(t + h) \approx g(t) + g'(t)h$이고, $x(g + \Delta) \approx x(g) + x'(g)\Delta$에 $\Delta = g'(t)h$를 넣은 것입니다. $\blacksquare$

예제 1.4. $(\sin t)' = \cos t$의 유도. 덧셈정리로 $\sin(t + h) - \sin t = \sin t(\cos h - 1) + \cos t \sin h$입니다. $h$로 나누면 $\sin t \cdot \frac{\cos h - 1}{h} + \cos t \cdot \frac{\sin h}{h}$이고, $\frac{\cos h - 1}{h} = -\frac{\sin^2 h}{h(1 + \cos h)} \to 0$, $\frac{\sin h}{h} \to 1$이므로 극한은 $\cos t$입니다.

예제 1.5. 연쇄법칙으로 $\frac{d}{dt} e^{-t^2/2} = e^{-t^2/2} \cdot (-t)$입니다. 즉 가우스 함수 $g(t) = e^{-t^2/2}$는 $g' = -tg$를 만족합니다. 7장 7.5절에서 이 식 하나로 가우스 함수의 푸리에 변환을 구합니다.

1.4 지수함수와 e

$a > 0$에 대해 $a^t$를 미분하면 $a^t \cdot \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h}$로, 자기 자신의 상수배가 됩니다. 그 상수가 정확히 1이 되는 밑이 $e = 2.71828\ldots$입니다. 따라서

입니다. $e^{at}$는 “미분해도 모양이 변하지 않고 상수 $a$만 곱해지는” 함수입니다. 선형대수의 말로는 미분 연산자 $d/dt$의 고유함수이고 고윳값이 $a$입니다. 푸리에 해석 전체가 이 한 줄에서 나온다고 해도 과장이 아닙니다. $a$가 복소수일 때도 이 식이 성립한다는 것을 2장 2.4절에서 확인합니다.

자연로그 $\ln t$는 $e^t$의 역함수입니다. $e^{\ln t} = t$, $\ln(ab) = \ln a + \ln b$입니다. 데시벨 계산에는 상용로그 $\log_{10}$을 씁니다.

1.5 적분

정의 1.6. 구간 $[a, b]$를 $N$등분하여 $\Delta t = (b - a)/N$, $t_i = a + i\Delta t$라 합시다. 정적분은

입니다. 오른쪽 합을 리만 합(Riemann sum)이라 합니다.

$x \ge 0$이면 그래프 아래 넓이이고, 일반적으로는 부호를 붙인 넓입니다. 기억할 것은 정의 자체입니다. 적분은 “값 × 작은 폭”을 모두 더한 것의 극한입니다. 6장에서 푸리에 급수(합)가 푸리에 변환(적분)으로 넘어갈 때 이 정의를 거꾸로 씁니다.

정리 1.7 (적분의 기본 성질).

1. (선형성) $\int_a^b (\alpha x + \beta y)\, dt = \alpha \int_a^b x\, dt + \beta \int_a^b y\, dt$
2. (구간 가법성) $\int_a^b + \int_b^c = \int_a^c$, 그리고 $\int_b^a = -\int_a^b$
3. (삼각부등식) $\left|\int_a^b x(t)\, dt\right| \le \int_a^b |x(t)|\, dt$ ($a < b$)
4. (대칭 구간) $x$가 기함수이면 $\int_{-a}^{a} x\, dt = 0$, 우함수이면 $\int_{-a}^{a} x\, dt = 2\int_0^a x\, dt$
5. (주기함수) $x$의 주기가 $T$이면 임의의 $a$에 대해 $\int_a^{a+T} x\, dt = \int_0^T x\, dt$

(5) 때문에 주기함수의 한 주기 적분은 시작점을 쓰지 않고 $\int_T$로 적습니다.

정리 1.8 (미적분의 기본정리). $x$가 연속일 때 다음이 성립합니다.

1. $\displaystyle\frac{d}{dt} \int_a^t x(s)\, ds = x(t)$
2. $F' = x$인 함수 $F$(원시함수)에 대해 $\displaystyle\int_a^b x(t)\, dt = F(b) - F(a) = \Big[F(t)\Big]_a^b$

증명. (1) $A(t) = \int_a^t x$라 하면 $A(t + h) - A(t) = \int_t^{t+h} x(s)\, ds \approx x(t)h$입니다(폭 $h$인 가는 띠의 넓이). $h$로 나누고 극한을 취합니다. (2) $A$와 $F$는 도함수가 같으므로 상수 차입니다. $A(a) = 0$이므로 $A(b) = F(b) - F(a)$입니다. $\blacksquare$

미분과 적분이 서로 역연산이라는 뜻입니다. 계산은 대부분 (2)로 합니다.

예제 1.9. $\int_0^\pi \sin t\, dt = \Big[-\cos t\Big]_0^\pi = -(-1) + 1 = 2$입니다.

1.6 치환적분과 부분적분

정리 1.10 (치환적분). $u = g(t)$이면 $du = g'(t)\, dt$이고

입니다. 연쇄법칙을 적분한 것입니다. 이 단원들에서 쓰는 치환은 거의 전부 다음 두 가지입니다.

• 이동. $u = t - t_0$ ($du = dt$)로 두면 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x(t - t_0)\, dt = \int_{-\infty}^{\infty} x(u)\, du$입니다.
• 확대/축소. $u = at$ ($a \ne 0$, $du = a\, dt$)로 두면 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x(at)\, dt = \frac{1}{|a|}\int_{-\infty}^{\infty} x(u)\, du$입니다.

둘째 식에서 $|a|$가 나오는 이유는 이렇습니다. $a < 0$이면 $t : -\infty \to \infty$일 때 $u : \infty \to -\infty$로 적분 방향이 뒤집힙니다. $\int_\infty^{-\infty} = -\int_{-\infty}^{\infty}$이므로 $\frac{1}{a} \cdot (-1) = \frac{1}{|a|}$이 됩니다.

정리 1.11 (부분적분).

증명. 곱의 미분 $(uv)' = u'v + uv'$의 양변을 $a$에서 $b$까지 적분하면 $[uv]_a^b = \int u'v + \int uv'$입니다. $\blacksquare$

미분을 한쪽 함수에서 다른 쪽 함수로 “옮기는” 도구입니다. 경계항 $[uv]_a^b$가 0이 되는 상황(함수가 무한대에서 0으로 가거나, 주기함수를 한 주기 적분할 때)에서 특히 깔끔해집니다.

예제 1.12. $a > 0$일 때 $\int_0^\infty t e^{-at}\, dt$를 구합니다. $u = t$, $v' = e^{-at}$로 두면 $u' = 1$, $v = -e^{-at}/a$이므로

입니다. 경계항에서 $t \to \infty$일 때 $te^{-at} \to 0$을 썼습니다(지수함수는 어떤 다항식보다 빨리 줄어듭니다).

어디에 쓰나. 이동 치환은 시간 이동 성질에, 확대 치환은 스케일링 성질에, 부분적분은 미분 성질($x' \leftrightarrow j\omega X$)과 불확정성 원리에 씁니다.

1.7 이상적분

적분 구간이 무한할 때는 극한으로 정의합니다.

극한이 유한한 값으로 존재하면 수렴(convergence)한다고 합니다.

예제 1.13. $a > 0$일 때 $\displaystyle\int_0^\infty e^{-at}\, dt = \lim_{R \to \infty}\left[-\frac{e^{-at}}{a}\right]_0^R = \lim_{R \to \infty}\frac{1 - e^{-aR}}{a} = \frac{1}{a}$입니다. $a \le 0$이면 발산합니다.

예제 1.14. $\displaystyle\int_1^\infty \frac{dt}{t^p}$는 $p > 1$일 때만 수렴하고 값은 $\frac{1}{p - 1}$입니다. $p = 1$이면 $\ln R \to \infty$로 발산합니다. 즉 $1/t$는 “아슬아슬하게” 적분 불가능하고, 그보다 조금이라도 빨리 줄어들면 가능합니다.

정의 1.15. $\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|\, dt < \infty$이면 $x$는 절대적분가능(absolutely integrable)하다고 하고 $x \in L^1$로 씁니다. $\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2\, dt < \infty$이면 제곱적분가능(유한 에너지)이라 하고 $x \in L^2$로 씁니다.

절대적분가능하면 원래 적분도 수렴하고, 뒤에 나오는 적분 순서 교환 등이 안전해집니다. 푸리에 변환이 존재하기 위한 가장 간단한 충분조건이 $x \in L^1$입니다(6장 6.4절).

정리 1.16 (가우스 적분). $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2}\, dt = \sqrt{\pi}$입니다. 따라서 $a > 0$에 대해 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-at^2}\, dt = \sqrt{\pi/a}$입니다.

증명. 구하는 값을 $I$라 합시다. $I^2 = \int e^{-x^2} dx \int e^{-y^2} dy = \iint e^{-(x^2 + y^2)}\, dx\, dy$입니다. 평면을 극좌표 $(r, \theta)$로 덮으면 넓이 요소가 $r\, dr\, d\theta$이므로

입니다. 둘째 식은 $u = \sqrt{a}\, t$로 치환하면 나옵니다. $\blacksquare$

1.8 급수

정리 1.17 (등비수열의 합). 복소수 $r \ne 1$과 자연수 $N$에 대해

입니다. $r = 1$이면 합은 $N$입니다.

증명. $S = 1 + r + \cdots + r^{N-1}$이라 하면 $rS = r + r^2 + \cdots + r^N$입니다. 빼면 $(1 - r)S = 1 - r^N$입니다. $\blacksquare$

증명에 $r$이 실수라는 사실을 쓰지 않았으므로 복소수에서도 성립합니다. 이산 푸리에 변환의 직교성은 이 공식 한 줄로 증명됩니다(4장 정리 4.2).

무한급수 $\sum_{n=0}^\infty a_n$은 부분합 $S_N = \sum_{n=0}^N a_n$의 극한으로 정의합니다. $|r| < 1$이면 $r^N \to 0$이므로 $\sum_{n=0}^\infty r^n = \frac{1}{1 - r}$입니다. 또 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$는 $p > 1$일 때만 수렴합니다(적분 $\int_1^\infty t^{-p}\, dt$와 비교).

정리 1.18 (테일러 급수). 모든 실수 $t$에 대해

입니다.

유도의 생각. $x(t) = c_0 + c_1 t + c_2 t^2 + \cdots$라 가정하고 양변을 $n$번 미분해 $t = 0$을 넣으면 $x^{(n)}(0) = n!\, c_n$, 즉 $c_n = x^{(n)}(0)/n!$입니다. $e^t$는 모든 도함수가 $e^t$이므로 $c_n = 1/n!$입니다. $\cos$은 도함수가 $\cos, -\sin, -\cos, \sin, \ldots$로 돌므로 $t = 0$에서 $1, 0, -1, 0, \ldots$입니다. 세 급수는 모든 $t$에서 수렴합니다($n!$이 $t^n$보다 훨씬 빨리 커지기 때문).

어디에 쓰나. 오일러 공식(2장 2.4절). 그리고 $\omega$가 작을 때의 근사 $\sin\omega \approx \omega$, $e^{j\omega} \approx 1 + j\omega$.

1.9 이중적분과 순서 교환

변수가 둘인 함수 $f(t, \tau)$를 한 변수씩 차례로 적분한 것이 이중적분입니다. 합에서 더하는 순서를 바꿀 수 있었던 것처럼 적분도 순서를 바꿀 수 있는데, 무한 구간에서는 조건이 필요합니다.

정리 1.19 (푸비니 정리). $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\!\int_{-\infty}^{\infty} |f(t, \tau)|\, dt\, d\tau < \infty$이면

입니다.

증명은 측도론이 필요하므로 생략합니다. 실용적으로는 “절댓값을 씌운 이중적분이 유한하면 순서를 바꿔도 됩니다”로 기억합니다. 합성곱 정리(8장 정리 8.15)와 파세발 등식의 증명이 이 정리 한 번으로 끝납니다.

1.10 적분 기호 안의 미분

변수가 여럿인 함수에서 한 변수만 변수로 보고 나머지는 상수로 두어 미분한 것을 편미분(partial derivative)이라 하고 $\partial f / \partial\omega$로 씁니다.

정리 1.20 (라이프니츠 규칙). $f(t, \omega)$와 $\partial f / \partial\omega$가 연속이고, $\omega$에 무관한 절대적분가능 함수 $g(t)$가 있어 $|\partial f / \partial\omega| \le g(t)$이면

입니다.

예제 1.21. $f(t, \omega) = x(t)e^{-j\omega t}$이면 $\partial f / \partial\omega = -jt\, x(t)e^{-j\omega t}$이고 그 크기는 $|t\, x(t)|$입니다. 따라서 $t\, x(t)$가 절대적분가능하면 $\frac{d}{d\omega}X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} (-jt)\, x(t)e^{-j\omega t}\, dt$입니다. 이것이 “$t$를 곱하면 주파수 영역에서 미분”이라는 성질입니다(8장 정리 8.11).

참고 1.22 (엄밀성에 대하여). 이 단원들의 증명은 “함수가 충분히 좋습니다”(필요한 만큼 미분가능하고 무한대에서 충분히 빨리 0으로 갑니다)고 가정하고 진행합니다. 공학에서 만나는 신호는 대부분 이 가정을 만족하거나, 만족하는 함수의 극한입니다. 가정이 깨지는 중요한 경우(불연속점, 사인파처럼 줄어들지 않는 함수)는 그때마다 따로 다룹니다.

쓰이는 곳. 신호처리와 물리 논문은 이 장의 도구(부분적분, 대칭성, 이상적분)로 변환을 계산합니다. 가우스 적분 $\int e^{-x^2}dx = \sqrt\pi$는 확률과 머신러닝에서도 자주 나옵니다.

연습문제

0.25;1/4

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1023

1,3