부록 A. 공식 모음

요약

네 변환의 정의, 변환쌍 표, 성질 표, 주파수(Hz) 관례로 옮기기, 푸리에 급수와 DFT, DFT 실무 공식, 자주 쓰는 계산, 더 읽을 책

자주 쓰는 정의, 변환쌍, 성질을 한곳에 모은 공식 모음입니다. 각 공식 옆에 그것을 다룬 장을 적어 두었으므로, 공식이 왜 성립하는지 궁금하면 그 장으로 가면 됩니다.

모든 공식은 관례 (A) ( $X(\omega) = \int xe^{-j\omega t}\, dt$ ) 기준입니다. 괄호 안은 본문의 위치입니다.

A.1 정의

변환	분석	합성
푸리에 변환 (6장)	$X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\, dt$	$x(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}\, d\omega$
푸리에 급수 (5장)	$c_k = \frac{1}{T}\int_Tx(t)e^{-jk\omega_0t}\, dt$	$x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}c_ke^{jk\omega_0t}$ , $\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$
DTFT (11장)	$X_d(\Omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\Omega n}$	$x[n] = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X_d(\Omega)e^{j\Omega n}\, d\Omega$
DFT (4장)	$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi kn/N}$	$x[n] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{j2\pi kn/N}$

A.2 푸리에 변환쌍

$x(t)$	$X(\omega)$	비고
$\delta(t)$	$1$
$\delta(t - t_0)$	$e^{-j\omega t_0}$
$1$	$2\pi\delta(\omega)$
$e^{j\omega_0t}$	$2\pi\delta(\omega - \omega_0)$
$\cos\omega_0t$	$\pi[\delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0)]$
$\sin\omega_0t$	$\frac{\pi}{j}[\delta(\omega - \omega_0) - \delta(\omega + \omega_0)]$
$u(t)$	$\pi\delta(\omega) + \frac{1}{j\omega}$
$\operatorname{sgn}(t)$	$\frac{2}{j\omega}$
$\frac{1}{\pi t}$	$-j\operatorname{sgn}(\omega)$	힐베르트 변환
$\operatorname{rect}(t/\tau)$	$\frac{2\sin(\omega\tau/2)}{\omega} = \tau\operatorname{sinc}\frac{\omega\tau}{2\pi}$	폭 $\tau$
$\operatorname{tri}(t/\tau)$	$\tau\operatorname{sinc}^2\frac{\omega\tau}{2\pi}$	밑변 $2\tau$
$\frac{\sin Wt}{\pi t}$	$\operatorname{rect}\frac{\omega}{2W}$	이상적 저역통과
$e^{-at}u(t)$	$\frac{1}{a + j\omega}$	$\operatorname{Re}a > 0$
$t^ne^{-at}u(t)$	$\frac{n!}{(a + j\omega)^{n+1}}$	$\operatorname{Re}a > 0$
$e^{-a\lvert t\rvert}$	$\frac{2a}{a^2 + \omega^2}$	$a > 0$
$\frac{1}{a^2 + t^2}$	$\frac{\pi}{a}e^{-a\lvert\omega\rvert}$	$a > 0$
$e^{-t^2/(2\sigma^2)}$	$\sigma\sqrt{2\pi}\, e^{-\sigma^2\omega^2/2}$
$e^{-at}\cos(\omega_0t)u(t)$	$\frac{a + j\omega}{(a + j\omega)^2 + \omega_0^2}$	$a > 0$
$e^{-at}\sin(\omega_0t)u(t)$	$\frac{\omega_0}{(a + j\omega)^2 + \omega_0^2}$	$a > 0$
$\sum_n\delta(t - nT)$	$\frac{2\pi}{T}\sum_k\delta\left(\omega - \frac{2\pi k}{T}\right)$	임펄스열
$\sum_kc_ke^{jk\omega_0t}$	$2\pi\sum_kc_k\delta(\omega - k\omega_0)$	주기신호

A.3 성질

성질	시간 영역	주파수 영역
선형성	$\alpha x + \beta y$	$\alpha X + \beta Y$
시간 이동	$x(t - t_0)$	$e^{-j\omega t_0}X(\omega)$
주파수 이동	$e^{j\omega_0t}x(t)$	$X(\omega - \omega_0)$
변조	$x(t)\cos\omega_0t$	$\frac{1}{2}X(\omega - \omega_0) + \frac{1}{2}X(\omega + \omega_0)$
스케일링	$x(at)$	$\frac{1}{\lvert a\rvert}X(\omega/a)$
켤레	$x(t)^*$	$X(-\omega)^*$
쌍대성	$X(t)$	$2\pi x(-\omega)$
미분	$x^{(n)}(t)$	$(j\omega)^nX(\omega)$
적분	$\int_{-\infty}^tx(s)\, ds$	$\frac{X(\omega)}{j\omega} + \pi X(0)\delta(\omega)$
$t$ 곱	$t^nx(t)$	$j^nX^{(n)}(\omega)$
합성곱	$(x * y)(t)$	$X(\omega)Y(\omega)$
곱	$x(t)y(t)$	$\frac{1}{2\pi}(X * Y)(\omega)$
상관	$\int x(t + \tau)y(t)^*\, dt$	$X(\omega)Y(\omega)^*$
표본화	$x(t)\sum_n\delta(t - nT_s)$	$\frac{1}{T_s}\sum_kX(\omega - k\omega_s)$
주기화	$\sum_nx(t + nT)$	$\frac{2\pi}{T}\sum_kX(k\omega_0)\delta(\omega - k\omega_0)$

파세발: $\int xy^*\, dt = \frac{1}{2\pi}\int XY^*\, d\omega$ , $\int|x|^2\, dt = \frac{1}{2\pi}\int|X|^2\, d\omega$ .
넓이: $X(0) = \int x(t)\, dt$ , $x(0) = \frac{1}{2\pi}\int X(\omega)\, d\omega$ .
실수 신호: $X(-\omega) = X(\omega)^*$ . 실수 우함수는 실수 우함수로, 실수 기함수는 순허수 기함수로 갑니다.
불확정성: $\Delta t\, \Delta\omega \ge \frac{1}{2}$ .

A.4 관례 (B): 주파수 f (Hz)로 쓸 때

$\hat{X}(f) = \int x(t)e^{-j2\pi ft}\, dt = X(2\pi f)$ 입니다. 델타함수는 $\delta(\omega) = \delta(2\pi f) = \frac{1}{2\pi}\delta(f)$ 로 바뀐다는 점에 주의합니다.

	관례 (A): $X(\omega)$	관례 (B): $\hat{X}(f)$
역변환	$\frac{1}{2\pi}\int X(\omega)e^{j\omega t}\, d\omega$	$\int\hat{X}(f)e^{j2\pi ft}\, df$
$1$	$2\pi\delta(\omega)$	$\delta(f)$
$\cos 2\pi f_0t$	$\pi[\delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0)]$	$\frac{1}{2}[\delta(f - f_0) + \delta(f + f_0)]$
$\operatorname{rect}(t/\tau)$	$\tau\operatorname{sinc}(\omega\tau/2\pi)$	$\tau\operatorname{sinc}(f\tau)$
$e^{-\pi t^2}$	$e^{-\omega^2/4\pi}$	$e^{-\pi f^2}$
미분	$j\omega X(\omega)$	$j2\pi f\hat{X}(f)$
쌍대성	$X(t) \leftrightarrow 2\pi x(-\omega)$	$\hat{X}(t) \leftrightarrow x(-f)$
곱	$\frac{1}{2\pi}X * Y$	$\hat{X} * \hat{Y}$
파세발	$\int\lvert x\rvert^2 = \frac{1}{2\pi}\int\lvert X\rvert^2\, d\omega$	$\int\lvert x\rvert^2 = \int\lvert\hat{X}\rvert^2\, df$
임펄스열 (간격 $T$ )	$\frac{2\pi}{T}\sum_k\delta(\omega - 2\pi k/T)$	$\frac{1}{T}\sum_k\delta(f - k/T)$
불확정성	$\Delta t\, \Delta\omega \ge \frac{1}{2}$	$\Delta t\, \Delta f \ge \frac{1}{4\pi}$

시간 이동, 스케일링, 합성곱 정리는 $\omega$ 를 $2\pi f$ 로 바꾸는 것 말고는 달라지지 않습니다.

A.5 푸리에 급수와 DFT

	푸리에 급수 (주기 $T$ )	DFT (길이 $N$ )
직교성	$\int_Te^{j(k - m)\omega_0t}\, dt = T\delta_{km}$	$\sum_ne^{j2\pi(k - m)n/N} = N\delta_{km}$
이동	$x(t - t_0) \to e^{-jk\omega_0t_0}c_k$	$x[n - m] \to e^{-j2\pi km/N}X[k]$
미분	$x'(t) \to jk\omega_0c_k$
합성곱		$x \circledast h \to X[k]H[k]$
실수 신호	$c_{-k} = c_k^*$	$X[N - k] = X[k]^*$
파세발	$\frac{1}{T}\int_T\lvert x\rvert^2\, dt = \sum_k\lvert c_k\rvert^2$	$\sum_n\lvert x[n]\rvert^2 = \frac{1}{N}\sum_k\lvert X[k]\rvert^2$

주기 $2\pi$ 인 기본 파형의 급수(5장 5.4절)는 다음과 같습니다.

\text{사각파}(\pm 1):\ \frac{4}{\pi}\sum_{k = 1, 3, 5, \ldots}\frac{\sin kt}{k}, \qquad \text{톱니파}(x = t,\ |t| < \pi):\ 2\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{\sin kt}{k}, \qquad \text{삼각파}(x = 1 - 2|t|/\pi):\ \frac{8}{\pi^2}\sum_{k = 1, 3, 5, \ldots}\frac{\cos kt}{k^2}

A.6 DFT 실무 공식

f_k = \frac{k}{N}f_s\ (k < N/2), \qquad \Delta f = \frac{f_s}{N} = \frac{1}{NT_s}, \qquad f_{\max} = \frac{f_s}{2}, \qquad f_a = \left|f - f_s\operatorname{round}(f/f_s)\right|

X(\omega_k) \approx T_se^{-j\omega_kt_0}X[k], \qquad \text{사인파 진폭} \approx \frac{2|X[k]|}{\sum_nw[n]}, \qquad \text{FFT 연산량} \sim N\log_2N

A.7 자주 쓰는 계산

e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta, \qquad \cos\theta = \tfrac{1}{2}(e^{j\theta} + e^{-j\theta}), \qquad \sin\theta = \tfrac{1}{2j}(e^{j\theta} - e^{-j\theta})

e^{j\pi k} = (-1)^k, \qquad e^{j2\pi k} = 1, \qquad e^{\pm j\pi/2} = \pm j, \qquad |e^{j\theta}| = 1

\sum_{n=0}^{N-1}r^n = \frac{1 - r^N}{1 - r}, \qquad \sum_{k=-K}^{K}e^{jk\theta} = \frac{\sin((K + \frac{1}{2})\theta)}{\sin(\theta/2)}

\int_0^\infty e^{-(a + j\omega)t}\, dt = \frac{1}{a + j\omega}, \qquad \int_{-a}^{a}e^{-j\omega t}\, dt = \frac{2\sin\omega a}{\omega}, \qquad \int_0^\infty t^ne^{-at}\, dt = \frac{n!}{a^{n+1}}

\int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\, dt = \sqrt{\frac{\pi}{a}}, \qquad \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin t}{t}\, dt = \pi, \qquad \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dt}{a^2 + t^2} = \frac{\pi}{a}

\int_{-\infty}^{\infty}e^{j\omega t}\, dt = 2\pi\delta(\omega), \qquad \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t - t_0)\phi(t)\, dt = \phi(t_0), \qquad \delta(at) = \frac{\delta(t)}{|a|}

더 읽을 책

미적분. J. Stewart, Calculus. 1장의 내용을 처음부터 연습문제와 함께 익히려면 이 책의 극한, 미분, 적분, 급수 장으로 충분합니다.
선형대수. G. Strang, Introduction to Linear Algebra. 행렬을 열의 선형결합으로 보는 3장의 관점이 이 책의 방식입니다. 증명 중심으로 내적공간과 고유벡터를 다시 보려면 S. Axler, Linear Algebra Done Right.
신호와 시스템. A. V. Oppenheim, A. S. Willsky, Signals and Systems, 2nd ed. 전기공학의 표준 교재이고 여기의 표기와 관례가 같습니다. 6–11장의 내용을 훨씬 많은 예제와 문제로 다룹니다.
푸리에 변환 자체. B. Osgood, Lectures on the Fourier Transform and Its Applications. 델타함수와 표본화를 분포의 관점에서 깔끔하게 설명합니다. 관례 (B)를 씁니다. R. N. Bracewell, The Fourier Transform and Its Applications, 3rd ed.은 그림으로 된 변환쌍 사전이 유명합니다.
수학적 엄밀성. E. M. Stein, R. Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction. 여기서 생략한 증명(완비성, 수렴, 역변환 정리)이 모두 있습니다.
이산 신호처리. A. V. Oppenheim, R. W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing, 3rd ed. DTFT, 창함수, 필터 설계, FFT를 다룹니다. 실용적인 입문서로는 S. W. Smith, The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing.

쓰이는 곳. 논문을 읽다 변환쌍이나 성질이 기억나지 않을 때 여기서 찾으면 됩니다. 정규화 상수( $2\pi$ 를 어디에 두는지)가 논문마다 다르므로, 6장의 관례 절과 함께 보면 좋습니다.