14장. 더 넓은 지도

요약

단시간 푸리에 변환과 스펙트로그램, 2차원 푸리에 변환, 라플라스 변환과 z 변환, 열방정식, 확률론의 특성함수, 다음에 공부할 것

푸리에 해석은 여기서 끝나지 않습니다. 이 장은 이 과목에서 출발해 갈 수 있는 곳들(라플라스 변환, z 변환, 웨이블릿, 확률의 특성함수, 디지털 필터 설계)을 지도처럼 보여 줍니다. 각 항목이 무엇을 풀기 위해 생겼는지와 어떤 책·과목으로 이어지는지 정리합니다.

푸리에 변환에서 바로 이어지는 주제들입니다. 각각 한 과목 분량이지만, 여기까지 온 사람에게는 정의와 핵심 아이디어가 익숙한 내용의 변형으로 보일 것입니다.

14.1 단시간 푸리에 변환과 스펙트로그램

푸리에 변환 $X(\omega)$ 는 “어떤 주파수가 얼마나 있는가”는 말해 주지만 “언제”는 말해 주지 않습니다(시간 정보는 위상에 들어 있어 눈으로 읽기 어렵습니다). 음악이나 말소리처럼 주파수 내용이 시간에 따라 변하는 신호에는 불편합니다. 해결책은 단순합니다. 짧은 창을 곱해 신호의 한 부분만 잘라내 변환하고, 창을 옮겨 가며 반복합니다.

정의 14.1. 창함수 $w(t)$ 에 대한 단시간 푸리에 변환(STFT)은

X(t, \omega) = \int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\, w(\tau - t)\, e^{-j\omega\tau}\, d\tau

이고, $|X(t, \omega)|^2$ 을 시간-주파수 평면에 그린 것이 스펙트로그램(spectrogram)입니다.

이산 구현은 이렇습니다. 길이 $L$ 인 창(보통 한 창)을 $H$ 표본씩(보통 $L/4$ 에서 $L/2$ ) 옮겨 가며 곱하고 각 조각을 FFT합니다. 시간 해상도는 약 $L/f_s$ 초, 주파수 해상도는 약 $f_s/L$ Hz이고, 둘의 곱은 창 길이에 무관하게 1 정도입니다. 불확정성 원리입니다.

$두 개의 스펙트로그램. 가로는 시간 0–2초, 세로는 주파수 0–500 Hz다. 왼쪽(창 32 ms)은 비스듬히 올라가는 처프의 띠가 두껍지만 t = 1 s의 클릭이 가는 세로선입니다. 오른쪽(창 256 ms)은 처프의 띠가 가늘지만 클릭이 시간 방향으로 넓게 번졌습니다.$

그림 14.1. 50 Hz에서 400 Hz로 올라가는 처프 신호에 $t = 1$ s의 짧은 클릭을 더한 신호의 스펙트로그램( $f_s = 1$ kHz). 왼쪽: 짧은 창은 클릭의 시각을 정확히 보여 주지만 처프의 주파수 띠가 두껍습니다. 오른쪽: 긴 창은 주파수 띠가 가늘지만 클릭이 시간 방향으로 번집니다.

짧은 창은 “언제”를, 긴 창은 “어떤 주파수”를 잘 봅니다. 둘 다 잘 보는 창은 없습니다. 분석 목적에 맞춰 고릅니다. 키보드 타건음이나 타악기처럼 순간적인 사건을 구별하려면 수 ms의 창을, 음높이를 구별하려면 수십 ms 이상의 창을 씁니다. 음성 인식이나 음향 분류에서는 스펙트로그램의 주파수 축을 사람의 청각에 맞춰 로그에 가깝게 다시 나눈 멜 스펙트로그램을 입력 특징으로 씁니다. 웨이블릿 변환(wavelet transform)은 창 길이를 주파수에 반비례하게 바꿔 높은 주파수는 짧게, 낮은 주파수는 길게 봅니다.

14.2 2차원 푸리에 변환

변수가 둘인 함수(영상)에도 똑같이 정의합니다.

X(\omega_1, \omega_2) = \iint x(t_1, t_2)\, e^{-j(\omega_1t_1 + \omega_2t_2)}\, dt_1\, dt_2

기저 함수 $e^{j(\omega_1t_1 + \omega_2t_2)}$ 는 방향 $(\omega_1, \omega_2)$ 로 진행하는 평면파(줄무늬)이고, $\sqrt{\omega_1^2 + \omega_2^2}$ 이 줄무늬의 촘촘함입니다. 지수가 $e^{-j\omega_1t_1}e^{-j\omega_2t_2}$ 로 분리되므로 2차원 변환은 한 변수씩 차례로 1차원 변환을 한 것입니다. $x(t_1, t_2) = a(t_1)b(t_2)$ 이면 $X = A(\omega_1)B(\omega_2)$ 입니다. 1차원의 성질(이동, 스케일링, 합성곱, 파세발)이 모두 그대로 성립하고, 새로 생기는 것은 회전입니다. 영상을 돌리면 스펙트럼도 같은 각도로 돕니다.

$왼쪽은 가로로 긴 검은 직사각형이고, 오른쪽은 그 2차원 스펙트럼의 크기를 진하기로 칠한 것입니다. 스펙트럼은 가운데가 진하고 세로로 긴 모양이며 바깥에 작은 조각들이 줄지어 있습니다.$

그림 14.2. 직사각형과 그 2차원 스펙트럼의 크기. $\operatorname{rect}(t_1/a)\operatorname{rect}(t_2/b)$ 의 변환은 두 sinc의 곱입니다. 가로로 긴 직사각형의 스펙트럼은 세로로 깁니다.

영상의 흐림은 점퍼짐함수와의 2차원 합성곱이고 스펙트럼에서는 곱입니다. 렌즈에 의한 회절 무늬는 조리개 모양의 2차원 푸리에 변환입니다(그림 14.2가 직사각형 구멍의 회절 무늬입니다). MRI는 측정값이 영상의 2차원 푸리에 변환 그 자체여서 역변환으로 영상을 얻습니다. CT는 한 방향 투영의 1차원 푸리에 변환이 영상의 2차원 변환을 그 방향으로 자른 단면과 같다는 사실(투영-단면 정리)로 영상을 복원합니다. JPEG은 8 × 8 블록마다 푸리에 변환의 친척인 이산 코사인 변환(DCT)을 하고 고주파 계수를 거칠게 양자화합니다.

14.3 라플라스 변환과 z 변환

푸리에 적분이 수렴하지 않는 신호( $e^tu(t)$ 처럼 커지는 것)를 다루려면 감쇠 인자 $e^{-\sigma t}$ 를 먼저 곱하면 됩니다. $s = \sigma + j\omega$ 라 쓰면

X(s) = \int_0^\infty x(t)\, e^{-st}\, dt = \mathcal{F}\left\{x(t)e^{-\sigma t}u(t)\right\}(\omega)

입니다. 이것이 (한쪽) 라플라스 변환(Laplace transform)입니다. 기저 함수가 $e^{j\omega t}$ 에서 $e^{st}$ (커지거나 줄어드는 진동)로 넓어졌습니다.

$e^{st}$ 도 LTI 시스템의 고유함수이고 고윳값이 전달함수 $H(s)$ 입니다. 주파수 응답은 그것을 허수축에서 본 것입니다: $H(\omega) = H(s)|_{s = j\omega}$ . 여기서 $\frac{1}{a + j\omega}$ 로 쓴 것을 $\frac{1}{s + a}$ 로 쓰면 됩니다.
미분 성질이 $x' \leftrightarrow sX(s) - x(0)$ 으로 바뀌어 초기 조건이 식에 들어옵니다. 스위치를 닫는 순간부터의 과도 응답을 다룰 수 있습니다.
인과적 시스템에서 $H(s)$ 의 분모가 0이 되는 점(극점(pole))이 모두 왼쪽 반평면 $\operatorname{Re}s < 0$ 에 있으면 시스템이 안정하고, 그때만 푸리에 변환이 존재합니다.

이산 신호에서 같은 역할을 하는 것이 z 변환 $X(z) = \sum_nx[n]z^{-n}$ 이고, 단위원 $z = e^{j\Omega}$ 위에서 본 것이 DTFT다.

14.4 편미분방정식: 열방정식

푸리에가 이 이론을 만든 원래 목적입니다. 무한히 긴 막대의 온도 $u(x, t)$ 는 열방정식

\frac{\partial u}{\partial t} = \kappa\frac{\partial^2u}{\partial x^2}, \qquad u(x, 0) = u_0(x)

을 따릅니다. 공간 변수 $x$ 에 대해 푸리에 변환하여 $U(\omega, t) = \int u(x, t)e^{-j\omega x}\, dx$ 라 하면 $\partial^2/\partial x^2$ 가 $(j\omega)^2 = -\omega^2$ 이 되어

\frac{\partial U}{\partial t} = -\kappa\omega^2U \quad \Longrightarrow \quad U(\omega, t) = U_0(\omega)\, e^{-\kappa\omega^2t}

입니다. 편미분방정식이 $\omega$ 마다 따로 풀리는 1계 상미분방정식이 되었습니다. 공간 주파수 $\omega$ 인 성분이 $e^{-\kappa\omega^2t}$ 로 줄어듭니다. 촘촘한 굴곡일수록 빨리 사라집니다. 곱은 합성곱이므로, $e^{-\kappa\omega^2t}$ 의 역변환(가우스 함수, 7장 정리 7.7)을 써서

u(x, t) = \int_{-\infty}^{\infty}u_0(y)\frac{1}{\sqrt{4\pi\kappa t}}e^{-(x - y)^2/(4\kappa t)}\, dy

입니다. 초기 온도 분포를 폭이 $\sqrt{2\kappa t}$ 로 넓어지는 가우스 함수로 흐리게 한 것입니다(그림 14.3).

$x축 위에 t = 0일 때 높이 1인 사각형 온도 분포(굵은 선)와, t = 0.01, 0.05, 0.25일 때의 분포를 겹쳐 그렸습니다. 시간이 지날수록 모서리가 둥글어지고 낮고 넓게 퍼집니다.$

그림 14.3. 열방정식의 해( $\kappa = 1$ ). 사각형 초기 분포의 모서리(고주파 성분)가 먼저 무뎌집니다.

파동방정식, 슈뢰딩거 방정식, 전송선 방정식도 같은 방법으로 풉니다. 계수가 상수인 선형 방정식이면 평행이동에 대해 불변이고, 그러면 복소지수함수가 고유함수이기 때문입니다.

14.5 확률론

확률밀도함수 $p(x)$ 의 푸리에 변환(부호 관례만 다른) $\phi(\omega) = \int p(x)e^{j\omega x}\, dx$ 를 특성함수(characteristic function)라 합니다. 독립인 두 확률변수의 합의 밀도는 각 밀도의 합성곱이므로 특성함수는 곱이 됩니다. $n$ 개의 합이면 $\phi^n$ 이고, 이것을 적절히 규격화해 $n \to \infty$ 로 보내면 (분산이 유한하기만 하면) $\phi$ 의 모양과 상관없이 $e^{-\omega^2/2}$ 로 수렴합니다. 가우스 함수의 변환은 가우스 함수이므로 합의 분포는 정규분포가 됩니다. 이것이 중심극한정리(central limit theorem)의 증명입니다.

14.6 다음에 공부할 것

확률 신호와 전력 스펙트럼. 잡음처럼 에너지가 무한하고 불규칙한 신호의 스펙트럼을 자기상관의 푸리에 변환으로 정의합니다(위너–힌친, 8장 정리 8.23).
디지털 필터 설계. FIR, IIR 필터. z 변환과 DTFT를 씁니다.
해석 신호와 힐베르트 변환. 음의 주파수를 지워 순간 진폭과 순간 주파수를 정의합니다.
웨이블릿, DCT. 다른 직교기저를 쓰는 변환들. 3장의 틀이 그대로 적용됩니다.
분포 이론. 9장에서 직관적으로 다룬 델타함수의 엄밀한 기초.

연습문제

문제 1 · 확인 문제

$f_s = 1$ kHz, 창 길이 $L = 64$ 표본인 스펙트로그램의 시간 해상도와 주파수 해상도를 대략 구합니다.

값	답
시간 해상도 (ms)	[?]
주파수 해상도 (Hz)	[?]

힌트 1

시간 해상도는 $L/f_s$ , 주파수 해상도는 $f_s/L$ 입니다.

정답

64
15.625

풀이

$L/f_s = 64/1000$ s $= 64$ ms, $f_s/L = 1000/64 = 15.625$ Hz다. 곱은 1입니다.

문제 2 · 확인 문제

열방정식( $\kappa = 1$ )에서 공간 주파수 $\omega = 2$ 인 성분은 $t = 0.25$ 일 때 처음 크기의 몇 배가 될까요? 소수 넷째 자리까지 적습니다.

힌트 1

$U(\omega, t) = U_0(\omega)e^{-\kappa\omega^2t}$ 입니다.

정답

0.3679

풀이

$e^{-\kappa\omega^2t} = e^{-4 \cdot 0.25} = e^{-1} \approx 0.3679$ 입니다.

문제 3 · 확인 문제

전달함수 $H(s) = \dfrac{1}{(s + 1)(s - 2)}$ 인 인과적 시스템에 대해 맞는 것은?

극점이 모두 왼쪽 반평면에 있어 안정합니다
극점 $s = 2$ 가 오른쪽 반평면에 있어 불안정하고 푸리에 변환이 존재하지 않습니다
극점이 없습니다
영점이 $s = -1$ , $s = 2$ 입니다

정답

풀이

분모가 0이 되는 극점은 $s = -1$ 과 $s = 2$ 입니다. $s = 2$ 가 오른쪽 반평면에 있으므로 임펄스 응답에 $e^{2t}$ 가 생겨 발산합니다. 불안정하고 푸리에 변환이 존재하지 않습니다.

문제 4

$x(t_1, t_2) = a(t_1)b(t_2)$ 이면 2차원 변환이 $X(\omega_1, \omega_2) = A(\omega_1)B(\omega_2)$ 임을 정의에서 보입니다.

풀이

$X(\omega_1, \omega_2) = \iint a(t_1)b(t_2)e^{-j\omega_1t_1}e^{-j\omega_2t_2}\, dt_1\, dt_2 = \int a(t_1)e^{-j\omega_1t_1}\, dt_1 \int b(t_2)e^{-j\omega_2t_2}\, dt_2 = A(\omega_1)B(\omega_2)$ 입니다. 피적분함수가 $t_1$ 만의 함수와 $t_2$ 만의 함수의 곱이므로 이중적분이 두 적분의 곱으로 나뉩니다.