들어가며. 한 문장으로 요약한 푸리에 변환

소리, 빛, 전파, 지진파처럼 흔들리는 것은 모두 여러 주파수의 사인파가 섞인 것으로 볼 수 있습니다. 푸리에 변환은 섞인 신호를 주파수별로 풀어 '어떤 주파수가 얼마나 들어 있는지'를 알려 주는 도구입니다. 이 들어가며는 과목 전체를 한 문장으로 요약하고, 각 장이 그 한 문장의 어느 부분을 맡는지 보여 줍니다. 미적분과 선형대수의 기초(벡터, 내적)를 알면 따라올 수 있습니다.

한 문장으로

푸리에 변환은 함수 $x(t)$ 를 주파수가 서로 다른 복소지수함수 $e^{j\omega t}$ 들의 중첩으로 다시 쓰는 일입니다. 수식으로는 다음 두 줄이 전부입니다.

X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\, e^{-j\omega t}\, dt \quad\Longleftrightarrow\quad x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\omega)\, e^{j\omega t}\, d\omega

왼쪽 식은 “ $x$ 안에 주파수 $\omega$ 성분이 얼마나 들어 있는가”를 재는 식이고, 오른쪽 식은 그 성분들을 다시 더해 $x$ 를 복원하는 식입니다. 이 단원들의 목표는 이 두 줄을 외우는 것이 아니라, 두 줄이 왜 그런 모양일 수밖에 없는지를 스스로 유도할 수 있게 되는 것입니다.

선형대수의 말로 하면 푸리에 변환은 기저 변환입니다. 벡터를 표준기저 대신 다른 정규직교기저로 표현하면 좌표가 바뀌듯이, 함수를 “시각 $t$ 마다의 값” 대신 “주파수 $\omega$ 마다의 성분”으로 표현하는 것입니다. $X(\omega)$ 는 $x$ 와 $e^{j\omega t}$ 의 내적이고, 역변환은 좌표에 기저를 곱해 더하는 일입니다. 3장에서 내적과 정규직교기저를 배우고 나면 위 두 식은 유한차원에서 이미 아는 사실의 연장으로 보입니다.

복소지수함수를 쓰는 이유

세 가지 이유가 있고, 셋은 사실 같은 이유입니다.

미분이 곱셈이 됩니다. $\frac{d}{dt} e^{j\omega t} = j\omega\, e^{j\omega t}$ 이므로, 주파수 영역에서 미분은 $j\omega$ 를 곱하는 연산입니다. 미분방정식이 대수방정식으로 바뀝니다(10장).
시간 이동이 곱셈이 됩니다. $e^{j\omega(t - t_0)} = e^{-j\omega t_0} e^{j\omega t}$ 입니다. 즉 $e^{j\omega t}$ 는 이동 연산의 고유함수입니다.
그래서 모든 선형 시불변 시스템을 동시에 대각화합니다. 회로, 필터, 파동, 열전도처럼 “시간을 옮겨도 법칙이 같은” 선형 시스템은 $e^{j\omega t}$ 를 넣으면 같은 $e^{j\omega t}$ 에 복소수 하나가 곱해져 나옵니다. 합성곱이 단순한 곱이 됩니다.

회로이론에서 쓰는 페이저와 임피던스 $1/(j\omega C)$ , $j\omega L$ 은 이 사실을 주파수 하나에 대해 쓴 것입니다.

단원의 구조

단원	내용	역할
준비	삼각함수	사인과 코사인을 처음부터
1–3장	미적분 도구, 복소지수함수, 선형대수(내적공간)	도구
4장	이산 푸리에 변환	유한차원 $\mathbb{C}^N$ 에서 본 전부
5장	푸리에 급수	주기함수
6–8장	푸리에 변환의 정의, 변환쌍, 성질	일반 함수
9장	델타함수	일반화된 변환
10장	LTI 시스템, 합성곱, 회로	응용
11–12장	표본화, DTFT, FFT	이산과 계산
13–14장	불확정성 원리, 확장	더 넓은 지도

사인과 코사인을 처음 본다면 “준비. 삼각함수”부터 읽습니다. 각도와 직각삼각형에서 시작해 본문에서 쓰는 삼각함수의 성질을 모두 증명해 두었습니다.

1–3장은 도구입니다. 이미 아는 절은 건너뛰어도 되지만, 2.7절(직교성 적분)과 3.7–3.11절(정규직교기저, 정사영, 함수공간)은 전체가 기대는 곳이므로 반드시 읽습니다. 4장은 유한차원 $\mathbb{C}^N$ 에서 푸리에 해석을 증명을 하나도 생략하지 않고 끝까지 해 봅니다. 여기서 얻은 그림이 그대로 5장(주기함수)과 6장(일반 함수)으로 옮겨 갑니다.

읽는 법

수학은 눈으로 읽으면 아는 것 같고 손으로 쓰면 모르는 것이 드러납니다. 증명과 예제는 화면을 가리고 종이에 다시 써 봅니다. 막힌 줄이 실제로 모르는 곳입니다.
정리는 사실, 증명은 그 이유, 예제는 계산법, 참고는 흔한 함정이나 다른 관점입니다.
각 장의 끝에 연습문제와 풀이가 있습니다. 한 장을 끝내면 바로 풉니다.
“부록 A. 공식 모음”은 공식표입니다. 표의 모든 줄은 본문에서 유도되어 있습니다.

표기법

기호	뜻
$j$	허수 단위, $j^2 = -1$ (전기공학 관례. 수학책의 $i$ 와 같다)
$z^*$	복소수 $z$ 의 켤레복소수
$\lvert z \rvert$ , $\angle z$	복소수의 크기와 편각
$t$ , $\omega$ , $f$	시간(초), 각주파수(rad/s), 주파수(Hz). $\omega = 2\pi f$
$x(t)$ , $X(\omega)$	시간 함수(소문자)와 그 푸리에 변환(대문자)
$x[n]$ , $X[k]$	이산 신호와 그 이산 푸리에 변환. 대괄호는 정수 인수를 뜻합니다
$x(t) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X(\omega)$	$X$ 가 $x$ 의 푸리에 변환이라는 뜻
$\langle x, y \rangle$ , $\lVert x \rVert$	내적과 노름
$\delta_{km}$	크로네커 델타. $k = m$ 이면 1, 아니면 0
$\delta(t)$	디랙 델타 (9장)
$u(t)$	단위 계단 함수. $t > 0$ 이면 1, $t < 0$ 이면 0
$(x * h)(t)$	합성곱
$\mathbb{R}$ , $\mathbb{C}$ , $\mathbb{Z}$	실수, 복소수, 정수 전체의 집합

푸리에 변환의 정의는 책마다 상수 $2\pi$ 의 위치가 다릅니다. 여기서는 위의 정의(전기공학의 표준 관례)를 쓰고, 다른 관례로 옮기는 법은 6장 6.3절에 정리했습니다.

쓰이는 곳. 음성 인식(멜 스펙트로그램), 이미지 압축(JPEG의 DCT), MRI 영상, 무선 통신(OFDM), 양자역학, 그리고 트랜스포머의 위치 인코딩까지 푸리에 해석의 언어로 쓰입니다.