Linearism › 선형대수 › LA.3

3장. 일차결합과 span

선형대수 · 1부. 그림으로 보는 선형대수

기본 · 약 35분 · 연습문제 12 · 그림 3

요약

일차결합, 일차결합을 찾는 연립방정식과 행 그림·열 그림, 해의 개수, span과 그 성질, R³에서의 span, 쓸모없는 벡터

벡터 몇 개를 늘이고 줄여 더하면 어디까지 갈 수 있을까요? 이 질문이 선형대수의 출발점입니다. 이 장에서는 그런 합(일차결합)과 도달할 수 있는 곳 전체(span)를 정의하고, '이 벡터를 저 벡터들로 만들 수 있는가'라는 질문이 사실 연립방정식이라는 것을 봅니다. 고등학교의 연립일차방정식을 벡터의 언어로 다시 읽는 장입니다.

3.1 벡터 두 개로 만들 수 있는 것

질문. 로봇이 움직일 수 있는 방식이 두 가지뿐입니다. 버튼 A를 누르면 v=(2,1)\mathbf{v} = (2, 1)만큼, 버튼 B를 누르면 w=(1,2)\mathbf{w} = (1, 2)만큼 움직입니다. 버튼은 몇 번이든 누를 수 있고, “반만 누르기”나 “거꾸로 누르기”도 된다고 합시다. 이 로봇은 평면 위의 어디든 갈 수 있을까요? 점 (4,5)(4, 5)에 가려면 각 버튼을 얼마나 눌러야 할까요?

버튼 A를 cc번, 버튼 B를 dd번 누르면 로봇의 위치는 cv+dwc\mathbf{v} + d\mathbf{w}입니다. 앞 장에서 배운 두 연산, 스칼라배와 덧셈을 한 번에 쓴 것입니다. 이 장은 이런 식 cv+dwc\mathbf{v} + d\mathbf{w}가 무엇을 만들 수 있는지 묻습니다. 선형대수 전체가 사실상 이 질문 하나를 여러 방식으로 묻고 답하는 학문입니다.

3.2 일차결합

정의 3.1 (일차결합). v1,…,vk∈Rn\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k \in \mathbb{R}^n과 스칼라 c1,…,ck∈Rc_1, \ldots, c_k \in \mathbb{R}에 대하여

c1v1+c2v2+⋯+ckvk=∑i=1kcivic_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \cdots + c_k\mathbf{v}_k = \sum_{i=1}^k c_i\mathbf{v}_i

를 v1,…,vk\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k의 일차결합(linear combination)이라 하고, cic_i를 그 계수(coefficient)라 합니다.

“선형결합”이라고도 합니다. 일차결합은 벡터에 할 수 있는 두 가지 연산만 써서 만든 결과입니다. 선형대수에서 “선형”은 이 두 연산(더하기, 스칼라 곱하기)만을 쓴다는 뜻입니다.

예제 3.2. v=(2,1)\mathbf{v} = (2, 1), w=(1,2)\mathbf{w} = (1, 2)일 때

3v−2w=[63]−[24]=[4−1],0v+0w=[00]3\mathbf{v} - 2\mathbf{w} = \begin{bmatrix} 6 \\ 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ -1 \end{bmatrix}, \qquad 0\mathbf{v} + 0\mathbf{w} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}

입니다. 계수를 모두 0으로 하면 언제나 영벡터가 나옵니다. 따라서 영벡터는 어떤 벡터들의 일차결합이기도 합니다.

3.2.1 격자로 보기

v\mathbf{v} 방향과 w\mathbf{w} 방향으로 그은 격자를 생각합시다. 보통 모눈종이는 (1,0)(1, 0)과 (0,1)(0, 1)로 만든 격자이고, 이 격자는 (2,1)(2, 1)과 (1,2)(1, 2)로 만든 “기울어진 모눈종이”입니다. 기울어진 모눈종이에서도 각 점의 “주소”는 정해집니다. (4,5)(4, 5)의 주소는 “v\mathbf{v} 방향으로 1칸, w\mathbf{w} 방향으로 2칸”입니다.

계수는 정수일 필요가 없습니다. cc와 dd에 실수를 허용하면 격자 칸 사이의 점들도 모두 도달할 수 있습니다. 기울어진 격자가 평면 전체를 빈틈없이 덮고 있으므로 로봇은 평면 어디든 갈 수 있을 것 같습니다. 이것을 정확히 확인하는 것이 다음 절입니다.

계수 c, d를 바꾸면 cv + dw가 기울어진 격자 위를 움직입니다

이 위젯은 JavaScript가 필요합니다

3.3 일차결합 찾기와 연립방정식

질문. cv+dw=(4,5)c\mathbf{v} + d\mathbf{w} = (4, 5)를 만족하는 cc, dd를 그림 없이 찾을 수 있을까요?

성분으로 펼쳐 봅시다.

c[21]+d[12]=[45]  ⟺  [2c+dc+2d]=[45]  ⟺  {2c+d=4c+2d=5c\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} + d\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \end{bmatrix} \iff \begin{bmatrix} 2c + d \\ c + 2d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \end{bmatrix} \iff \begin{cases} 2c + d = 4 \\ c + 2d = 5 \end{cases}

벡터의 같음은 성분별 같음이므로(2장 정의 2.5), 벡터 방정식 하나가 연립일차방정식이 되었습니다. 이미 풀 줄 아는 형태입니다. 첫째 식에서 d=4−2cd = 4 - 2c를 둘째 식에 넣으면 c+2(4−2c)=5c + 2(4 - 2c) = 5, 즉 c=1c = 1이고 d=2d = 2입니다. 격자에서 읽은 것과 같습니다.

3.3.1 같은 연립방정식, 두 가지 그림

이 관찰은 선형대수 전체에서 가장 중요한 것 중 하나이므로, 같은 연립방정식을 두 가지 그림으로 봅시다.

왼쪽은 c-d 평면에 그린 두 직선 2c + d = 4와 c + 2d = 5가 점 (1, 2)에서 만나는 그림입니다. 오른쪽은 벡터 v를 한 번, w를 두 번 이어 붙여 b = (4, 5)에 도착하는 그림입니다.

그림 3.1. 연립방정식 2c+d=42c + d = 4, c+2d=5c + 2d = 5의 두 가지 그림.

  • 행 그림(그림 3.1(a)): 방정식 하나하나를 직선으로 보고, 두 직선의 교점을 찾습니다. 중학교 때부터 해 온 방식입니다.
  • 열 그림(그림 3.1(b)): 계수를 세로로 모은 벡터 v=(2,1)\mathbf{v} = (2, 1), w=(1,2)\mathbf{w} = (1, 2)를 보고, 어떻게 섞으면 b=(4,5)\mathbf{b} = (4, 5)가 되는지 찾습니다.

두 그림은 같은 문제를 풉니다. 그런데 변수가 많아지면 행 그림은 그리기 어려워집니다(변수 4개면 4차원 공간의 “평면” 4개가 만나는 점을 찾아야 합니다). 열 그림은 변수가 몇 개든 “주어진 벡터들을 섞어서 b\mathbf{b}를 만들 수 있는가”라는 같은 질문입니다. 앞으로는 열 그림을 기본으로 삼습니다.

직관. 연립방정식 ⟺ “b\mathbf{b}가 주어진 벡터들의 일차결합일까요?” 이 대응을 기억하면, 다음 장 이후의 거의 모든 내용이 이 한 줄의 변주로 보입니다.

3.3.2 해가 없을 때, 해가 많을 때

예제 3.3. v=(1,2)\mathbf{v} = (1, 2), w=(2,4)\mathbf{w} = (2, 4)일 때 b=(1,0)\mathbf{b} = (1, 0)을 만들 수 있을까요? cv+dw=bc\mathbf{v} + d\mathbf{w} = \mathbf{b}는

{c+2d=12c+4d=0\begin{cases} c + 2d = 1 \\ 2c + 4d = 0 \end{cases}

입니다. 첫째 식에 2를 곱하면 2c+4d=22c + 4d = 2인데 둘째 식은 2c+4d=02c + 4d = 0입니다. 2=02 = 0이 되므로 해가 없습니다.

그림으로 보면 이유가 분명합니다. w=2v\mathbf{w} = 2\mathbf{v}이므로 두 벡터는 같은 직선 위에 있습니다. 이 둘을 어떻게 섞어도 그 직선을 벗어날 수 없는데, (1,0)(1, 0)은 그 직선 위에 없습니다.

예제 3.4. 같은 v\mathbf{v}, w\mathbf{w}로 b=(3,6)\mathbf{b} = (3, 6)을 만들어 봅시다. 연립방정식은 c+2d=3c + 2d = 3, 2c+4d=62c + 4d = 6이고, 둘째 식은 첫째 식의 2배이므로 사실상 식이 하나뿐입니다. dd를 아무 값 tt로 정하면 c=3−2tc = 3 - 2t가 되어 해가 무수히 많습니다. 예를 들어 (c,d)=(3,0),(1,1),(−1,2)(c, d) = (3, 0), (1, 1), (-1, 2) 모두 됩니다.

b=(3,6)=3v\mathbf{b} = (3, 6) = 3\mathbf{v}는 직선 위에 있으므로 도달할 수 있고, v\mathbf{v}와 w\mathbf{w}가 같은 방향이라 같은 점에 가는 방법이 여러 가지인 것입니다.

해가 하나인 경우, 없는 경우, 무수히 많은 경우. 이 세 가지 말고 다른 경우(예: 해가 정확히 2개)는 일어나지 않습니다. 이 사실은 11장에서 증명합니다.

▶ 문제 3.1–3.4

3.4 span

질문. 벡터 몇 개가 주어졌을 때, 그 벡터들의 일차결합으로 만들 수 있는 것 전부를 모으면 어떤 모양이 될까요?

정의 3.5 (span). v1,…,vk∈Rn\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k \in \mathbb{R}^n의 일차결합 전체의 집합을 이 벡터들의 span(생성)이라 하고 span⁡{v1,…,vk}\operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k\}로 씁니다.

span⁡{v1,…,vk}={ c1v1+⋯+ckvk:c1,…,ck∈R }\operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k\} = \{\, c_1\mathbf{v}_1 + \cdots + c_k\mathbf{v}_k : c_1, \ldots, c_k \in \mathbb{R} \,\}

벡터가 하나도 없을 때는 span⁡∅={0}\operatorname{span}\varnothing = \{\mathbf{0}\}으로 약속합니다.

한국어로는 “생성”이라고도 하지만 영어 그대로 span이라고 부르는 경우가 많아서 여기서도 span으로 씁니다. “b∈span⁡{v1,…,vk}\mathbf{b} \in \operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k\}”는 “b\mathbf{b}가 v1,…,vk\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k의 일차결합으로 쓰입니다”와 같은 말입니다.

3.4.1 평면에서의 span

세 그림. (a) 벡터 v 하나의 span은 원점을 지나는 굵은 직선입니다. (b) 평행한 두 벡터 2u와 −u의 span도 같은 직선입니다. (c) 평행하지 않은 두 벡터 v, w의 span은 평면 전체로, 전체를 칠했습니다.

그림 3.2. R2\mathbb{R}^2에서의 span. 굵은 선과 칠한 영역이 span입니다.

R2\mathbb{R}^2에서 span이 될 수 있는 모양은 세 가지뿐입니다.

  1. span⁡{0}={0}\operatorname{span}\{\mathbf{0}\} = \{\mathbf{0}\}: 원점 하나.
  2. v≠0\mathbf{v} \ne \mathbf{0}이면 span⁡{v}={ cv:c∈R }\operatorname{span}\{\mathbf{v}\} = \{\, c\mathbf{v} : c \in \mathbb{R} \,\}는 원점과 v\mathbf{v}를 지나는 직선입니다(그림 3.2(a)). 2장 2.5절에서 본 것처럼 스칼라배는 모두 한 직선 위에 있습니다.
  3. 같은 직선 위에 있지 않은 두 벡터의 span은 평면 전체 R2\mathbb{R}^2입니다(그림 3.2(c)). 같은 직선 위에 있는 두 벡터는 직선만 만듭니다(그림 3.2(b), 예제 3.3).

세 번째 사실은 지금은 그림으로만 믿고, 정확한 조건은 문제 3.11에서 증명합니다.

3.4.2 span의 기본 성질

정리 3.6 (span은 닫혀 있습니다). S=span⁡{v1,…,vk}S = \operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k\}라 합시다. 그러면

  1. 0∈S\mathbf{0} \in S.
  2. x,y∈S\mathbf{x}, \mathbf{y} \in S이면 x+y∈S\mathbf{x} + \mathbf{y} \in S.
  3. x∈S\mathbf{x} \in S, c∈Rc \in \mathbb{R}이면 cx∈Sc\mathbf{x} \in S.

아이디어. SS에 들어 있다는 것은 일차결합으로 쓰인다는 것입니다. 일차결합 둘을 더하면 계수끼리 더한 일차결합이 됩니다.

증명. (1) 계수를 모두 0으로 잡으면 0v1+⋯+0vk=00\mathbf{v}_1 + \cdots + 0\mathbf{v}_k = \mathbf{0}입니다.

(2) x,y∈S\mathbf{x}, \mathbf{y} \in S이므로 x=∑i=1kaivi\mathbf{x} = \sum_{i=1}^k a_i\mathbf{v}_i, y=∑i=1kbivi\mathbf{y} = \sum_{i=1}^k b_i\mathbf{v}_i인 실수 aia_i, bib_i가 있습니다. 2장 정리 2.9의 법칙들을 쓰면

x+y=∑i=1kaivi+∑i=1kbivi=∑i=1k(ai+bi)vi\mathbf{x} + \mathbf{y} = \sum_{i=1}^k a_i\mathbf{v}_i + \sum_{i=1}^k b_i\mathbf{v}_i = \sum_{i=1}^k(a_i + b_i)\mathbf{v}_i

이고, 이것은 계수가 ai+bia_i + b_i인 일차결합이므로 SS에 속합니다.

(3)은 문제 3.7에서 합니다. ■\blacksquare

이 정리를 그림으로 읽으면 이렇습니다. span 안에서 더하거나 늘이면 span 밖으로 나가지 않습니다. 직선 위의 두 벡터를 더해도 그 직선 위에 있고, 평면 위의 벡터를 늘여도 그 평면 위에 있습니다. 이 “닫혀 있음”이 10장에서 부분공간의 정의가 됩니다.

▶ 문제 3.5–3.8

3.5 R³에서의 span

R3\mathbb{R}^3에서 평행하지 않은 두 벡터의 span은 원점을 지나는 평면입니다. 평면 밖의 점에는 도달할 수 없습니다. R3\mathbb{R}^3에서는 가능한 모양이 하나 늘어납니다.

벡터의 개수 span의 모양 (가장 큰 경우) 작아지는 경우
1개 원점을 지나는 직선 영벡터면 원점
2개 원점을 지나는 평면 평행하면 직선
3개 R3\mathbb{R}^3 전체 한 평면 위에 있으면 평면 이하

예제 3.7. e1=(1,0,0)\mathbf{e}_1 = (1, 0, 0), e2=(0,1,0)\mathbf{e}_2 = (0, 1, 0)이면

span⁡{e1,e2}={ ae1+be2:a,b∈R }={ (a,b,0):a,b∈R }\operatorname{span}\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\} = \{\, a\mathbf{e}_1 + b\mathbf{e}_2 : a, b \in \mathbb{R} \,\} = \{\, (a, b, 0) : a, b \in \mathbb{R} \,\}

으로, xyxy 평면입니다. b=(1,2,3)\mathbf{b} = (1, 2, 3)은 셋째 성분이 0이 아니므로 이 span에 속하지 않습니다. 연립방정식으로 보면 a=1a = 1, b=2b = 2, 0=30 = 3이 되어 셋째 식이 모순입니다.

이 예는 중요한 사실을 보여 줍니다. R3\mathbb{R}^3에서 벡터 두 개로는 절대로 공간 전체를 만들 수 없습니다. 두 벡터가 아무리 잘 놓여 있어도 그 span은 평면이고, 평면 밖에는 점이 남습니다. 연립방정식으로 말하면, 미지수가 2개이고 식이 3개인 연립방정식은 b\mathbf{b}에 따라 해가 없을 수 있습니다.

“Rn\mathbb{R}^n 전체를 span하려면 벡터가 적어도 nn개 필요합니다”는 이 직관은 12장에서 차원이라는 개념으로 정확하게 증명됩니다.

직관. 벡터를 하나 추가할 때마다 span은 “한 차원 커질 수도” 있고 “그대로일 수도” 있습니다. 그대로인 경우가 언제인지가 다음 절의 주제입니다.

3.6 쓸모없는 벡터

질문. v=(1,0,0)\mathbf{v} = (1, 0, 0), w=(0,1,0)\mathbf{w} = (0, 1, 0)에 u=(2,3,0)\mathbf{u} = (2, 3, 0)을 추가하면 span이 커질까요?

u=2v+3w\mathbf{u} = 2\mathbf{v} + 3\mathbf{w}이므로 u\mathbf{u}는 이미 span⁡{v,w}\operatorname{span}\{\mathbf{v}, \mathbf{w}\} 안에 있습니다. u\mathbf{u}를 쓰는 일차결합은 모두 v\mathbf{v}, w\mathbf{w}만으로 다시 쓸 수 있습니다. 예를 들어

5v+w+4u=5v+w+4(2v+3w)=13v+13w5\mathbf{v} + \mathbf{w} + 4\mathbf{u} = 5\mathbf{v} + \mathbf{w} + 4(2\mathbf{v} + 3\mathbf{w}) = 13\mathbf{v} + 13\mathbf{w}

입니다. 따라서 u\mathbf{u}를 추가해도 span은 xyxy 평면 그대로입니다. 새로 갈 수 있는 곳이 생기지 않으니, u\mathbf{u}는 span을 넓히는 데는 쓸모없는 벡터입니다.

정리 3.8 (쓸모없는 벡터 제거). w∈span⁡{v1,…,vk}\mathbf{w} \in \operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k\}이면

span⁡{v1,…,vk,w}=span⁡{v1,…,vk}\operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k, \mathbf{w}\} = \operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k\}

입니다.

아이디어. 두 집합이 같음을 보이는 것이므로 두 방향 포함을 보입니다(1장 1.6절). 한쪽은 계수 0을 붙이면 되고, 다른 쪽은 w\mathbf{w}를 vi\mathbf{v}_i들로 바꿔 넣으면 됩니다.

증명. S=span⁡{v1,…,vk}S = \operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k\}, T=span⁡{v1,…,vk,w}T = \operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k, \mathbf{w}\}라 합시다.

(S⊆TS \subseteq T) x∈S\mathbf{x} \in S이면 x=∑i=1kcivi\mathbf{x} = \sum_{i=1}^k c_i\mathbf{v}_i입니다. 이것은 x=∑i=1kcivi+0 w\mathbf{x} = \sum_{i=1}^k c_i\mathbf{v}_i + 0\,\mathbf{w}로도 쓸 수 있으므로 x∈T\mathbf{x} \in T입니다.

(T⊆ST \subseteq S) 가정에 의해 w=∑i=1kaivi\mathbf{w} = \sum_{i=1}^k a_i\mathbf{v}_i인 실수 aia_i가 있습니다. x∈T\mathbf{x} \in T이면 x=∑i=1kcivi+d w\mathbf{x} = \sum_{i=1}^k c_i\mathbf{v}_i + d\,\mathbf{w}인 실수 cic_i, dd가 있고,

x=∑i=1kcivi+d∑i=1kaivi=∑i=1k(ci+dai)vi\mathbf{x} = \sum_{i=1}^k c_i\mathbf{v}_i + d\sum_{i=1}^k a_i\mathbf{v}_i = \sum_{i=1}^k(c_i + da_i)\mathbf{v}_i

이므로 x∈S\mathbf{x} \in S입니다. ■\blacksquare

이 정리는 다음 질문을 자연스럽게 던집니다.

  • 벡터 목록 안에 쓸모없는 벡터가 하나도 없는 상태를 어떻게 판정할까요? → 일차독립 (12장)
  • 같은 span을 만드는 가장 짧은 목록은 무엇이고, 그 길이는 항상 같을까요? → 기저와 차원 (12장, 21장)

1부의 나머지 장(4–7장)에서는 행렬을 그림으로 보고, 2부에서 이 질문들에 계산으로 답합니다.

▶ 문제 3.9–3.12

쓰이는 곳. 신경망의 한 뉴런은 입력의 일차결합 w1x1+⋯+wdxdw_1x_1 + \cdots + w_dx_d를 계산합니다. '어떤 함수들의 일차결합으로 원하는 것을 만들 수 있는가'는 푸리에 급수(사인·코사인의 일차결합)와 기저 함수 회귀의 핵심 질문이기도 합니다.

이 장의 요약

  • 일차결합 c1v1+⋯+ckvkc_1\mathbf{v}_1 + \cdots + c_k\mathbf{v}_k는 더하기와 스칼라배만으로 만든 벡터입니다.
  • “b\mathbf{b}가 v1,…,vk\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k의 일차결합일까요?”는 연립일차방정식과 같은 질문입니다(열 그림).
  • 연립방정식의 해는 하나, 없음, 무수히 많음 중 하나입니다.
  • span⁡{v1,…,vk}\operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k\}는 일차결합 전체입니다. 원점을 포함하고, 덧셈과 스칼라배에 닫혀 있습니다.
  • R3\mathbb{R}^3에서 span은 원점, 원점을 지나는 직선, 원점을 지나는 평면, 공간 전체 중 하나입니다. 벡터 2개로는 R3\mathbb{R}^3을 덮을 수 없습니다.
  • 이미 span 안에 있는 벡터를 추가해도 span은 변하지 않습니다.

문제

3.1 [계산] · 확인 문제

u=(1,0,1)\mathbf{u} = (1, 0, 1), v=(2,−1,0)\mathbf{v} = (2, -1, 0), w=(0,3,1)\mathbf{w} = (0, 3, 1)일 때 2v−3w+u2\mathbf{v} - 3\mathbf{w} + \mathbf{u}와 u+v+w\mathbf{u} + \mathbf{v} + \mathbf{w}를 구합니다.

첫째 둘째 셋째
2v−3w+u2\mathbf{v} - 3\mathbf{w} + \mathbf{u} [?] [?] [?]
u+v+w\mathbf{u} + \mathbf{v} + \mathbf{w} [?] [?] [?]
정답
5
-11
-2
3
2
2
풀이

2v−3w+u=(4,−2,0)−(0,9,3)+(1,0,1)=(5,−11,−2)2\mathbf{v} - 3\mathbf{w} + \mathbf{u} = (4, -2, 0) - (0, 9, 3) + (1, 0, 1) = (5, -11, -2), u+v+w=(3,2,2)\mathbf{u} + \mathbf{v} + \mathbf{w} = (3, 2, 2)입니다.

3.2 [계산] · 확인 문제

v=(1,1)\mathbf{v} = (1, 1), w=(1,−1)\mathbf{w} = (1, -1)이라 합시다. (a) (5,1)(5, 1)을 cv+dwc\mathbf{v} + d\mathbf{w} 꼴로 씁니다. (b) (0,4)(0, 4)를 cv+dwc\mathbf{v} + d\mathbf{w} 꼴로 씁니다. (c) 임의의 (x,y)(x, y)를 cv+dwc\mathbf{v} + d\mathbf{w} 꼴로 씁니다. 즉 cc, dd를 xx, yy로 나타냅니다. (d) (c)의 결과로부터 span⁡{v,w}\operatorname{span}\{\mathbf{v}, \mathbf{w}\}는 무엇일까요? 표에는 (a), (b)의 계수를 적고 (c), (d)는 풀이에서 확인합니다.

cc dd
(a) (5,1)(5, 1) [?] [?]
(b) (0,4)(0, 4) [?] [?]
정답
3
2
2
-2
풀이

(a) c+d=5c + d = 5, c−d=1c - d = 1이므로 c=3c = 3, d=2d = 2입니다. (b) c+d=0c + d = 0, c−d=4c - d = 4이므로 c=2c = 2, d=−2d = -2입니다. (c) 두 식을 더하고 빼면 c=x+y2c = \frac{x + y}{2}, d=x−y2d = \frac{x - y}{2}입니다. (d) 모든 (x,y)(x, y)에 대해 계수가 존재하므로 span⁡{v,w}=R2\operatorname{span}\{\mathbf{v}, \mathbf{w}\} = \mathbb{R}^2입니다.

3.3 [계산] · 확인 문제

v=(1,2,0)\mathbf{v} = (1, 2, 0), w=(0,1,1)\mathbf{w} = (0, 1, 1)이라 합시다. 다음 벡터가 v\mathbf{v}, w\mathbf{w}의 일차결합인지 판정하고, 그렇다면 계수를 구합니다. 각 경우 연립방정식을 먼저 쓰고 풉니다. (a) (2,5,1)(2, 5, 1) (b) (1,1,1)(1, 1, 1)

값 답
(a)의 계수 cc [?]
(a)의 계수 dd [?]
(b)가 일차결합인가 (O 또는 X) [?]
정답
2
1
X
풀이

cv+dw=(c,2c+d,d)c\mathbf{v} + d\mathbf{w} = (c, 2c + d, d)입니다.

(a) c=2c = 2, 2c+d=52c + d = 5, d=1d = 1입니다. 첫째·둘째 식에서 c=2c = 2, d=1d = 1이고 셋째 식 d=1d = 1도 만족합니다. 따라서 (2,5,1)=2v+w(2, 5, 1) = 2\mathbf{v} + \mathbf{w}입니다.

(b) c=1c = 1, 2c+d=12c + d = 1, d=1d = 1입니다. 첫째·둘째 식에서 d=−1d = -1인데 셋째 식은 d=1d = 1입니다. 모순이므로 일차결합이 아닙니다.

3.4 [계산]

cv+dw=0c\mathbf{v} + d\mathbf{w} = \mathbf{0}을 만족하는 (c,d)(c, d)를 모두 구합니다. (a) v=(1,2)\mathbf{v} = (1, 2), w=(3,6)\mathbf{w} = (3, 6) (b) v=(1,2)\mathbf{v} = (1, 2), w=(2,1)\mathbf{w} = (2, 1). 두 경우의 답이 다른 이유를 그림으로 설명합니다.

풀이

(a) c+3d=0c + 3d = 0, 2c+6d=02c + 6d = 0은 같은 식입니다. d=td = t로 두면 (c,d)=(−3t,t)(c, d) = (-3t, t) (t∈Rt \in \mathbb{R})입니다. 해가 무수히 많습니다.

(b) c+2d=0c + 2d = 0, 2c+d=02c + d = 0에서 c=−2dc = -2d를 대입하면 −3d=0-3d = 0, 따라서 c=d=0c = d = 0뿐입니다.

이유: (a)에서는 w=3v\mathbf{w} = 3\mathbf{v}로 평행하므로 3v−w=03\mathbf{v} - \mathbf{w} = \mathbf{0}처럼 0이 아닌 계수로 영벡터를 만들 수 있습니다. (b)는 평행하지 않으므로, 한쪽 방향으로 간 것을 다른 쪽 벡터로 되돌릴 수 없습니다. 이 차이가 12장의 일차독립입니다.

3.5 [계산] · 확인 문제

다음 span이 원점, 직선, 평면, 공간 전체 중 무엇인지 말하고, 직선이나 평면이면 그 방정식을 씁니다. 표에는 “원점”, “직선”, “평면”, “전체” 중 하나를 적습니다. (평면 R2\mathbb{R}^2 전체이면 “전체”입니다.)

span 모양
(a) span⁡{(0,0)}\operatorname{span}\{(0, 0)\} [?]
(b) span⁡{(1,3)}\operatorname{span}\{(1, 3)\} [?]
(c) span⁡{(1,3),(−2,−6)}\operatorname{span}\{(1, 3), (-2, -6)\} [?]
(d) span⁡{(1,3),(1,0)}\operatorname{span}\{(1, 3), (1, 0)\} [?]
(e) span⁡{(1,0,0),(0,0,1)}\operatorname{span}\{(1, 0, 0), (0, 0, 1)\} [?]
(f) span⁡{(1,1,0),(2,2,0)}\operatorname{span}\{(1, 1, 0), (2, 2, 0)\} [?]
정답
원점
직선
직선
전체
평면
직선
풀이

(a) 원점 {0}\{\mathbf{0}\}. (b) 직선 y=3xy = 3x. (c) 직선 y=3xy = 3x ((−2,−6)=−2(1,3)(-2, -6) = -2(1, 3)). (d) R2\mathbb{R}^2 전체(평행하지 않습니다). (e) xzxz 평면, 방정식 y=0y = 0. (f) (2,2,0)=2(1,1,0)(2, 2, 0) = 2(1, 1, 0)이므로 직선 { (t,t,0):t∈R }\{\, (t, t, 0) : t \in \mathbb{R} \,\}, 방정식 x=yx = y, z=0z = 0.

3.6 [계산] · 확인 문제

S=span⁡{(1,0,1),(0,1,1)}S = \operatorname{span}\{(1, 0, 1), (0, 1, 1)\}이라 합시다. (a) (1,2,3)∈S(1, 2, 3) \in S일까요? (1,2,4)∈S(1, 2, 4) \in S일까요? (b) SS의 원소를 (a,b,□)(a, b, \square) 꼴로 써서, SS가 어떤 평면인지 방정식으로 나타냅니다. 표에는 (a)를 O 또는 X로 적습니다.

벡터 SS에 속하는가
(1,2,3)(1, 2, 3) [?]
(1,2,4)(1, 2, 4) [?]
정답
O
X
풀이

c(1,0,1)+d(0,1,1)=(c,d,c+d)c(1, 0, 1) + d(0, 1, 1) = (c, d, c + d)입니다.

(a) (1,2,3)(1, 2, 3): c=1c = 1, d=2d = 2, c+d=3c + d = 3이므로 속합니다. (1,2,4)(1, 2, 4): c+d=3≠4c + d = 3 \ne 4이므로 속하지 않습니다.

(b) S={ (a,b,a+b):a,b∈R }S = \{\, (a, b, a + b) : a, b \in \mathbb{R} \,\}, 즉 평면 z=x+yz = x + y입니다.

3.7 [증명]

S=span⁡{v1,…,vk}S = \operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k\}, x∈S\mathbf{x} \in S, c∈Rc \in \mathbb{R}이면 cx∈Sc\mathbf{x} \in S임을 증명합니다(정리 3.6의 (3)).

풀이

x=∑aivi\mathbf{x} = \sum a_i\mathbf{v}_i이면 cx=c∑aivi=∑(cai)vic\mathbf{x} = c\sum a_i\mathbf{v}_i = \sum(ca_i)\mathbf{v}_i다(법칙 (7)을 여러 번, 그리고 (5)). 계수 caica_i인 일차결합입니다.

3.8 [증명]

(a) 각 ii에 대하여 vi∈span⁡{v1,…,vk}\mathbf{v}_i \in \operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k\}임을 보입니다. (b) c≠0c \ne 0이면 span⁡{v}=span⁡{cv}\operatorname{span}\{\mathbf{v}\} = \operatorname{span}\{c\mathbf{v}\}임을 보입니다. c=0c = 0이면 어떻게 될까요?

풀이

(a) vi=0v1+⋯+1vi+⋯+0vk\mathbf{v}_i = 0\mathbf{v}_1 + \cdots + 1\mathbf{v}_i + \cdots + 0\mathbf{v}_k입니다.

(b) (⊇\supseteq) t(cv)=(tc)v∈span⁡{v}t(c\mathbf{v}) = (tc)\mathbf{v} \in \operatorname{span}\{\mathbf{v}\}입니다. (⊆\subseteq) tv=tc(cv)∈span⁡{cv}t\mathbf{v} = \frac{t}{c}(c\mathbf{v}) \in \operatorname{span}\{c\mathbf{v}\}입니다. 여기서 c≠0c \ne 0이 쓰였습니다. c=0c = 0이면 span⁡{0v}={0}\operatorname{span}\{0\mathbf{v}\} = \{\mathbf{0}\}이고, 이것이 span⁡{v}\operatorname{span}\{\mathbf{v}\}와 같은 것은 v=0\mathbf{v} = \mathbf{0}일 때뿐입니다.

3.9 [계산]

(a) u=(1,2,3)\mathbf{u} = (1, 2, 3), v=(0,1,1)\mathbf{v} = (0, 1, 1), w=(2,5,7)\mathbf{w} = (2, 5, 7) 중 하나를 나머지 둘의 일차결합으로 씁니다. 이로부터 span⁡{u,v,w}\operatorname{span}\{\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}\}를 벡터 두 개의 span으로 나타냅니다. (b) R2\mathbb{R}^2의 세 벡터 (1,0)(1, 0), (0,1)(0, 1), (2,3)(2, 3)에서 쓸모없는 벡터를 하나 찾습니다. 쓸모없는 벡터로 다른 것을 고를 수도 있을까요?

풀이

(a) w=2u+v\mathbf{w} = 2\mathbf{u} + \mathbf{v}다(확인: (2,4,6)+(0,1,1)=(2,5,7)(2, 4, 6) + (0, 1, 1) = (2, 5, 7)). 정리 3.8에 의해 span⁡{u,v,w}=span⁡{u,v}\operatorname{span}\{\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}\} = \operatorname{span}\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\}입니다.

(b) (2,3)=2(1,0)+3(0,1)(2, 3) = 2(1, 0) + 3(0, 1)이므로 (2,3)(2, 3)이 쓸모없습니다. 다른 것도 고를 수 있습니다: (1,0)=12(2,3)−32(0,1)(1, 0) = \frac{1}{2}(2, 3) - \frac{3}{2}(0, 1), (0,1)=13(2,3)−23(1,0)(0, 1) = \frac{1}{3}(2, 3) - \frac{2}{3}(1, 0). 셋 중 어느 것을 빼도 span은 R2\mathbb{R}^2입니다. “쓸모없는 벡터”는 하나로 정해지지 않습니다.

3.10 [증명]

v,w∈Rn\mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^n에 대하여 span⁡{v,w}=span⁡{v,v+w}\operatorname{span}\{\mathbf{v}, \mathbf{w}\} = \operatorname{span}\{\mathbf{v}, \mathbf{v} + \mathbf{w}\}임을 증명합니다. (두 방향 포함을 보여도 되고, 정리 3.8을 두 번 써도 됩니다.)

풀이

v+w∈span⁡{v,w}\mathbf{v} + \mathbf{w} \in \operatorname{span}\{\mathbf{v}, \mathbf{w}\}이므로 정리 3.8에 의해 span⁡{v,w}=span⁡{v,w,v+w}\operatorname{span}\{\mathbf{v}, \mathbf{w}\} = \operatorname{span}\{\mathbf{v}, \mathbf{w}, \mathbf{v} + \mathbf{w}\}입니다. w=(v+w)−v∈span⁡{v,v+w}\mathbf{w} = (\mathbf{v} + \mathbf{w}) - \mathbf{v} \in \operatorname{span}\{\mathbf{v}, \mathbf{v} + \mathbf{w}\}이므로 span⁡{v,v+w}=span⁡{v,v+w,w}\operatorname{span}\{\mathbf{v}, \mathbf{v} + \mathbf{w}\} = \operatorname{span}\{\mathbf{v}, \mathbf{v} + \mathbf{w}, \mathbf{w}\}입니다. 두 결과의 우변은 같은 집합입니다.

3.11 [도전]

v=(a,c)\mathbf{v} = (a, c), w=(b,d)\mathbf{w} = (b, d)라 합시다. span⁡{v,w}=R2\operatorname{span}\{\mathbf{v}, \mathbf{w}\} = \mathbb{R}^2인 것과 ad−bc≠0ad - bc \ne 0인 것이 동치임을 증명합니다.

힌트. (⇐\Leftarrow)는 연립방정식 xa+yb=pxa + yb = p, xc+yd=qxc + yd = q를 직접 풉니다. (⇒\Rightarrow)는 대우를 증명합니다: ad−bc=0ad - bc = 0이면 두 벡터가 한 직선 위에 있음을 보이고, 그 직선 밖의 점을 하나 찾습니다. (ad−bcad - bc는 6장에서 “넓이 배율”로, 15장에서 행렬식으로 다시 만납니다.)

풀이

(⇐\Leftarrow) ad−bc≠0ad - bc \ne 0이고 (p,q)(p, q)가 주어졌다고 합시다. x=dp−bqad−bcx = \frac{dp - bq}{ad - bc}, y=aq−cpad−bcy = \frac{aq - cp}{ad - bc}로 두면

xa+yb=adp−abq+abq−bcpad−bc=p,xc+yd=cdp−bcq+adq−cdpad−bc=qxa + yb = \frac{adp - abq + abq - bcp}{ad - bc} = p, \qquad xc + yd = \frac{cdp - bcq + adq - cdp}{ad - bc} = q

입니다.

(⇒\Rightarrow) 대우: ad=bcad = bc이면 span⁡{v,w}≠R2\operatorname{span}\{\mathbf{v}, \mathbf{w}\} \ne \mathbb{R}^2입니다.

  • v=w=0\mathbf{v} = \mathbf{w} = \mathbf{0}이면 span은 {0}\{\mathbf{0}\}입니다.
  • v≠0\mathbf{v} \ne \mathbf{0}이라 합시다. a≠0a \ne 0이면 w=bav\mathbf{w} = \frac{b}{a}\mathbf{v}다(둘째 성분: bac=ada=d\frac{b}{a}c = \frac{ad}{a} = d). a=0a = 0이면 c≠0c \ne 0이고 bc=0bc = 0에서 b=0b = 0, w=dcv\mathbf{w} = \frac{d}{c}\mathbf{v}입니다. 어느 경우든 w∈span⁡{v}\mathbf{w} \in \operatorname{span}\{\mathbf{v}\}이므로 span은 직선 span⁡{v}\operatorname{span}\{\mathbf{v}\}입니다.
  • 그 직선 밖의 점: (−c,a)(-c, a). 만약 (−c,a)=t(a,c)(-c, a) = t(a, c)이면 −c=ta-c = ta, a=tca = tc에서 −c=t2c-c = t^2c입니다. c≠0c \ne 0이면 t2=−1t^2 = -1로 모순, c=0c = 0이면 a=0a = 0이 되어 v=0\mathbf{v} = \mathbf{0}에 모순입니다.
  • v=0\mathbf{v} = \mathbf{0}, w≠0\mathbf{w} \ne \mathbf{0}인 경우는 역할을 바꿔 같은 논증을 합니다.

3.12 [도전]

R2\mathbb{R}^2의 벡터 세 개 u\mathbf{u}, v\mathbf{v}, w\mathbf{w}가 주어지면, 그중 적어도 하나는 나머지 둘의 일차결합임을 증명합니다. (문제 3.11의 결과를 써도 됩니다.)

풀이

경우 1: 어떤 두 벡터, 예를 들어 u\mathbf{u}, v\mathbf{v}가 평행하지 않으면 span⁡{u,v}=R2\operatorname{span}\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\} = \mathbb{R}^2(문제 3.11)이므로 w\mathbf{w}가 u\mathbf{u}, v\mathbf{v}의 일차결합입니다.

경우 2: 어느 두 벡터도 “평행하지 않은 쌍”이 아닙니다. u=0\mathbf{u} = \mathbf{0}이면 u=0v+0w\mathbf{u} = 0\mathbf{v} + 0\mathbf{w}로 끝입니다. u≠0\mathbf{u} \ne \mathbf{0}이면 v\mathbf{v}는 u\mathbf{u}와 평행하므로(문제 3.11의 (⇒\Rightarrow) 증명) v=tu=tu+0w\mathbf{v} = t\mathbf{u} = t\mathbf{u} + 0\mathbf{w}입니다.