행렬은 숫자를 직사각형으로 늘어놓은 표이지만, 이 장에서는 행렬을 '평면을 늘이고, 돌리고, 기울이는 변환'으로 봅니다. 좌표평면의 격자가 행렬에 따라 어떻게 움직이는지 보면, 행렬과 벡터의 곱이 왜 그런 규칙으로 정의되는지 자연스럽게 이해됩니다. 기저벡터 두 개가 어디로 가는지만 알면 변환 전체가 정해진다는 것이 핵심입니다.
4.1 평면 전체를 한꺼번에 움직이기
질문. 평면 위의 모든 점을 원점을 중심으로 90 ∘ 90^\circ 9 0 ∘ ( 3 , 1 ) (3, 1) ( 3 , 1 ) ( x , y ) (x, y) ( x , y )
3장까지는 벡터 몇 개를 섞는 이야기였습니다. 이 장에서는 시선을 바꿔, 벡터를 입력받아 벡터를 내놓는 기계를 봅니다. 0장의 말로 하면 함수 T : R n → R m T : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m T : R n → R m 변환 (transformation)이라 부릅니다. “함수”라는 말 대신 “변환”이라 부르는 이유는, 입력과 출력이 모두 공간의 점(화살표)이어서 공간 자체가 움직이는 모습으로 상상하기 좋기 때문입니다.
모든 변환을 다루는 것은 아닙니다. 선형대수가 다루는 것은 아주 특별한 변환, 선형변환입니다. 이 장의 결론을 먼저 말하면 다음과 같습니다.
선형변환은 기저벡터의 행선지만 알면 완전히 결정되고, 그 행선지를 열로 늘어놓은 표가 행렬입니다.
4.2 선형변환
4.2.1 격자의 움직임
그림 4.1. (b)에서 격자선은 직선으로 남고, 평행하고, 간격이 일정합니다. (c)에서는 격자선이 휘어집니다.
그림 4.1(b)는 선형변환이 평면을 움직이는 모습입니다. 세 가지가 눈에 띕니다.
원점은 움직이지 않습니다.
격자선은 휘지 않고 직선으로 남습니다.
평행한 격자선은 평행하게 남고, 간격도 일정합니다.
격자가 기울어지거나 늘어나거나 뒤집힐 수는 있어도, “모눈종이의 성질”은 유지됩니다. 이것이 선형변환에 대한 그림으로서의 정의입니다. 정확한 정의는 다음과 같습니다.
정의 4.1 (선형변환). 함수 T : R n → R m T : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m T : R n → R m v , w ∈ R n \mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^n v , w ∈ R n c ∈ R c \in \mathbb{R} c ∈ R
T ( v + w ) = T ( v ) + T ( w ) , T ( c v ) = c T ( v ) T(\mathbf{v} + \mathbf{w}) = T(\mathbf{v}) + T(\mathbf{w}), \qquad T(c\mathbf{v}) = c\,T(\mathbf{v}) T ( v + w ) = T ( v ) + T ( w ) , T ( c v ) = c T ( v ) 를 만족하면 T T T 선형변환 (linear transformation)이라 합니다.
두 조건을 말로 하면 “더한 다음 변환하나, 변환한 다음 더하나 같습니다”, “늘인 다음 변환하나, 변환한 다음 늘이나 같습니다”입니다. 0.5절에서 ∑ \sum ∑
두 조건을 합쳐 한 줄로 쓸 수도 있습니다.
T ( c v + d w ) = c T ( v ) + d T ( w ) . T(c\mathbf{v} + d\mathbf{w}) = c\,T(\mathbf{v}) + d\,T(\mathbf{w}). T ( c v + d w ) = c T ( v ) + d T ( w ) . 즉 선형변환은 일차결합을 일차결합으로 보냅니다. 3장에서 일차결합이 선형대수의 기본 재료였으므로, 그 재료를 망가뜨리지 않는 변환이 선형변환입니다.
정리 4.2 (선형변환은 원점을 고정합니다). T T T T ( 0 ) = 0 T(\mathbf{0}) = \mathbf{0} T ( 0 ) = 0
증명. T ( 0 ) = T ( 0 ⋅ 0 ) = 0 ⋅ T ( 0 ) = 0 T(\mathbf{0}) = T(0 \cdot \mathbf{0}) = 0 \cdot T(\mathbf{0}) = \mathbf{0} T ( 0 ) = T ( 0 ⋅ 0 ) = 0 ⋅ T ( 0 ) = 0 T ( c v ) = c T ( v ) T(c\mathbf{v}) = cT(\mathbf{v}) T ( c v ) = c T ( v ) c = 0 c = 0 c = 0
예제 4.3. T ( x , y ) = ( x + 1 , y ) T(x, y) = (x + 1, y) T ( x , y ) = ( x + 1 , y ) T ( 0 , 0 ) = ( 1 , 0 ) ≠ 0 T(0, 0) = (1, 0) \ne \mathbf{0} T ( 0 , 0 ) = ( 1 , 0 ) = 0
예제 4.4. T ( x , y ) = ( x 2 , y ) T(x, y) = (x^2, y) T ( x , y ) = ( x 2 , y ) T ( 0 , 0 ) = ( 0 , 0 ) T(0, 0) = (0, 0) T ( 0 , 0 ) = ( 0 , 0 ) T ( 2 e 1 ) = ( 4 , 0 ) T(2\mathbf{e}_1) = (4, 0) T ( 2 e 1 ) = ( 4 , 0 ) 2 T ( e 1 ) = ( 2 , 0 ) 2T(\mathbf{e}_1) = (2, 0) 2 T ( e 1 ) = ( 2 , 0 )
원점이 고정된다는 것은 선형의 필요조건이지 충분조건이 아닙니다. 둘째 예처럼 원점은 그대로인데 선형이 아닌 변환도 있습니다.
4.3 기저벡터로 정해지는 변환
질문. 선형변환 T : R 2 → R 2 T : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 T : R 2 → R 2 T ( 1 , 0 ) = ( 2 , 1 ) T(1, 0) = (2, 1) T ( 1 , 0 ) = ( 2 , 1 ) T ( 0 , 1 ) = ( − 1 , 3 ) T(0, 1) = (-1, 3) T ( 0 , 1 ) = ( − 1 , 3 ) T ( 4 , 5 ) T(4, 5) T ( 4 , 5 )
( 4 , 5 ) = 4 ( 1 , 0 ) + 5 ( 0 , 1 ) (4, 5) = 4(1, 0) + 5(0, 1) ( 4 , 5 ) = 4 ( 1 , 0 ) + 5 ( 0 , 1 ) T T T
T ( 4 , 5 ) = 4 T ( 1 , 0 ) + 5 T ( 0 , 1 ) = 4 [ 2 1 ] + 5 [ − 1 3 ] = [ 3 19 ] . T(4, 5) = 4\,T(1, 0) + 5\,T(0, 1) = 4\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} + 5\begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 19 \end{bmatrix}. T ( 4 , 5 ) = 4 T ( 1 , 0 ) + 5 T ( 0 , 1 ) = 4 [ 2 1 ] + 5 [ − 1 3 ] = [ 3 19 ] . 두 벡터의 행선지만으로 다른 점의 행선지가 결정되었습니다. 이것이 이 장의 핵심 관찰입니다.
정의 4.5 (표준기저벡터). R n \mathbb{R}^n R n i i i e i \mathbf{e}_i e i e 1 , … , e n \mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_n e 1 , … , e n 표준기저벡터 (standard basis vectors)라 합니다.
e 1 = [ 1 0 ⋮ 0 ] , e 2 = [ 0 1 ⋮ 0 ] , … , e n = [ 0 0 ⋮ 1 ] . \mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{e}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \ldots, \quad \mathbf{e}_n = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}. e 1 = 1 0 ⋮ 0 , e 2 = 0 1 ⋮ 0 , … , e n = 0 0 ⋮ 1 . 모든 x ∈ R n \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n x ∈ R n x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + ⋯ + x n e n \mathbf{x} = x_1\mathbf{e}_1 + x_2\mathbf{e}_2 + \cdots + x_n\mathbf{e}_n x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + ⋯ + x n e n
정리 4.6 (선형변환은 기저벡터의 행선지로 결정됩니다). T : R n → R m T : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m T : R n → R m x ∈ R n \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n x ∈ R n
T ( x ) = x 1 T ( e 1 ) + x 2 T ( e 2 ) + ⋯ + x n T ( e n ) . T(\mathbf{x}) = x_1 T(\mathbf{e}_1) + x_2 T(\mathbf{e}_2) + \cdots + x_n T(\mathbf{e}_n). T ( x ) = x 1 T ( e 1 ) + x 2 T ( e 2 ) + ⋯ + x n T ( e n ) . 특히 두 선형변환 T T T S S S e i \mathbf{e}_i e i T = S T = S T = S
증명. x = ∑ i = 1 n x i e i \mathbf{x} = \sum_{i=1}^n x_i\mathbf{e}_i x = ∑ i = 1 n x i e i T T T n − 1 n - 1 n − 1 T ( x ) = ∑ i = 1 n x i T ( e i ) T(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n x_i T(\mathbf{e}_i) T ( x ) = ∑ i = 1 n x i T ( e i ) T ( e i ) T(\mathbf{e}_i) T ( e i )
직관. 그림 4.1(b)에서 e 1 , e 2 \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2 e 1 , e 2 T ( e 1 ) , T ( e 2 ) T(\mathbf{e}_1), T(\mathbf{e}_2) T ( e 1 ) , T ( e 2 ) T ( e 1 ) , T ( e 2 ) T(\mathbf{e}_1), T(\mathbf{e}_2) T ( e 1 ) , T ( e 2 ) x \mathbf{x} x ( x 1 , x 2 ) (x_1, x_2) ( x 1 , x 2 )
4.4 행렬
4.4.1 행선지를 열로 적기
정리 4.6 에 의해 선형변환 T : R n → R m T : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m T : R n → R m T ( e 1 ) , … , T ( e n ) T(\mathbf{e}_1), \ldots, T(\mathbf{e}_n) T ( e 1 ) , … , T ( e n ) R m \mathbb{R}^m R m m m m m m m n n n
정의 4.7 (행렬). 실수를 m m m n n n
A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ] A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} A = a 11 a 21 ⋮ a m 1 a 12 a 22 ⋮ a m 2 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ a 1 n a 2 n ⋮ a mn 를 m × n m \times n m × n 행렬 (matrix)이라 합니다. a i j a_{ij} a ij i i i j j j 성분 (entry)입니다. m × n m \times n m × n R m × n \mathbb{R}^{m \times n} R m × n
첨자 순서는 언제나 행 먼저, 열 나중입니다. a 23 a_{23} a 23 ∑ ∑ a i j \sum\sum a_{ij} ∑∑ a ij
행렬의 j j j a j \mathbf{a}_j a j A = [ a 1 a 2 ⋯ a n ] A = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 & \cdots & \mathbf{a}_n \end{bmatrix} A = [ a 1 a 2 ⋯ a n ]
4.4.2 행렬과 벡터의 곱
정의 4.8 (행렬과 벡터의 곱). A = [ a 1 ⋯ a n ] ∈ R m × n A = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 & \cdots & \mathbf{a}_n \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{m \times n} A = [ a 1 ⋯ a n ] ∈ R m × n x ∈ R n \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n x ∈ R n
A x = x 1 a 1 + x 2 a 2 + ⋯ + x n a n ∈ R m A\mathbf{x} = x_1\mathbf{a}_1 + x_2\mathbf{a}_2 + \cdots + x_n\mathbf{a}_n \in \mathbb{R}^m A x = x 1 a 1 + x 2 a 2 + ⋯ + x n a n ∈ R m 로 정의합니다. 즉 A x A\mathbf{x} A x A A A x \mathbf{x} x
A A A x \mathbf{x} x
예제 4.9.
[ 2 − 1 1 3 ] [ 4 5 ] = 4 [ 2 1 ] + 5 [ − 1 3 ] = [ 3 19 ] . \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 \\ 5 \end{bmatrix} = 4\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} + 5\begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 19 \end{bmatrix}. [ 2 1 − 1 3 ] [ 4 5 ] = 4 [ 2 1 ] + 5 [ − 1 3 ] = [ 3 19 ] . 4.3절 질문의 계산과 똑같습니다.
이제 정리 4.6 을 행렬로 다시 쓸 수 있습니다.
정리 4.10 (선형변환의 표준행렬). T : R n → R m T : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m T : R n → R m
A = [ T ( e 1 ) T ( e 2 ) ⋯ T ( e n ) ] ∈ R m × n A = \begin{bmatrix} T(\mathbf{e}_1) & T(\mathbf{e}_2) & \cdots & T(\mathbf{e}_n) \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{m \times n} A = [ T ( e 1 ) T ( e 2 ) ⋯ T ( e n ) ] ∈ R m × n 에 대하여 모든 x \mathbf{x} x T ( x ) = A x T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} T ( x ) = A x A A A T T T 표준행렬 (standard matrix)이라 합니다.
거꾸로, 임의의 A ∈ R m × n A \in \mathbb{R}^{m \times n} A ∈ R m × n T ( x ) = A x T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} T ( x ) = A x T T T
증명. 첫째 부분: 정리 4.6 의 우변이 정의 4.8 의 A x A\mathbf{x} A x
둘째 부분: A ( v + w ) = ∑ j ( v j + w j ) a j = ∑ j v j a j + ∑ j w j a j = A v + A w A(\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \sum_j (v_j + w_j)\mathbf{a}_j = \sum_j v_j\mathbf{a}_j + \sum_j w_j\mathbf{a}_j = A\mathbf{v} + A\mathbf{w} A ( v + w ) = ∑ j ( v j + w j ) a j = ∑ j v j a j + ∑ j w j a j = A v + A w A ( c v ) = ∑ j ( c v j ) a j = c ∑ j v j a j = c A v A(c\mathbf{v}) = \sum_j (cv_j)\mathbf{a}_j = c\sum_j v_j\mathbf{a}_j = cA\mathbf{v} A ( c v ) = ∑ j ( c v j ) a j = c ∑ j v j a j = c A v 정리 2.9 의 법칙들을 썼습니다. ■
이 정리 덕분에 “선형변환”과 “행렬”은 같은 대상의 두 이름이 됩니다. 선형변환은 그림이고, 행렬은 그 그림을 기록한 숫자입니다. 2장의 “화살표 / 숫자 목록”과 같은 이중성입니다.
4.4.3 행으로 계산하기
정의 4.8 은 열을 기준으로 합니다. 손으로 계산할 때는 행을 기준으로 하는 방법이 빠릅니다.
정리 4.11 (행과의 내적). A ∈ R m × n A \in \mathbb{R}^{m \times n} A ∈ R m × n i i i r i \mathbf{r}_i r i n n n A x A\mathbf{x} A x i i i r i ⋅ x \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{x} r i ⋅ x
( A x ) i = ∑ j = 1 n a i j x j = a i 1 x 1 + a i 2 x 2 + ⋯ + a i n x n . (A\mathbf{x})_i = \sum_{j=1}^n a_{ij}x_j = a_{i1}x_1 + a_{i2}x_2 + \cdots + a_{in}x_n. ( A x ) i = j = 1 ∑ n a ij x j = a i 1 x 1 + a i 2 x 2 + ⋯ + a in x n . 증명. A x = ∑ j x j a j A\mathbf{x} = \sum_j x_j\mathbf{a}_j A x = ∑ j x j a j i i i a j \mathbf{a}_j a j i i i a i j a_{ij} a ij x j x_j x j
예제 4.12.
[ 1 2 0 3 − 1 4 ] [ 2 1 − 1 ] = [ 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 1 + 0 ⋅ ( − 1 ) 3 ⋅ 2 + ( − 1 ) ⋅ 1 + 4 ⋅ ( − 1 ) ] = [ 4 1 ] . \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) \\ 3 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 + 4 \cdot (-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix}. [ 1 3 2 − 1 0 4 ] 2 1 − 1 = [ 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 1 + 0 ⋅ ( − 1 ) 3 ⋅ 2 + ( − 1 ) ⋅ 1 + 4 ⋅ ( − 1 ) ] = [ 4 1 ] . 2 × 3 2 \times 3 2 × 3 R 3 \mathbb{R}^3 R 3 R 2 \mathbb{R}^2 R 2
직관. 같은 곱을 두 가지로 읽습니다.
열 그림: A x A\mathbf{x} A x A A A
행 그림: A x A\mathbf{x} A x A A A x \mathbf{x} x
3.3절에서 연립방정식을 두 그림으로 본 것과 같은 이야기입니다.
▶ 문제 4.1–4.6
4.5 평면의 기본 변환들
그림 4.2. 단위정사각형(점선)이 각 행렬에 의해 옮겨진 모습(칠한 영역). 글자 F는 방향이 어떻게 바뀌는지 보여 줍니다.
각 행렬은 열에 T ( e 1 ) , T ( e 2 ) T(\mathbf{e}_1), T(\mathbf{e}_2) T ( e 1 ) , T ( e 2 ) e 1 \mathbf{e}_1 e 1 e 2 \mathbf{e}_2 e 2
행렬의 네 성분을 바꾸면 격자, 단위정사각형, 글자 F가 그 변환으로 옮겨집니다 이 위젯은 JavaScript가 필요합니다
예제 4.13 (회전). θ \theta θ R θ R_\theta R θ e 1 = ( 1 , 0 ) \mathbf{e}_1 = (1, 0) e 1 = ( 1 , 0 ) ( cos θ , sin θ ) (\cos\theta, \sin\theta) ( cos θ , sin θ ) e 2 = ( 0 , 1 ) \mathbf{e}_2 = (0, 1) e 2 = ( 0 , 1 ) e 1 \mathbf{e}_1 e 1 90 ∘ 90^\circ 9 0 ∘ ( cos ( θ + 90 ∘ ) , sin ( θ + 90 ∘ ) ) = ( − sin θ , cos θ ) (\cos(\theta + 90^\circ), \sin(\theta + 90^\circ)) = (-\sin\theta, \cos\theta) ( cos ( θ + 9 0 ∘ ) , sin ( θ + 9 0 ∘ )) = ( − sin θ , cos θ )
R θ = [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] . R_\theta = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}. R θ = [ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] . θ = 90 ∘ \theta = 90^\circ θ = 9 0 ∘
예제 4.14 (사영). R 2 \mathbb{R}^2 R 2 x x x ( x , y ) ↦ ( x , 0 ) (x, y) \mapsto (x, 0) ( x , y ) ↦ ( x , 0 ) e 1 ↦ e 1 \mathbf{e}_1 \mapsto \mathbf{e}_1 e 1 ↦ e 1 e 2 ↦ 0 \mathbf{e}_2 \mapsto \mathbf{0} e 2 ↦ 0 [ 1 0 0 0 ] \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} [ 1 0 0 0 ] ( x , 0 ) (x, 0) ( x , 0 ) y y y
정의 4.15 (항등행렬). x ↦ x \mathbf{x} \mapsto \mathbf{x} x ↦ x n × n n \times n n × n 항등행렬 (identity matrix)이라 하고 I I I I n I_n I n e 1 , … , e n \mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_n e 1 , … , e n
I 3 = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] . I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. I 3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . 모든 성분이 0인 행렬은 영행렬 (zero matrix)이라 하고 O O O 0 \mathbf{0} 0
정의 4.16 (정사각행렬, 대각행렬). n × n n \times n n × n 정사각행렬 (square matrix)이라 합니다. 정사각행렬에서 a 11 , a 22 , … , a n n a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{nn} a 11 , a 22 , … , a nn 대각성분 (diagonal entries)이라 하고, 대각성분이 아닌 성분이 모두 0인 행렬을 대각행렬 (diagonal matrix)이라 합니다.
대각행렬은 각 축 방향으로 따로따로 늘이거나 줄이는 변환입니다(그림 4.2(a)). 16장에서 보듯, 선형대수의 큰 목표 중 하나는 주어진 행렬을 “좋은 축”에서 보아 대각행렬로 만드는 것입니다.
▶ 문제 4.7–4.9
4.6 Ax = b: 연립방정식의 새 얼굴
3.3절에서 연립방정식은 “b \mathbf{b} b A A A
{ 2 c + d = 4 c + 2 d = 5 ⟺ [ 2 1 1 2 ] [ c d ] = [ 4 5 ] ⟺ A x = b . \begin{cases} 2c + d = 4 \\ c + 2d = 5 \end{cases} \iff \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \end{bmatrix} \iff A\mathbf{x} = \mathbf{b}. { 2 c + d = 4 c + 2 d = 5 ⟺ [ 2 1 1 2 ] [ c d ] = [ 4 5 ] ⟺ A x = b . 식 m m m n n n A x = b A\mathbf{x} = \mathbf{b} A x = b A A A x \mathbf{x} x b \mathbf{b} b
이 식을 세 가지로 읽을 수 있습니다.
행 그림: 방정식 하나하나(r i ⋅ x = b i \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{x} = b_i r i ⋅ x = b i
열 그림: A A A b \mathbf{b} b
변환 그림: 변환 A A A b \mathbf{b} b x \mathbf{x} x
변환 그림에서 보면 해의 존재와 개수가 다음 질문이 됩니다.
해가 있을까요? ⟺ \iff ⟺ b \mathbf{b} b
해가 하나뿐일까요? ⟺ \iff ⟺ b \mathbf{b} b
0장의 말로 하면 “모든 b \mathbf{b} b A A A A A A A A A A A A
예제 4.17. P = [ 1 0 0 0 ] P = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} P = [ 1 0 0 0 ] x x x P x = ( 3 , 0 ) P\mathbf{x} = (3, 0) P x = ( 3 , 0 ) ( 3 , t ) (3, t) ( 3 , t ) P x = ( 3 , 1 ) P\mathbf{x} = (3, 1) P x = ( 3 , 1 ) x x x
▶ 문제 4.10–4.12
쓰이는 곳. 신경망의 한 층은 행렬곱 W x Wx W x W ∈ R m × n W \in \mathbb{R}^{m \times n} W ∈ R m × n n n n m m m
이 장의 요약
선형변환은 T ( c v + d w ) = c T ( v ) + d T ( w ) T(c\mathbf{v} + d\mathbf{w}) = cT(\mathbf{v}) + dT(\mathbf{w}) T ( c v + d w ) = c T ( v ) + d T ( w )
선형변환은 T ( e 1 ) , … , T ( e n ) T(\mathbf{e}_1), \ldots, T(\mathbf{e}_n) T ( e 1 ) , … , T ( e n )
A x = x 1 a 1 + ⋯ + x n a n A\mathbf{x} = x_1\mathbf{a}_1 + \cdots + x_n\mathbf{a}_n A x = x 1 a 1 + ⋯ + x n a n ( A x ) i = ∑ j a i j x j (A\mathbf{x})_i = \sum_j a_{ij}x_j ( A x ) i = ∑ j a ij x j 회전 R θ = [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] R_\theta = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} R θ = [ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] e 1 \mathbf{e}_1 e 1 e 2 \mathbf{e}_2 e 2
연립방정식은 A x = b A\mathbf{x} = \mathbf{b} A x = b A A A b \mathbf{b} b
문제
4.1 [계산] · 확인 문제
다음 변환이 선형인지 판정합니다. 선형이면 O, 아니면 X를 적습니다. 선형이 아니면 정의의 어느 조건이 깨지는지 구체적인 벡터로 보입니다.
변환
선형인가
(a) T : R 2 → R 2 T : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 T : R 2 → R 2 T ( x , y ) = ( 3 x − y , x ) T(x, y) = (3x - y, x) T ( x , y ) = ( 3 x − y , x )
[?]
(b) T : R 2 → R 2 T : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 T : R 2 → R 2 T ( x , y ) = ( x + y , 1 ) T(x, y) = (x + y, 1) T ( x , y ) = ( x + y , 1 )
[?]
(c) T : R 2 → R 2 T : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 T : R 2 → R 2 T ( x , y ) = ( x y , 0 ) T(x, y) = (xy, 0) T ( x , y ) = ( x y , 0 )
[?]
(d) T : R 3 → R 2 T : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 T : R 3 → R 2 T ( x , y , z ) = ( x − z , 2 y ) T(x, y, z) = (x - z, 2y) T ( x , y , z ) = ( x − z , 2 y )
[?]
(e) T : R → R T : \mathbb{R} \to \mathbb{R} T : R → R T ( x ) = ∣ x ∣ T(x) = \lvert x \rvert T ( x ) = ∣ x ∣
[?]
정답 풀이 (a) 선형. 표준행렬 [ 3 − 1 1 0 ] \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} [ 3 1 − 1 0 ]
(b) 선형 아님. T ( 0 , 0 ) = ( 0 , 1 ) ≠ 0 T(0, 0) = (0, 1) \ne \mathbf{0} T ( 0 , 0 ) = ( 0 , 1 ) = 0
(c) 선형 아님. T ( 1 , 1 ) = ( 1 , 0 ) T(1, 1) = (1, 0) T ( 1 , 1 ) = ( 1 , 0 ) T ( 2 , 2 ) = ( 4 , 0 ) ≠ 2 T ( 1 , 1 ) T(2, 2) = (4, 0) \ne 2T(1, 1) T ( 2 , 2 ) = ( 4 , 0 ) = 2 T ( 1 , 1 )
(d) 선형. 표준행렬 [ 1 0 − 1 0 2 0 ] \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix} [ 1 0 0 2 − 1 0 ]
(e) 선형 아님. T ( − 1 ) = 1 ≠ − 1 = ( − 1 ) T ( 1 ) T(-1) = 1 \ne -1 = (-1)T(1) T ( − 1 ) = 1 = − 1 = ( − 1 ) T ( 1 )
4.2 [계산] · 확인 문제
선형변환 T : R 2 → R 3 T : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 T : R 2 → R 3 T ( e 1 ) = ( 1 , 2 , 0 ) T(\mathbf{e}_1) = (1, 2, 0) T ( e 1 ) = ( 1 , 2 , 0 ) T ( e 2 ) = ( − 1 , 0 , 3 ) T(\mathbf{e}_2) = (-1, 0, 3) T ( e 2 ) = ( − 1 , 0 , 3 ) T ( 2 , − 3 ) T(2, -3) T ( 2 , − 3 ) T ( x , y ) T(x, y) T ( x , y ) x x x y y y T T T
첫째
둘째
셋째
T ( 2 , − 3 ) T(2, -3) T ( 2 , − 3 ) [?]
[?]
[?]
정답 풀이 (a) T ( 2 , − 3 ) = 2 ( 1 , 2 , 0 ) − 3 ( − 1 , 0 , 3 ) = ( 5 , 4 , − 9 ) T(2, -3) = 2(1, 2, 0) - 3(-1, 0, 3) = (5, 4, -9) T ( 2 , − 3 ) = 2 ( 1 , 2 , 0 ) − 3 ( − 1 , 0 , 3 ) = ( 5 , 4 , − 9 )
(b) T ( x , y ) = x ( 1 , 2 , 0 ) + y ( − 1 , 0 , 3 ) = ( x − y , 2 x , 3 y ) T(x, y) = x(1, 2, 0) + y(-1, 0, 3) = (x - y, 2x, 3y) T ( x , y ) = x ( 1 , 2 , 0 ) + y ( − 1 , 0 , 3 ) = ( x − y , 2 x , 3 y )
(c) [ 1 − 1 2 0 0 3 ] \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} 1 2 0 − 1 0 3 3 × 2 3 \times 2 3 × 2 R 2 \mathbb{R}^2 R 2 R 3 \mathbb{R}^3 R 3
4.3 [계산] · 확인 문제
곱을 계산합니다. 정의되지 않으면 이유를 말합니다.
(a) [ 1 2 3 4 ] [ 5 6 ] (b) [ 2 0 − 1 1 3 2 ] [ 1 − 1 2 ] (c) [ 1 0 0 1 2 − 1 ] [ 3 4 ] (d) [ 1 2 3 4 ] [ 1 0 1 ] \text{(a)}\ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix} \qquad \text{(b)}\ \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 1 & 3 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} \qquad \text{(c)}\ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} \qquad \text{(d)}\ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} (a) [ 1 3 2 4 ] [ 5 6 ] (b) [ 2 1 0 3 − 1 2 ] 1 − 1 2 (c) 1 0 2 0 1 − 1 [ 3 4 ] (d) [ 1 3 2 4 ] 1 0 1 표에는 (a)–(c)의 성분을 적고, (d)는 풀이에서 확인합니다.
첫째
둘째
셋째
(a)
[?]
[?]
없음
(b)
[?]
[?]
없음
(c)
[?]
[?]
[?]
정답 풀이 (a) ( 5 + 12 , 15 + 24 ) = ( 17 , 39 ) (5 + 12, 15 + 24) = (17, 39) ( 5 + 12 , 15 + 24 ) = ( 17 , 39 )
(b) ( 2 + 0 − 2 , 1 − 3 + 4 ) = ( 0 , 2 ) (2 + 0 - 2, 1 - 3 + 4) = (0, 2) ( 2 + 0 − 2 , 1 − 3 + 4 ) = ( 0 , 2 )
(c) ( 3 , 4 , 6 − 4 ) = ( 3 , 4 , 2 ) (3, 4, 6 - 4) = (3, 4, 2) ( 3 , 4 , 6 − 4 ) = ( 3 , 4 , 2 )
(d) 정의되지 않습니다. A A A
4.4 [계산] · 확인 문제
[ 3 1 − 2 4 ] [ 2 − 1 ] \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} [ 3 − 2 1 4 ] [ 2 − 1 ]
정답 풀이 열 그림: 2 ( 3 , − 2 ) + ( − 1 ) ( 1 , 4 ) = ( 5 , − 8 ) 2(3, -2) + (-1)(1, 4) = (5, -8) 2 ( 3 , − 2 ) + ( − 1 ) ( 1 , 4 ) = ( 5 , − 8 ) ( 3 ⋅ 2 + 1 ⋅ ( − 1 ) , − 2 ⋅ 2 + 4 ⋅ ( − 1 ) ) = ( 5 , − 8 ) (3 \cdot 2 + 1 \cdot (-1),\ -2 \cdot 2 + 4 \cdot (-1)) = (5, -8) ( 3 ⋅ 2 + 1 ⋅ ( − 1 ) , − 2 ⋅ 2 + 4 ⋅ ( − 1 )) = ( 5 , − 8 )
4.5 [증명]
T T T T ( v − w ) = T ( v ) − T ( w ) T(\mathbf{v} - \mathbf{w}) = T(\mathbf{v}) - T(\mathbf{w}) T ( v − w ) = T ( v ) − T ( w ) T ( − v ) = − T ( v ) T(-\mathbf{v}) = -T(\mathbf{v}) T ( − v ) = − T ( v )
풀이 T ( v − w ) = T ( v + ( − 1 ) w ) = T ( v ) + ( − 1 ) T ( w ) = T ( v ) − T ( w ) T(\mathbf{v} - \mathbf{w}) = T(\mathbf{v} + (-1)\mathbf{w}) = T(\mathbf{v}) + (-1)T(\mathbf{w}) = T(\mathbf{v}) - T(\mathbf{w}) T ( v − w ) = T ( v + ( − 1 ) w ) = T ( v ) + ( − 1 ) T ( w ) = T ( v ) − T ( w ) T ( − v ) = T ( ( − 1 ) v ) = − T ( v ) T(-\mathbf{v}) = T((-1)\mathbf{v}) = -T(\mathbf{v}) T ( − v ) = T (( − 1 ) v ) = − T ( v )
4.6 [증명]
실수 a , b , c , d a, b, c, d a , b , c , d T ( x , y ) = ( a x + b y , c x + d y ) T(x, y) = (ax + by, cx + dy) T ( x , y ) = ( a x + b y , c x + d y ) 정의 4.1 에서 직접 보입니다. 행렬을 쓰지 말고 성분으로 계산합니다.
풀이 v = ( x , y ) \mathbf{v} = (x, y) v = ( x , y ) w = ( x ′ , y ′ ) \mathbf{w} = (x', y') w = ( x ′ , y ′ )
T ( v + w ) = ( a ( x + x ′ ) + b ( y + y ′ ) , c ( x + x ′ ) + d ( y + y ′ ) ) = ( a x + b y , c x + d y ) + ( a x ′ + b y ′ , c x ′ + d y ′ ) . T(\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \big(a(x + x') + b(y + y'),\ c(x + x') + d(y + y')\big) = (ax + by, cx + dy) + (ax' + by', cx' + dy'). T ( v + w ) = ( a ( x + x ′ ) + b ( y + y ′ ) , c ( x + x ′ ) + d ( y + y ′ ) ) = ( a x + b y , c x + d y ) + ( a x ′ + b y ′ , c x ′ + d y ′ ) . T ( k v ) = ( a k x + b k y , c k x + d k y ) = k ( a x + b y , c x + d y ) T(k\mathbf{v}) = (akx + bky, ckx + dky) = k(ax + by, cx + dy) T ( k v ) = ( ak x + bk y , c k x + d k y ) = k ( a x + b y , c x + d y )
4.7 [계산] · 확인 문제
다음 선형변환의 표준행렬을 구합니다. 각각 “e 1 \mathbf{e}_1 e 1 e 2 \mathbf{e}_2 e 2 45 ∘ 45^\circ 4 5 ∘ y = x y = x y = x y y y y = x y = x y = x R 3 \mathbb{R}^3 R 3 z z z 90 ∘ 90^\circ 9 0 ∘ z z z
a 11 a_{11} a 11 a 12 a_{12} a 12 a 21 a_{21} a 21 a 22 a_{22} a 22
(a)
[?]
[?]
[?]
[?]
(b)
[?]
[?]
[?]
[?]
(c)
[?]
[?]
[?]
[?]
(d)
[?]
[?]
[?]
[?]
정답 0.707
-0.707
0.707
0.707
0
1
1
0
-1
0
0
1
0.5
0.5
0.5
0.5
풀이 (a) 1 2 [ 1 − 1 1 1 ] \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} 2 1 [ 1 1 − 1 1 ] [ 0 1 1 0 ] \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} [ 0 1 1 0 ] e 1 ↔ e 2 \mathbf{e}_1 \leftrightarrow \mathbf{e}_2 e 1 ↔ e 2 [ − 1 0 0 1 ] \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} [ − 1 0 0 1 ]
(d) e 1 \mathbf{e}_1 e 1 e 2 \mathbf{e}_2 e 2 ( 1 2 , 1 2 ) (\tfrac12, \tfrac12) ( 2 1 , 2 1 ) [ 1 2 1 2 1 2 1 2 ] \begin{bmatrix} \frac12 & \frac12 \\ \frac12 & \frac12 \end{bmatrix} [ 2 1 2 1 2 1 2 1 ]
(e) e 1 ↦ e 2 \mathbf{e}_1 \mapsto \mathbf{e}_2 e 1 ↦ e 2 e 2 ↦ − e 1 \mathbf{e}_2 \mapsto -\mathbf{e}_1 e 2 ↦ − e 1 e 3 ↦ e 3 \mathbf{e}_3 \mapsto \mathbf{e}_3 e 3 ↦ e 3 [ 0 − 1 0 1 0 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} 0 1 0 − 1 0 0 0 0 1
4.8 [계산]
단위정사각형(꼭짓점 ( 0 , 0 ) , ( 1 , 0 ) , ( 1 , 1 ) , ( 0 , 1 ) (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1) ( 0 , 0 ) , ( 1 , 0 ) , ( 1 , 1 ) , ( 0 , 1 ) [ 2 1 1 1 ] \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} [ 2 1 1 1 ] [ 1 − 1 2 − 2 ] \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} [ 1 2 − 1 − 2 ]
풀이 (a) ( 0 , 0 ) , ( 2 , 1 ) , ( 3 , 2 ) , ( 1 , 1 ) (0, 0), (2, 1), (3, 2), (1, 1) ( 0 , 0 ) , ( 2 , 1 ) , ( 3 , 2 ) , ( 1 , 1 )
(b) ( 0 , 0 ) , ( 1 , 2 ) , ( 0 , 0 ) , ( − 1 , − 2 ) (0, 0), (1, 2), (0, 0), (-1, -2) ( 0 , 0 ) , ( 1 , 2 ) , ( 0 , 0 ) , ( − 1 , − 2 ) ( 1 , 2 ) , ( − 1 , − 2 ) (1, 2), (-1, -2) ( 1 , 2 ) , ( − 1 , − 2 ) ( − 1 , − 2 ) (-1, -2) ( − 1 , − 2 ) ( 1 , 2 ) (1, 2) ( 1 , 2 ) − 1 -1 − 1
4.9 [증명]
회전행렬 R θ R_\theta R θ x ∈ R 2 \mathbf{x} \in \mathbb{R}^2 x ∈ R 2 ∥ R θ x ∥ = ∥ x ∥ \lVert R_\theta\mathbf{x} \rVert = \lVert \mathbf{x} \rVert ∥ R θ x ∥ = ∥ x ∥
풀이 R θ x = ( x cos θ − y sin θ , x sin θ + y cos θ ) R_\theta\mathbf{x} = (x\cos\theta - y\sin\theta,\ x\sin\theta + y\cos\theta) R θ x = ( x cos θ − y sin θ , x sin θ + y cos θ )
∥ R θ x ∥ 2 = x 2 cos 2 θ − 2 x y cos θ sin θ + y 2 sin 2 θ + x 2 sin 2 θ + 2 x y sin θ cos θ + y 2 cos 2 θ = x 2 + y 2 . \lVert R_\theta\mathbf{x} \rVert^2 = x^2\cos^2\theta - 2xy\cos\theta\sin\theta + y^2\sin^2\theta + x^2\sin^2\theta + 2xy\sin\theta\cos\theta + y^2\cos^2\theta = x^2 + y^2. ∥ R θ x ∥ 2 = x 2 cos 2 θ − 2 x y cos θ sin θ + y 2 sin 2 θ + x 2 sin 2 θ + 2 x y sin θ cos θ + y 2 cos 2 θ = x 2 + y 2 . 4.10 [계산]
(a) 다음 연립방정식을 A x = b A\mathbf{x} = \mathbf{b} A x = b
x + 2 y − z = 3 , 2 x − y = 0 , 3 y + 4 z = − 1 x + 2y - z = 3, \qquad 2x - y = 0, \qquad 3y + 4z = -1 x + 2 y − z = 3 , 2 x − y = 0 , 3 y + 4 z = − 1 (b) A = [ 1 0 2 − 1 3 1 ] A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \end{bmatrix} A = [ 1 − 1 0 3 2 1 ] b = ( 5 , 0 ) \mathbf{b} = (5, 0) b = ( 5 , 0 ) A x = b A\mathbf{x} = \mathbf{b} A x = b
풀이 (a)
[ 1 2 − 1 2 − 1 0 0 3 4 ] [ x y z ] = [ 3 0 − 1 ] . \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}. 1 2 0 2 − 1 3 − 1 0 4 x y z = 3 0 − 1 . (b) x 1 + 2 x 3 = 5 x_1 + 2x_3 = 5 x 1 + 2 x 3 = 5 − x 1 + 3 x 2 + x 3 = 0 -x_1 + 3x_2 + x_3 = 0 − x 1 + 3 x 2 + x 3 = 0
4.11 [계산]
A = [ 1 2 2 4 ] A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} A = [ 1 2 2 4 ] A x A\mathbf{x} A x A x = ( 3 , 6 ) A\mathbf{x} = (3, 6) A x = ( 3 , 6 ) A x = ( 1 , 0 ) A\mathbf{x} = (1, 0) A x = ( 1 , 0 )
풀이 (a) A x = x ( 1 , 2 ) + y ( 2 , 4 ) = ( x + 2 y ) ( 1 , 2 ) A\mathbf{x} = x(1, 2) + y(2, 4) = (x + 2y)(1, 2) A x = x ( 1 , 2 ) + y ( 2 , 4 ) = ( x + 2 y ) ( 1 , 2 ) { t ( 1 , 2 ) : t ∈ R } \{t(1, 2) : t \in \mathbb{R}\} { t ( 1 , 2 ) : t ∈ R } y = 2 x y = 2x y = 2 x
(b) x + 2 y = 3 x + 2y = 3 x + 2 y = 3 x = ( 3 − 2 t , t ) \mathbf{x} = (3 - 2t, t) x = ( 3 − 2 t , t ) t ∈ R t \in \mathbb{R} t ∈ R
(c) ( 1 , 0 ) (1, 0) ( 1 , 0 ) y = 2 x y = 2x y = 2 x x + 2 y = 1 x + 2y = 1 x + 2 y = 1 2 x + 4 y = 0 2x + 4y = 0 2 x + 4 y = 0 2 = 0 2 = 0 2 = 0
4.12 [도전]
선형변환 T : R n → R m T : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m T : R n → R m T T T T ( x ) = 0 T(\mathbf{x}) = \mathbf{0} T ( x ) = 0 x = 0 \mathbf{x} = \mathbf{0} x = 0 { 0 } \{\mathbf{0}\} { 0 }
풀이 (i)⇒(ii): T ( 0 ) = 0 T(\mathbf{0}) = \mathbf{0} T ( 0 ) = 0 정리 4.2 )이므로 T ( x ) = 0 = T ( 0 ) T(\mathbf{x}) = \mathbf{0} = T(\mathbf{0}) T ( x ) = 0 = T ( 0 ) x = 0 \mathbf{x} = \mathbf{0} x = 0
(ii)⇒(i): T ( v ) = T ( w ) T(\mathbf{v}) = T(\mathbf{w}) T ( v ) = T ( w ) T ( v − w ) = 0 T(\mathbf{v} - \mathbf{w}) = \mathbf{0} T ( v − w ) = 0 v − w = 0 \mathbf{v} - \mathbf{w} = \mathbf{0} v − w = 0
![다섯 그림. 점선 단위정사각형과, 각 행렬로 옮긴 상을 칠해 그렸습니다. (a) 늘이기 [2 0; 0 1]은 가로로 두 배, (b) 90도 회전 [0 −1; 1 0], (c) x축 반사 [1 0; 0 −1]은 아래로 뒤집힘, (d) 층밀림 [1 1; 0 1]은 평행사변형, (e) x축 사영 [1 0; 0 0]은 선분으로 납작해짐. 글자 F의 방향이 함께 바뀝니다.](/figures/math/la-04-fig2.svg)