17장. 대칭행렬과 양정치 행렬

요약

대칭행렬의 실수 고윳값과 수직인 고유벡터, 스펙트럴 정리와 스펙트럴 분해, 양정치 행렬의 다섯 가지 판정법, 숄레스키 분해, 이차형식과 주축 정리

대칭행렬(전치해도 같은 행렬)은 고윳값이 모두 실수이고, 고유벡터를 서로 수직으로 고를 수 있다는 아름다운 성질이 있습니다. 이 장에서는 이 성질(스펙트럼 정리)과, 모든 고윳값이 양수인 양정치 행렬을 다룹니다. 공분산 행렬, 최적화의 이계도함수(헤세 행렬), 물리의 관성 텐서가 모두 대칭행렬입니다.

17.1 가장 중요한 행렬

질문. $A^TA$ (최소제곱), 자료의 공분산 행렬, 용수철 계의 강성행렬, 다변수 함수의 이계도함수 행렬은 모두 대칭입니다. 대칭행렬은 고윳값과 고유벡터에서 어떤 특별한 성질을 가질까요?

16장에서 일반적인 행렬은 고윳값이 복소수일 수 있고, 고유벡터가 모자라 대각화가 안 될 수도 있었습니다. 대칭행렬에서는 이런 문제가 모두 사라집니다. 고윳값은 실수이고, 고유벡터는 언제나 충분하며, 게다가 서로 수직으로 고를 수 있습니다. 예제 16.3에서 이미 그것을 보았습니다. 이 장의 중심은 이 사실, 스펙트럴 정리입니다.

이 장에서 $S$ 는 언제나 실수 대칭행렬( $S^T = S$ )입니다.

17.2 실수 고윳값

정리 17.1 (대칭행렬의 고윳값은 실수입니다). 실수 대칭행렬의 고윳값은 모두 실수입니다.

증명. $S\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}$ ( $\lambda \in \mathbb{C}$ , $\mathbf{x} \in \mathbb{C}^n$ , $\mathbf{x} \ne \mathbf{0}$ )라 합시다. 켤레를 취하면 $S$ 가 실수이므로 $S\bar{\mathbf{x}} = \bar\lambda\bar{\mathbf{x}}$ . 수 $\bar{\mathbf{x}}^TS\mathbf{x}$ 를 두 가지로 계산합니다.

\bar{\mathbf{x}}^T(S\mathbf{x}) = \lambda\,\bar{\mathbf{x}}^T\mathbf{x}, \qquad \bar{\mathbf{x}}^TS\mathbf{x} = (S^T\bar{\mathbf{x}})^T\mathbf{x} = (S\bar{\mathbf{x}})^T\mathbf{x} = \bar\lambda\,\bar{\mathbf{x}}^T\mathbf{x}.

둘째 계산에서 $S^T = S$ 를 썼습니다. $\bar{\mathbf{x}}^T\mathbf{x} = \sum \lvert x_i \rvert^2 > 0$ 이므로 $\lambda = \bar\lambda$ , 즉 $\lambda$ 는 실수입니다. ■

고윳값이 실수이면 $S - \lambda I$ 도 실수 행렬이므로 고유벡터도 실수로 고를 수 있습니다.

17.3 수직인 고유벡터

정리 17.2 (대칭행렬의 고유벡터는 수직입니다). 대칭행렬의 서로 다른 고윳값에 대응하는 고유벡터는 서로 수직입니다.

증명. $S\mathbf{x} = \lambda_1\mathbf{x}$ , $S\mathbf{y} = \lambda_2\mathbf{y}$ , $\lambda_1 \ne \lambda_2$ 라 합시다. 정리 5.13(3)과 $S^T = S$ 에 의해

\lambda_1\mathbf{x}^T\mathbf{y} = (S\mathbf{x})^T\mathbf{y} = \mathbf{x}^TS^T\mathbf{y} = \mathbf{x}^T(S\mathbf{y}) = \lambda_2\mathbf{x}^T\mathbf{y}.

$(\lambda_1 - \lambda_2)\mathbf{x}^T\mathbf{y} = 0$ 이고 $\lambda_1 \ne \lambda_2$ 이므로 $\mathbf{x}^T\mathbf{y} = 0$ . ■

두 증명 모두 “ $S$ 를 내적의 왼쪽에서 오른쪽으로 옮길 수 있습니다”는 한 가지 성질만 썼습니다. 25–26장에서 이 성질을 가진 연산자를 자기수반이라 부르고, 같은 증명을 그대로 씁니다.

17.4 스펙트럴 정리

정리 17.3 (스펙트럴 정리). 모든 실수 대칭행렬 $S$ 는

S = Q\Lambda Q^T

로 쓸 수 있습니다. $Q$ 는 직교행렬(열이 정규직교인 고유벡터), $\Lambda$ 는 실수 고윳값의 대각행렬입니다.

고윳값이 모두 다르면 정리 17.2로 고유벡터가 수직이고, 정규화하면 끝입니다. 고윳값이 겹칠 때도 성립한다는 것이 이 정리의 핵심입니다. 중근의 고유공간 안에서는 그람–슈미트로 수직인 고유벡터를 고를 수 있는데, 문제는 고유벡터가 충분히 있는가입니다. 다음 증명은 그것을 보장합니다.

증명. $n$ 에 대한 귀납법. $n = 1$ 이면 $S$ 는 수 하나이고 $Q = [1]$ 로 두면 되므로 성립합니다. 정리 17.1에 의해 $S$ 는 실수 고윳값 $\lambda_1$ 과 단위 고유벡터 $\mathbf{q}_1 \in \mathbb{R}^n$ 을 갖습니다. $\mathbf{q}_1$ 을 정규직교 기저 $\mathbf{q}_1, \mathbf{w}_2, \ldots, \mathbf{w}_n$ 으로 확장하고(문제 12.10과 그람–슈미트), $Q_1 = \begin{bmatrix} \mathbf{q}_1 & W \end{bmatrix}$ 라 합시다. 그러면

Q_1^TSQ_1 = \begin{bmatrix} \mathbf{q}_1^TS\mathbf{q}_1 & \mathbf{q}_1^TSW \\ W^TS\mathbf{q}_1 & W^TSW \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda_1 & \mathbf{0}^T \\ \mathbf{0} & S' \end{bmatrix}.

왼쪽 아래 $W^TS\mathbf{q}_1 = \lambda_1W^T\mathbf{q}_1 = \mathbf{0}$ ( $W$ 의 열은 $\mathbf{q}_1$ 에 수직), 오른쪽 위는 그 전치( $S$ 대칭)입니다. $S' = W^TSW$ 는 $(n - 1) \times (n - 1)$ 대칭행렬이므로 귀납 가정에 의해 $S' = Q'\Lambda'Q'^T$ . 그러면 $Q = Q_1\begin{bmatrix} 1 & \mathbf{0}^T \\ \mathbf{0} & Q' \end{bmatrix}$ 는 직교행렬(직교행렬의 곱)이고 $Q^TSQ = \operatorname{diag}(\lambda_1, \Lambda')$ 입니다. ■

증명의 아이디어: 고유벡터 하나를 찾으면, 그것에 수직인 부분공간이 $S$ 에 의해 그 안으로 보내집니다( $W^TS\mathbf{q}_1 = \mathbf{0}$ ). 그래서 문제가 한 차원 작아집니다. 대칭이 아니면 이 단계가 실패합니다(오른쪽 위 블록이 0이 되지 않습니다). 그 경우에는 위삼각까지만 갈 수 있으며, 이것이 26장의 슈어 정리입니다.

17.4.1 스펙트럴 분해

$S = Q\Lambda Q^T$ 를 열×행의 합(정리 5.5(4))으로 쓰면

S = \lambda_1\mathbf{q}_1\mathbf{q}_1^T + \lambda_2\mathbf{q}_2\mathbf{q}_2^T + \cdots + \lambda_n\mathbf{q}_n\mathbf{q}_n^T.

각 $\mathbf{q}_i\mathbf{q}_i^T$ 는 $\mathbf{q}_i$ 방향 직선 위로의 사영행렬입니다(13.4절). 따라서

모든 대칭행렬은 서로 수직인 직선 위로의 사영들에 고윳값을 곱해 더한 것입니다.

예제 17.4. $S = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ : $\lambda = 3$ , $\mathbf{q}_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1, 1)$ ; $\lambda = 1$ , $\mathbf{q}_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1, -1)$ .

\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = 3 \cdot \frac12\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} + 1 \cdot \frac12\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}.

$\mathbf{x}$ 를 $(1, 1)$ 방향 성분과 $(1, -1)$ 방향 성분으로 나눠, 앞의 것을 3배, 뒤의 것을 1배 한 것이 $S\mathbf{x}$ 입니다.

▶ 문제 17.1–17.5

17.5 양정치 행렬

정의 17.5 (양정치). 대칭행렬 $S$ 가 모든 $\mathbf{x} \ne \mathbf{0}$ 에 대해

\mathbf{x}^TS\mathbf{x} > 0

이면 $S$ 를 양정치(positive definite)라 합니다. $\ge 0$ 이면 양반정치(positive semidefinite)라 합니다.

$\mathbf{x}^TS\mathbf{x} = \sum_{i,j} s_{ij}x_ix_j$ 를 $\mathbf{x}$ 의 이차형식(quadratic form)이라 합니다. $2 \times 2$ 에서는

\mathbf{x}^T\begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix}\mathbf{x} = ax^2 + 2bxy + cy^2.

양정치란 이 식이 원점 외에서 언제나 양수, 즉 그래프가 위로 볼록한 그릇 모양이라는 뜻입니다.

정리 17.6 (양정치의 판정). 대칭행렬 $S$ 에 대해 다음은 동치입니다.

$S$ 는 양정치입니다.
모든 고윳값이 양수입니다.
(행 교환 없는) 소거의 피벗이 모두 양수입니다.
왼쪽 위 $k \times k$ 부분행렬들의 행렬식(선행 주소행렬식(leading principal minors))이 모두 양수입니다.
열이 독립인 어떤 $A$ 에 대해 $S = A^TA$ 입니다.

증명. (1)⇒(2): $S\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}$ 이면 $0 < \mathbf{x}^TS\mathbf{x} = \lambda\lVert \mathbf{x} \rVert^2$ .

(2)⇒(1): $S = Q\Lambda Q^T$ , $\mathbf{y} = Q^T\mathbf{x}$ 로 두면 $\mathbf{x}^TS\mathbf{x} = \mathbf{y}^T\Lambda\mathbf{y} = \sum\lambda_iy_i^2$ . $\mathbf{x} \ne \mathbf{0}$ 이면 $\mathbf{y} \ne \mathbf{0}$ 이므로 양수.

(1)⇒(5): (2)에서 $\lambda_i > 0$ 이므로 $A = \sqrt\Lambda\,Q^T$ 로 두면 $A^TA = Q\Lambda Q^T = S$ 이고 $A$ 는 가역입니다.

(5)⇒(1): $\mathbf{x}^TA^TA\mathbf{x} = \lVert A\mathbf{x} \rVert^2 \ge 0$ 이고, 열이 독립이므로 $\mathbf{x} \ne \mathbf{0}$ 이면 $A\mathbf{x} \ne \mathbf{0}$ 이어서 양수입니다.

(3) $\iff$ (4): 행 교환 없이 소거하면 왼쪽 위 $k \times k$ 부분행렬도 처음 $k$ 개 피벗으로 소거되므로, 그 행렬식은 $d_1d_2 \cdots d_k$ 입니다. 따라서 $d_k = D_k/D_{k-1}$ ( $D_k$ 는 $k$ 번째 선행 주소행렬식, $D_0 = 1$ ). 모든 $D_k > 0$ $\iff$ 모든 $d_k > 0$ .

(3) $\iff$ (1): 피벗이 모두 0이 아니면 $S = LDL^T$ (9.6절)이고, $\mathbf{y} = L^T\mathbf{x}$ 로 두면 $\mathbf{x}^TS\mathbf{x} = \mathbf{y}^TD\mathbf{y} = \sum d_iy_i^2$ . $L^T$ 가 가역이므로 (1) $\iff$ 모든 $d_i > 0$ . 반대로 (1)이면 각 왼쪽 위 부분행렬도 양정치(그 부분의 $\mathbf{x}$ 만 쓰면 됩니다)이므로 가역이고, 따라서 소거 중에 피벗 0이 나오지 않습니다. ■

예제 17.7. $K = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{bmatrix}$ .

피벗: $2, \frac32, \frac43$ (예제 9.5). 모두 양수.
선행 주소행렬식: $2, 3, 4$ . 모두 양수. 피벗 $= \frac21, \frac32, \frac43$ (비율).
고윳값: $2 - \sqrt2$ , $2$ , $2 + \sqrt2$ . 모두 양수.
$\mathbf{x}^TK\mathbf{x} = 2x_1^2 + 2x_2^2 + 2x_3^2 - 2x_1x_2 - 2x_2x_3 = x_1^2 + (x_1 - x_2)^2 + (x_2 - x_3)^2 + x_3^2 > 0$ .

네 판정이 모두 양정치라고 답합니다.

예제 17.8. $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ : 행렬식 $-3 < 0$ 이므로 양정치가 아닙니다. 고윳값 $3, -1$ . $\mathbf{x} = (1, -1)$ 이면 $\mathbf{x}^TS\mathbf{x} = 1 - 4 + 1 = -2$ . 대각성분이 모두 양수여도 양정치가 아닐 수 있습니다.

판정 (3)과 (5)를 합치면 $S = LDL^T = (L\sqrt{D})(L\sqrt{D})^T$ 입니다. 이것을 숄레스키 분해(Cholesky decomposition)라 하며, 양정치 행렬의 연립방정식을 푸는 가장 빠른 방법입니다.

▶ 문제 17.6–17.9

17.6 이차형식의 그림

$xy 평면에 기울어진 타원 5x² + 8xy + 5y² = 1을 그렸습니다. 두 점선은 고유벡터 방향으로, y = x 방향(λ = 9)으로는 반지름 1/3, y = −x 방향(λ = 1)으로는 반지름 1입니다.$

그림 17.1. $5x^2 + 8xy + 5y^2 = 1$ . $S = \begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}$ 의 고윳값은 9, 1이고 고유벡터는 $(1, 1)$ , $(1, -1)$ 입니다. 타원의 축은 고유벡터 방향이고 반지름은 $1/\sqrt\lambda$ 입니다.

양정치 $S$ 에 대해 $\mathbf{x}^TS\mathbf{x} = 1$ 은 어떤 곡선(곡면)일까요? $\mathbf{y} = Q^T\mathbf{x}$ (고유벡터 좌표)로 바꾸면

\lambda_1y_1^2 + \lambda_2y_2^2 + \cdots + \lambda_ny_n^2 = 1.

축이 고유벡터 방향이고 반지름이 $1/\sqrt{\lambda_i}$ 인 타원(타원면)입니다. 고윳값이 클수록 그 방향으로 짧습니다. 그 방향으로 이차형식이 빨리 커지기 때문입니다.

예제 17.9. $5x^2 + 8xy + 5y^2 = 1$ (그림 17.1). $xy$ 항 때문에 타원이 기울어져 있습니다. $S = \begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}$ 의 고윳값 9, 1, 고유벡터 $(1, 1)$ , $(1, -1)$ 이므로, $(1, 1)$ 방향 반지름 $\frac13$ , $(1, -1)$ 방향 반지름 1입니다. 고유벡터 좌표로 바꾸는 것은 “기울어진 타원을 똑바로 세워 보는 것”이고, 그러면 $xy$ 항이 사라집니다. 이것을 주축 정리(principal axis theorem)라 합니다.

고윳값의 부호에 따라 모양이 바뀝니다.

모두 양수: 타원(그릇 모양의 최솟값).
양수와 음수가 섞임: 쌍곡선(말안장 모양).
0이 있음: 평행한 직선이나 평면처럼 퇴화된 모양.

직관 (†). 다변수 미적분에서 함수 $f(x, y)$ 의 임계점이 최솟값인지 판정할 때, 이계도함수들로 된 대칭행렬(헤세 행렬)이 양정치인지 봅니다. 그 근처에서 $f$ 가 이차형식 $\frac12\mathbf{x}^TH\mathbf{x}$ 처럼 생겼기 때문입니다. 미적분을 배운 뒤에 다시 봅시다.

▶ 문제 17.10–17.11

쓰이는 곳. 공분산 행렬은 대칭·양반정치이고, 손실 함수의 헤세 행렬이 양정치이면 그 점은 극소입니다. 가우스 과정과 커널 방법의 커널 행렬도 양반정치여야 합니다.

이 장의 요약

실수 대칭행렬의 고윳값은 실수이고, 서로 다른 고윳값의 고유벡터는 수직입니다.
스펙트럴 정리: $S = Q\Lambda Q^T = \sum_i \lambda_i\mathbf{q}_i\mathbf{q}_i^T$ (수직인 사영들의 가중합).
양정치 $\iff$ $\mathbf{x}^TS\mathbf{x} > 0$ $\iff$ 고윳값 $> 0$ $\iff$ 피벗 $> 0$ $\iff$ 선행 주소행렬식 $> 0$ $\iff$ $S = A^TA$ (열 독립).
$\mathbf{x}^TS\mathbf{x} = 1$ 은 고유벡터 방향을 축으로, $1/\sqrt\lambda$ 를 반지름으로 하는 타원.

문제

17.1 [계산] · 확인 문제

$S = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ 을 $Q\Lambda Q^T$ 로 분해하고, 스펙트럴 분해 $\lambda_1\mathbf{q}_1\mathbf{q}_1^T + \lambda_2\mathbf{q}_2\mathbf{q}_2^T$ 로도 씁니다. 표에는 고윳값을 큰 것부터 적습니다.

$\lambda_1$	$\lambda_2$
[?]	[?]

정답

3
-1

풀이

$\lambda = 3$ : $\mathbf{q}_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1, 1)$ . $\lambda = -1$ : $\mathbf{q}_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1, -1)$ . $Q = \frac{1}{\sqrt2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ , $\Lambda = \operatorname{diag}(3, -1)$ .

S = 3 \cdot \frac12\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} - 1 \cdot \frac12\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}.

17.2 [계산] · 확인 문제

$S = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ 를 $Q\Lambda Q^T$ 로 분해합니다. 표에는 고윳값을 큰 것부터 적습니다.

$\lambda_1$	$\lambda_2$	$\lambda_3$
[?]	[?]	[?]

정답

3
2
1

풀이

$y$ 성분은 따로 2배: $\lambda = 2$ , $(0, 1, 0)$ . $(x, z)$ 부분은 $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ : $\lambda = 3$ , $(1, 0, 1)$ ; $\lambda = 1$ , $(1, 0, -1)$ .

Q = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt2} & 0 & \frac{1}{\sqrt2} \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt2} & 0 & -\frac{1}{\sqrt2} \end{bmatrix}, \qquad \Lambda = \operatorname{diag}(3, 2, 1).

17.3 [계산] · 확인 문제

$S = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ 의 고윳값과 정규직교인 고유벡터를 구합니다. 중근의 고유공간에서는 그람–슈미트를 씁니다. 표에는 고윳값을 큰 것부터 적습니다.

$\lambda_1$	$\lambda_2$	$\lambda_3$
[?]	[?]	[?]

정답

3
0
0

풀이

랭크 1, $\operatorname{tr} = 3$ 이므로 $\lambda = 3, 0, 0$ . $\lambda = 3$ : $\frac{1}{\sqrt3}(1, 1, 1)$ . $\lambda = 0$ : 평면 $x + y + z = 0$ . 기저 $(1, -1, 0)$ , $(1, 0, -1)$ 에 그람–슈미트: $(1, -1, 0)$ , $(1, 0, -1) - \frac12(1, -1, 0) = \frac12(1, 1, -2)$ . 정규화: $\frac{1}{\sqrt2}(1, -1, 0)$ , $\frac{1}{\sqrt6}(1, 1, -2)$ .

17.4 [계산]

대칭이 아닌 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ 의 두 고유벡터는 서로 수직일까요? 대칭성이 왜 필요한지 정리 17.2의 증명에서 찾습니다.

풀이

$\lambda = 1$ : $(1, 0)$ . $\lambda = 2$ : $(1, 1)$ . 내적 1, 수직이 아닙니다. 증명의 $\mathbf{x}^TS^T\mathbf{y} = \mathbf{x}^TS\mathbf{y}$ 단계에서 $S^T = S$ 가 쓰였습니다.

17.5 [증명]

스펙트럴 정리를 써서 다음을 보입니다. (a) 대칭행렬 $S$ 의 고윳값이 모두 1이면 $S = I$ 입니다. (b) 대칭행렬 $S$ 가 $S^k = O$ (어떤 $k \ge 1$ )이면 $S = O$ 입니다. (문제 5.7의 $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ 은 왜 (b)의 반례가 아닐까요?)

풀이

(a) $\Lambda = I$ 이므로 $S = QIQ^T = QQ^T = I$ .

(b) $S^k = Q\Lambda^kQ^T = O$ 이면 $\Lambda^k = O$ , 모든 $\lambda_i^k = 0$ , $\lambda_i = 0$ , $S = O$ . $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ 은 대칭이 아닙니다.

17.6 [계산] · 확인 문제

양정치, 양반정치, 둘 다 아님 중 무엇인지 판정합니다. 서로 다른 판정법을 하나 이상 씁니다. 표에는 “양정치”, “양반정치”, “둘 다 아님” 중 하나를 적습니다(양정치이면 “양정치”).

\text{(a)}\ \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \qquad \text{(b)}\ \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \qquad \text{(c)}\ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \qquad \text{(d)}\ \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{bmatrix}

(a)	(b)	(c)	(d)
[?]	[?]	[?]	[?]

정답

양정치
둘 다 아님
양정치
양반정치

풀이

(a) 양정치: 피벗 $2, \frac32$ ; 고윳값 3, 1.

(b) 아님: $\det = 4 - 9 = -5 < 0$ (고윳값 하나가 음수).

(d) 양반정치: 피벗 $2, \frac32, 0$ ; 각 행의 합이 0이므로 $(1, 1, 1)$ 이 고윳값 0의 고유벡터. 고윳값 0, 3, 3.

17.7 [계산] · 확인 문제

$\begin{bmatrix} 1 & b \\ b & 9 \end{bmatrix}$ 가 양정치가 되는 $b$ 의 범위를 구합니다. 표에는 범위 $p < b < q$ 의 양 끝을 적습니다.

$p$	$q$
[?]	[?]

정답

-3
3

풀이

선행 주소행렬식 $1 > 0$ , $9 - b^2 > 0$ . $-3 < b < 3$ .

17.8 [계산]

$S = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ 에 대해 $\mathbf{x}^TS\mathbf{x}$ 를 $LDL^T$ 를 이용해 제곱의 합으로 씁니다.

풀이

$\ell_{21} = -\frac12$ , 피벗 $2, \frac32$ . $\mathbf{x}^TS\mathbf{x} = 2\left(x - \frac12y\right)^2 + \frac32y^2$ . 전개하면 $2x^2 - 2xy + \frac12y^2 + \frac32y^2 = 2x^2 - 2xy + 2y^2$ .

17.9 [증명]

$S$ , $T$ 가 양정치이면 (a) $S + T$ 도 양정치이고, (b) $S^{-1}$ 도 양정치임을 보입니다. (c) 임의의 $A$ 에 대해 $A^TA$ 는 양반정치임을 보입니다.

풀이

(a) $\mathbf{x}^T(S + T)\mathbf{x} = \mathbf{x}^TS\mathbf{x} + \mathbf{x}^TT\mathbf{x} > 0$ .

(b) 고윳값이 $1/\lambda_i > 0$ 이고 $S^{-1}$ 도 대칭.

17.10 [계산] · 확인 문제

다음 곡선의 모양(타원/쌍곡선)과 축의 방향을 구합니다. 타원이면 반지름도 구합니다. (a) $3x^2 + 2xy + 3y^2 = 1$ (b) $x^2 + 4xy + y^2 = 1$ . 표에는 모양과 (a)의 두 반지름(소수 셋째 자리까지)을 적습니다.

값	답
(a)의 모양	[?]
(a)의 $(1, 1)$ 방향 반지름	[?]
(a)의 $(1, -1)$ 방향 반지름	[?]
(b)의 모양	[?]

정답

타원
0.5
0.707
쌍곡선

풀이

(a) $S = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ , $\lambda = 4$ $(1, 1)$ , $\lambda = 2$ $(1, -1)$ . 타원, $(1, 1)$ 방향 반지름 $\frac12$ , $(1, -1)$ 방향 반지름 $\frac{1}{\sqrt2}$ .

(b) $S = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ , $\lambda = 3, -1$ . 쌍곡선 $3y_1^2 - y_2^2 = 1$ . 축은 $(1, 1)$ , $(1, -1)$ 방향.

17.11 [도전]

대칭행렬 $S$ 의 가장 큰 고윳값을 $\lambda_{\max}$ 라 합시다. 모든 $\mathbf{x} \ne \mathbf{0}$ 에 대해

\frac{\mathbf{x}^TS\mathbf{x}}{\mathbf{x}^T\mathbf{x}} \le \lambda_{\max}

이고, 등호는 $\mathbf{x}$ 가 $\lambda_{\max}$ 의 고유벡터일 때 성립함을 보입니다. (좌변을 레일리 몫이라 합니다.)

풀이

$\mathbf{y} = Q^T\mathbf{x}$ 이면 $\mathbf{x}^TS\mathbf{x} = \sum\lambda_iy_i^2 \le \lambda_{\max}\sum y_i^2 = \lambda_{\max}\lVert \mathbf{y} \rVert^2 = \lambda_{\max}\lVert \mathbf{x} \rVert^2$ . 등호는 $\lambda_i < \lambda_{\max}$ 인 성분 $y_i$ 가 모두 0일 때, 즉 $\mathbf{x}$ 가 $\lambda_{\max}$ 의 고유공간에 있을 때.