부록 A. 복소수

요약

복소수의 정의와 연산, 켤레와 절댓값, 복소평면과 극형식, 곱은 회전과 확대, 복소수를 2×2 실수 행렬로 보기, 복소 벡터의 내적

고윳값을 구하다 보면 x² + 1 = 0처럼 실수 해가 없는 방정식이 나옵니다. 그래서 선형대수는 복소수를 자연스럽게 씁니다. 이 부록은 고등학교에서 배운 복소수를 평면 위의 점과 회전으로 다시 보고, 극형식과 오일러 공식 e^{iθ} = cos θ + i sin θ를 정리합니다. 회전 행렬, 푸리에 해석, 교류 회로에서 계속 쓰입니다.

7장, 16장, 23장부터 복소수를 씁니다. 여기서는 필요한 사실을 한곳에 모읍니다.

A.1 정의와 연산

정의 A.1 (복소수). $i^2 = -1$ 인 기호 $i$ 를 써서 $a + bi$ ( $a, b \in \mathbb{R}$ ) 꼴로 쓰는 수를 복소수(complex number)라 하고, 그 전체를 $\mathbb{C}$ 라 합니다. $a = \operatorname{Re} z$ 를 실수부(real part), $b = \operatorname{Im} z$ 를 허수부(imaginary part)라 합니다.

덧셈과 곱셈은 $i^2 = -1$ 만 기억하고 다항식처럼 계산합니다.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i, \qquad (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i.

$z = a + bi$ 의 켤레(conjugate)는 $\bar{z} = a - bi$ , 절댓값(absolute value)은 $\lvert z \rvert = \sqrt{a^2 + b^2}$ 입니다.

정리 A.2 (켤레와 절댓값).

$z\bar{z} = \lvert z \rvert^2$ , $\overline{z + w} = \bar{z} + \bar{w}$ , $\overline{zw} = \bar{z}\,\bar{w}$ .
$\lvert zw \rvert = \lvert z \rvert\lvert w \rvert$ , $\lvert z + w \rvert \le \lvert z \rvert + \lvert w \rvert$ .
$z \ne 0$ 이면 $\dfrac{1}{z} = \dfrac{\bar{z}}{\lvert z \rvert^2}$ .

증명. (1) 직접 전개합니다. (2) $\lvert zw \rvert^2 = zw\overline{zw} = z\bar{z}\,w\bar{w}$ . 삼각부등식은 $\mathbb{R}^2$ 의 삼각부등식(2장)과 같습니다. (3) $z \cdot \bar{z}/\lvert z \rvert^2 = 1$ . ■

(3) 덕분에 0이 아닌 복소수는 역수가 있으므로 $\mathbb{C}$ 는 체입니다(20장). 예: $\dfrac{1}{3 + 4i} = \dfrac{3 - 4i}{25}$ .

A.2 복소평면과 극형식

$a + bi$ 를 평면의 점 $(a, b)$ 로 그리면 덧셈은 벡터의 덧셈입니다. 원점에서의 거리가 $r = \lvert z \rvert$ , $x$ 축에서 잰 각이 $\theta$ 이면

z = r(\cos\theta + i\sin\theta).

이것을 극형식(polar form)이라 하고, $\theta$ 를 편각(argument)이라 합니다.

정리 A.3 (곱은 회전과 확대). $z = r(\cos\alpha + i\sin\alpha)$ , $w = s(\cos\beta + i\sin\beta)$ 이면

zw = rs\big(\cos(\alpha + \beta) + i\sin(\alpha + \beta)\big).

절댓값은 곱하고 편각은 더합니다.

증명. 전개하면 실수부 $rs(\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta)$ , 허수부 $rs(\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta)$ 이고 덧셈정리를 씁니다. ■

$복소평면에 화살표 세 개. z = 2 + i는 각 α, w는 길이 1인 짧은 화살표, zw는 z에서 각 β만큼 더 돌아간 굵은 화살표입니다.$

그림 A.1. $z = 2 + i$ , $w = 0.6 + 0.8i$ ( $\lvert w \rvert = 1$ ). $zw = 0.4 + 2.2i$ 는 $z$ 를 $w$ 의 편각 $\beta$ 만큼 돌린 것입니다. $w$ 를 곱하는 것은 $\mathbb{R}^2$ 의 회전입니다.

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ 로 쓰면 정리 A.3은 $e^{i\alpha}e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)}$ , 지수법칙이 됩니다(† 이 표기는 $e^x$ 의 급수에 $x = i\theta$ 를 넣은 것과 일치합니다. 이것이 오일러 공식(Euler's formula)입니다). 이 책에서는 $e^{i\theta}$ 를 $\cos\theta + i\sin\theta$ 의 약자로 써도 충분합니다.

예제 A.4. 드무아브르 공식 $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$ . $z^n = 1$ 의 해는 $e^{2\pi ik/n}$ ( $k = 0, \ldots, n - 1$ )으로 단위원 위의 정 $n$ 각형 꼭짓점입니다.

A.3 복소수와 행렬

$z = a + bi$ 를 곱하는 것은 $\mathbb{R}^2$ 의 선형변환 $(x, y) \mapsto (ax - by, bx + ay)$ 이고, 행렬은

M_z = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix} = r\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

입니다. 확대와 회전의 곱입니다. $M_zM_w = M_{zw}$ , $M_{\bar z} = M_z^T$ , $\det M_z = \lvert z \rvert^2$ 이 성립합니다(문제 A.5). 복소수 체계를 통째로 $2 \times 2$ 실수 행렬의 일부로 볼 수 있습니다. $M_i = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ 이고 $M_i^2 = -I$ 입니다. 회전 행렬의 고윳값이 $e^{\pm i\theta}$ 인 것(16장)은 이것과 같은 이야기를 반대 방향에서 한 것입니다.

A.4 복소 벡터

$\mathbb{C}^n$ 의 벡터 $\mathbf{z}, \mathbf{w}$ 의 내적은 $\langle \mathbf{z}, \mathbf{w} \rangle = \sum z_k\bar{w}_k$ 입니다. 켤레를 붙이는 이유는 $\langle \mathbf{z}, \mathbf{z} \rangle = \sum \lvert z_k \rvert^2 \ge 0$ 이 길이의 제곱이 되게 하기 위해서입니다. 켤레 없이 $\mathbf{z}^T\mathbf{z}$ 를 쓰면 $(1, i)^T(1, i) = 1 + i^2 = 0$ 이 되어 0이 아닌 벡터의 “길이”가 0이 됩니다. 행렬에서 전치가 하던 일은 켤레전치 $A^* = \bar{A}^T$ 가 합니다(25–26장).

쓰이는 곳. 교류 회로의 임피던스, 신호처리의 페이저와 푸리에 변환, 양자역학의 파동함수가 모두 복소수로 쓰입니다. 회전 행렬과 복소수 곱셈이 같다는 것은 그래픽과 로보틱스에서도 쓰입니다.

이 부록의 요약

$\mathbb{C}$ 는 체입니다. $1/z = \bar{z}/\lvert z \rvert^2$ .
극형식 $z = re^{i\theta}$ : 곱하면 절댓값은 곱하고 편각은 더합니다.
$z$ 를 곱하는 것은 행렬 $\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$ , 확대 × 회전입니다.
복소 내적에는 켤레가 붙습니다: $\langle \mathbf{z}, \mathbf{w} \rangle = \sum z_k\bar{w}_k$ .

문제

A.1 [계산] · 확인 문제

$(2 + 3i)(1 - i)$ , $\dfrac{2 + 3i}{1 - i}$ , $\lvert 3 - 4i \rvert$ , $(1 + 2i)^2$ 을 구합니다.

	실수부	허수부
$(2 + 3i)(1 - i)$	[?]	[?]
$\dfrac{2 + 3i}{1 - i}$	[?]	[?]
$(1 + 2i)^2$	[?]	[?]
$\lvert 3 - 4i \rvert$	[?]	0

정답

5
1
-1/2
5/2
-3
4
5

풀이

$(2 + 3i)(1 - i) = 2 - 2i + 3i + 3 = 5 + i$ . $\dfrac{2 + 3i}{1 - i} = \dfrac{(2 + 3i)(1 + i)}{2} = \dfrac{-1 + 5i}{2}$ . $\lvert 3 - 4i \rvert = 5$ . $(1 + 2i)^2 = -3 + 4i$ , 켤레 $-3 - 4i$ .

A.2 [계산] · 확인 문제

$1 + i$ , $-2$ , $-\sqrt3 + i$ 를 극형식으로 쓰고, $(1 + i)^8$ 을 계산합니다. 편각은 $(-180°, 180°]$ 의 도 단위로, 절댓값은 소수 셋째 자리까지 적습니다.

	절댓값	편각(도)
$1 + i$	[?]	[?]
$-2$	[?]	[?]
$-\sqrt3 + i$	[?]	[?]
$(1 + i)^8$	[?]	[?]

정답

풀이

$1 + i = \sqrt2e^{i\pi/4}$ , $-2 = 2e^{i\pi}$ , $-\sqrt3 + i = 2e^{i5\pi/6}$ . $(1 + i)^8 = (\sqrt2)^8e^{2\pi i} = 16$ .

A.3 [계산]

$z^3 = 1$ 의 해 세 개와 $z^2 = i$ 의 해 두 개를 구하고 복소평면에 그립니다.

풀이

$z^3 = 1$ : $1$ , $e^{2\pi i/3} = -\frac12 + \frac{\sqrt3}{2}i$ , $e^{4\pi i/3} = -\frac12 - \frac{\sqrt3}{2}i$ (정삼각형). $z^2 = i = e^{i\pi/2}$ : $z = \pm e^{i\pi/4} = \pm\dfrac{1 + i}{\sqrt2}$ .

A.4 [증명]

$\lvert z + w \rvert^2 = \lvert z \rvert^2 + 2\operatorname{Re}(z\bar{w}) + \lvert w \rvert^2$ 을 보이고, 이로부터 $\lvert z + w \rvert \le \lvert z \rvert + \lvert w \rvert$ 를 증명합니다.

풀이

$\lvert z + w \rvert^2 = (z + w)(\bar{z} + \bar{w}) = \lvert z \rvert^2 + z\bar{w} + \bar{z}w + \lvert w \rvert^2$ 이고 $z\bar{w} + \overline{z\bar{w}} = 2\operatorname{Re}(z\bar{w})$ . $\operatorname{Re}(z\bar{w}) \le \lvert z\bar{w} \rvert = \lvert z \rvert\lvert w \rvert$ 이므로 $\lvert z + w \rvert^2 \le (\lvert z \rvert + \lvert w \rvert)^2$ .

A.5 [증명]

$M_z = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$ ( $z = a + bi$ )에 대해 $M_zM_w = M_{zw}$ , $M_{\bar z} = M_z^T$ , $\det M_z = \lvert z \rvert^2$ 임을 보입니다.

풀이

$w = c + di$ 이면

M_zM_w = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}\begin{bmatrix} c & -d \\ d & c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ac - bd & -(ad + bc) \\ ad + bc & ac - bd \end{bmatrix} = M_{zw}.

$M_{\bar z} = \begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix} = M_z^T$ . $\det M_z = a^2 + b^2$ .

A.6 [계산]

$M_z$ 의 고윳값과 고유벡터를 $\mathbb{C}^2$ 에서 구합니다. 회전 행렬 $R_\theta$ 의 고윳값이 $e^{\pm i\theta}$ 인 것과 비교합니다.

풀이

$\det(M_z - \lambda I) = (a - \lambda)^2 + b^2 = 0$ 에서 $\lambda = a \pm bi$ , 즉 $z$ 와 $\bar{z}$ . $M_z(1, -i) = (a + bi, b - ai) = z(1, -i)$ 이고 $M_z(1, i) = \bar{z}(1, i)$ . $z = e^{i\theta}$ 이면 $M_z = R_\theta$ 이므로 고윳값 $e^{\pm i\theta}$ 와 일치합니다.