고등학교에서 복소수는 이차방정식의 근을 쓰기 위한 기호였습니다. 이 과목에서는 복소수를 평면의 점, 그리고 평면을 돌리고 늘이는 연산으로 봅니다. 그렇게 보면 i i i e i θ = cos θ + i sin θ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta e i θ = cos θ + i sin θ
1.1 복소수와 연산
정의 1.1. i 2 = − 1 i^2 = -1 i 2 = − 1 i i i x , y x, y x , y z = x + i y z = x + iy z = x + i y 복소수 (complex number)라 하고, x = R e z x = \mathrm{Re}\,z x = Re z 실수부 (real part), y = I m z y = \mathrm{Im}\,z y = Im z 허수부 (imaginary part)라 합니다. 복소수 전체의 집합을 C \mathbb C C
덧셈과 곱셈은 i 2 = − 1 i^2 = -1 i 2 = − 1
( a + b i ) ( c + d i ) = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i . (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i. ( a + bi ) ( c + d i ) = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i . 정의 1.2. z ˉ = x − i y \bar z = x - iy z ˉ = x − i y z z z 켤레 (conjugate), ∣ z ∣ = x 2 + y 2 |z| = \sqrt{x^2 + y^2} ∣ z ∣ = x 2 + y 2 절댓값 (modulus)이라 합니다.
z z ˉ = x 2 + y 2 = ∣ z ∣ 2 z\bar z = x^2 + y^2 = |z|^2 z z ˉ = x 2 + y 2 = ∣ z ∣ 2
예제 1.3. 3 + 4 i 1 − 2 i = ( 3 + 4 i ) ( 1 + 2 i ) 1 + 4 = − 5 + 10 i 5 = − 1 + 2 i \dfrac{3 + 4i}{1 - 2i} = \dfrac{(3 + 4i)(1 + 2i)}{1 + 4} = \dfrac{-5 + 10i}{5} = -1 + 2i 1 − 2 i 3 + 4 i = 1 + 4 ( 3 + 4 i ) ( 1 + 2 i ) = 5 − 5 + 10 i = − 1 + 2 i
1.2 복소평면
z = x + i y z = x + iy z = x + i y ( x , y ) (x, y) ( x , y ) 복소평면 (complex plane)이라 합니다. 가로축이 실수축, 세로축이 허수축입니다.
덧셈은 벡터의 덧셈(평행사변형).
∣ z ∣ |z| ∣ z ∣ ∣ z − w ∣ |z - w| ∣ z − w ∣ 켤레는 실수축에 대한 대칭.
정리 1.4 (삼각부등식). ∣ z + w ∣ ≤ ∣ z ∣ + ∣ w ∣ |z + w| \le |z| + |w| ∣ z + w ∣ ≤ ∣ z ∣ + ∣ w ∣
삼각형의 한 변은 다른 두 변의 합보다 짧다는 뜻입니다. 이 부등식은 적분의 크기를 어림할 때(4장) 계속 씁니다.
예제 1.5. ∣ z − 1 ∣ = 2 |z - 1| = 2 ∣ z − 1∣ = 2 1 1 1 2 2 2 ∣ z − 1 ∣ < 2 |z - 1| < 2 ∣ z − 1∣ < 2 I m z > 0 \mathrm{Im}\,z > 0 Im z > 0
1.3 극형식과 오일러 공식
원점에서의 거리 r = ∣ z ∣ r = |z| r = ∣ z ∣ θ \theta θ z = r ( cos θ + i sin θ ) z = r(\cos\theta + i\sin\theta) z = r ( cos θ + i sin θ ) θ \theta θ 편각 (argument)이라 하고 arg z \arg z arg z 2 π 2\pi 2 π − π < θ ≤ π -\pi < \theta \le \pi − π < θ ≤ π 주편각 (principal argument) A r g z \mathrm{Arg}\,z Arg z
정리 1.6 (오일러 공식). e i θ = cos θ + i sin θ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta e i θ = cos θ + i sin θ
근거. 지수함수의 테일러 급수 e x = ∑ x n n ! e^x = \sum\frac{x^n}{n!} e x = ∑ n ! x n x = i θ x = i\theta x = i θ i 2 = − 1 i^2 = -1 i 2 = − 1 i 3 = − i i^3 = -i i 3 = − i i 4 = 1 i^4 = 1 i 4 = 1 cos θ \cos\theta cos θ sin θ \sin\theta sin θ
그래서 모든 복소수는 z = r e i θ z = re^{i\theta} z = r e i θ 극형식 (polar form), polar form). θ = π \theta = \pi θ = π e i π + 1 = 0 e^{i\pi} + 1 = 0 e iπ + 1 = 0
1.4 곱셈은 회전과 확대
정리 1.7. z = r 1 e i θ 1 z = r_1e^{i\theta_1} z = r 1 e i θ 1 w = r 2 e i θ 2 w = r_2e^{i\theta_2} w = r 2 e i θ 2 z w = r 1 r 2 e i ( θ 1 + θ 2 ) zw = r_1r_2e^{i(\theta_1 + \theta_2)} z w = r 1 r 2 e i ( θ 1 + θ 2 )
절댓값은 곱해지고 편각은 더해집니다. w w w θ 2 \theta_2 θ 2 r 2 r_2 r 2
i = e i π / 2 i = e^{i\pi/2} i = e iπ /2 − 1 = e i π -1 = e^{i\pi} − 1 = e iπ
예제 1.8. ( 1 + i ) 8 (1 + i)^8 ( 1 + i ) 8 1 + i = 2 e i π / 4 1 + i = \sqrt2e^{i\pi/4} 1 + i = 2 e iπ /4 ( 2 ) 8 e i 2 π = 16 (\sqrt2)^8e^{i2\pi} = 16 ( 2 ) 8 e i 2 π = 16
1.5 거듭제곱근
정리 1.9 (드무아브르 공식). ( e i θ ) n = e i n θ (e^{i\theta})^n = e^{in\theta} ( e i θ ) n = e in θ ( cos θ + i sin θ ) n = cos n θ + i sin n θ (\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta ( cos θ + i sin θ ) n = cos n θ + i sin n θ
z n = w z^n = w z n = w w = ρ e i ϕ ≠ 0 w = \rho e^{i\phi} \ne 0 w = ρ e i ϕ = 0 ∣ z ∣ n = ρ |z|^n = \rho ∣ z ∣ n = ρ n arg z = ϕ + 2 π k n\arg z = \phi + 2\pi k n arg z = ϕ + 2 π k
z k = ρ 1 / n e i ( ϕ + 2 π k ) / n , k = 0 , 1 , … , n − 1. z_k = \rho^{1/n}e^{i(\phi + 2\pi k)/n}, \qquad k = 0, 1, \dots, n - 1. z k = ρ 1/ n e i ( ϕ + 2 π k ) / n , k = 0 , 1 , … , n − 1. 정확히 n n n 의 근이 원 위에 정 n n n
예제 1.10. z 3 = 8 z^3 = 8 z 3 = 8 2 2 2 2 e 2 π i / 3 = − 1 + 3 i 2e^{2\pi i/3} = -1 + \sqrt3i 2 e 2 π i /3 = − 1 + 3 i 2 e 4 π i / 3 = − 1 − 3 i 2e^{4\pi i/3} = -1 - \sqrt3i 2 e 4 π i /3 = − 1 − 3 i
예제 1.11 (1의 거듭제곱근). z n = 1 z^n = 1 z n = 1 ω k \omega^k ω k ω = e 2 π i / n \omega = e^{2\pi i/n} ω = e 2 π i / n
1.6 이 장의 요약
z = x + i y z = x + iy z = x + i y z ˉ \bar z z ˉ ∣ z ∣ 2 = z z ˉ |z|^2 = z\bar z ∣ z ∣ 2 = z z ˉ 극형식 z = r e i θ z = re^{i\theta} z = r e i θ e i θ = cos θ + i sin θ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta e i θ = cos θ + i sin θ
곱셈 = 회전 + 확대. 절댓값은 곱, 편각은 합.
z n = w z^n = w z n = w n n n n n n
쓰이는 곳. 교류 회로의 페이저와 임피던스, 양자역학의 파동함수(복소수 값), 신호처리의 푸리에 변환과 FFT, 제어공학의 극점, 컴퓨터 그래픽스의 2차원 회전, 머신러닝의 회전 위치 인코딩(RoPE는 벡터를 복소수 쌍으로 보고 e i m θ e^{im\theta} e im θ
문제
1.1 [계산] · 확인 문제
5 + 5 i 2 + i \dfrac{5 + 5i}{2 + i} 2 + i 5 + 5 i a + b i a + bi a + bi
정답 풀이 ( 5 + 5 i ) ( 2 − i ) 5 = 15 + 5 i 5 = 3 + i \frac{(5 + 5i)(2 - i)}{5} = \frac{15 + 5i}{5} = 3 + i 5 ( 5 + 5 i ) ( 2 − i ) = 5 15 + 5 i = 3 + i
1.2 [계산] · 확인 문제
∣ ( 3 + 4 i ) ( 1 − i ) ∣ |(3 + 4i)(1 - i)| ∣ ( 3 + 4 i ) ( 1 − i ) ∣
정답 풀이 ∣ 3 + 4 i ∣ ∣ 1 − i ∣ = 5 2 |3 + 4i||1 - i| = 5\sqrt2 ∣3 + 4 i ∣∣1 − i ∣ = 5 2
1.3 [계산] · 확인 문제
( 1 + 3 i ) 6 (1 + \sqrt3i)^6 ( 1 + 3 i ) 6
정답 풀이 1 + 3 i = 2 e i π / 3 1 + \sqrt3i = 2e^{i\pi/3} 1 + 3 i = 2 e iπ /3 2 6 e 2 π i = 64 2^6e^{2\pi i} = 64 2 6 e 2 π i = 64
1.4 [계산] · 확인 문제
z 4 = − 16 z^4 = -16 z 4 = − 16
정답 풀이 − 16 = 16 e i π -16 = 16e^{i\pi} − 16 = 16 e iπ 2 e i ( π + 2 π k ) / 4 2e^{i(\pi + 2\pi k)/4} 2 e i ( π + 2 π k ) /4 k = 0 k = 0 k = 0 2 e i π / 4 = 2 + 2 i 2e^{i\pi/4} = \sqrt2 + \sqrt2i 2 e iπ /4 = 2 + 2 i 2 \sqrt2 2
1.5 [증명]
z w ‾ = z ˉ w ˉ \overline{zw} = \bar z\,\bar w z w = z ˉ w ˉ ∣ z w ∣ = ∣ z ∣ ∣ w ∣ |zw| = |z||w| ∣ z w ∣ = ∣ z ∣∣ w ∣
풀이 z = a + b i z = a + bi z = a + bi w = c + d i w = c + di w = c + d i z w = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i zw = (ac - bd) + (ad + bc)i z w = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i z ˉ w ˉ = ( a c − b d ) − ( a d + b c ) i = z w ‾ \bar z\bar w = (ac - bd) - (ad + bc)i = \overline{zw} z ˉ w ˉ = ( a c − b d ) − ( a d + b c ) i = z w ∣ z w ∣ 2 = z w z w ‾ = z z ˉ w w ˉ = ∣ z ∣ 2 ∣ w ∣ 2 |zw|^2 = zw\overline{zw} = z\bar z\,w\bar w = |z|^2|w|^2 ∣ z w ∣ 2 = z w z w = z z ˉ w w ˉ = ∣ z ∣ 2 ∣ w ∣ 2