8장. 미적분학의 기본정리

7장의 정적분은 리만 합의 극한이라 계산이 번거로웠습니다. 이 장의 정리는 그 극한을 도함수의 거꾸로, 곧 원시함수로 구하게 해 줍니다. 순간의 변화율(미분)과 쌓인 양(적분)이 서로 거꾸로라는 이 사실이 미적분학이라는 이름의 핵심입니다.

8.1 적분으로 정의한 함수

$f$ 가 연속일 때, 위끝을 변수로 둔 함수

F(x) = \int_a^x f(t)\,dt

를 생각합니다. $F(x)$ 는 $a$ 부터 $x$ 까지 쌓인 넓이입니다. $x$ 를 조금 늘리면 넓이가 얼마나 늘어날까요? 폭 $h$ , 높이 약 $f(x)$ 인 띠만큼, 곧 약 $f(x)h$ 만큼 늘어납니다. 그러므로 $F$ 의 변화율은 $f(x)$ 일 것입니다.

8.2 기본정리 1부

정리 8.1 (미적분학의 기본정리 1부). $f$ 가 $[a, b]$ 에서 연속이면 $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ 는 $(a, b)$ 에서 미분 가능하고

F'(x) = f(x).

증명. $h > 0$ 이면 $F(x + h) - F(x) = \int_x^{x+h} f(t)\,dt$ 이고, 적분의 평균값 정리(정리 7.6)로 이 값은 어떤 $c_h \in [x, x + h]$ 에 대해 $f(c_h)h$ 입니다. 그러므로

\frac{F(x + h) - F(x)}{h} = f(c_h).

$h \to 0$ 이면 $c_h \to x$ 이고 $f$ 가 연속이므로 $f(c_h) \to f(x)$ 입니다. $h < 0$ 도 같습니다. □

예제 8.2. $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^x \sqrt{1 + t^3}\,dt = \sqrt{1 + x^3}$ . 적분을 계산할 수 없어도 도함수는 압니다.

예제 8.3. 위끝이 함수이면 연쇄법칙을 씁니다: $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^{x^2}\cos t\,dt = \cos(x^2)\cdot2x$ .

8.3 원시함수와 부정적분

정의 8.4. $F' = f$ 인 $F$ 를 $f$ 의 원시함수(antiderivative)라 합니다. 원시함수 전체를 부정적분(indefinite integral) $\int f(x)\,dx = F(x) + C$ 로 씁니다.

원시함수는 하나가 아닙니다. 5장의 따름정리 5.7에 따라 도함수가 같은 두 함수는 상수만큼 차이 나므로, 원시함수 하나 $F$ 를 알면 모두 $F + C$ 꼴입니다.

8.4 기본정리 2부

정리 8.5 (미적분학의 기본정리 2부). $f$ 가 $[a, b]$ 에서 연속이고 $F$ 가 $f$ 의 원시함수이면

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a).

증명. 1부에 따라 $G(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ 도 원시함수이므로 $F = G + C$ 입니다. 그러면 $F(b) - F(a) = G(b) - G(a) = \int_a^b f\,dt - 0$ 입니다. □

$F(b) - F(a)$ 를 $\big[F(x)\big]_a^b$ 로 씁니다.

예제 8.6. 7장에서 극한으로 구한 넓이: $\int_0^1 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}3\right]_0^1 = \frac13$ . 단 한 줄입니다.

예제 8.7. $\int_0^\pi \sin x\,dx = \big[-\cos x\big]_0^\pi = 1 - (-1) = 2$ .

8.5 기본 적분표

미분 공식을 거꾸로 읽으면 됩니다.

$f(x)$	$\int f(x)\,dx$
$x^r$ ( $r \ne -1$ )	$\dfrac{x^{r+1}}{r + 1} + C$
$\dfrac1x$	$\ln
$e^x$	$e^x + C$
$a^x$	$\dfrac{a^x}{\ln a} + C$
$\sin x$	$-\cos x + C$
$\cos x$	$\sin x + C$
$\sec^2 x$	$\tan x + C$
$\dfrac{1}{1 + x^2}$	$\arctan x + C$
$\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$	$\arcsin x + C$

결과를 미분해 원래 함수가 나오는지 확인하는 습관이 가장 좋은 검산입니다.

8.6 순변화 정리

기본정리 2부를 $F'$ 에 대한 말로 바꾸면

\int_a^b F'(x)\,dx = F(b) - F(a)

입니다. 변화율을 적분하면 전체 변화량이 됩니다.

예제 8.8. 속도 $v(t) = t^2 - 4t + 3$ (m/s)로 움직이는 물체의 $0 \le t \le 3$ 동안 위치 변화(변위)는 $\int_0^3 v\,dt = [t^3/3 - 2t^2 + 3t]_0^3 = 9 - 18 + 9 = 0$ 입니다. 그러나 움직인 거리는 $\int_0^3 |v|\,dt$ 입니다. $v$ 는 $t = 1$ 과 $t = 3$ 에서 부호가 바뀌므로 $\int_0^1 v\,dt - \int_1^3 v\,dt = \frac43 + \frac43 = \frac83$ m입니다.

쓰이는 곳. 확률의 누적분포함수 $F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt$ 와 밀도 $f = F'$ 의 관계가 기본정리입니다. 미분방정식을 적분으로 푸는 것, 신경망 ODE가 시간에 따라 상태를 적분하는 것도 이 정리 위에 있습니다.

8.7 이 장의 요약

1부: $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$ . 쌓이는 속도는 높이입니다.
2부: $\int_a^b f\,dx = F(b) - F(a)$ . 정적분은 원시함수의 차입니다.
변화율의 적분 = 순변화. 거리는 $|v|$ 의 적분입니다.

문제

8.1 [계산] · 확인 문제

정적분을 계산합니다.

정적분	값
$\int_1^3 (3x^2 - 2x)\,dx$	[?]
$\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx$	[?]
$\int_1^e \frac1x\,dx$	[?]
$\int_0^1 \frac{1}{1 + x^2}\,dx$	[?]

정답

풀이

$[x^3 - x^2]_1^3 = (27 - 9) - (1 - 1) = 18$ .
$[\sin x]_0^{\pi/2} = 1$ .
$[\ln x]_1^e = 1$ .
$[\arctan x]_0^1 = \pi/4$ .

8.2 [계산] · 확인 문제

$F(x) = \int_1^x (t^3 + 2t)\,dt$ 일 때 $F'(2)$ 는?

정답

풀이

기본정리 1부로 $F'(x) = x^3 + 2x$ 이므로 $F'(2) = 12$ 입니다.

8.3 [계산] · 확인 문제

$G(x) = \int_0^{x^3}\sqrt{1 + t}\,dt$ 일 때 $G'(2)$ 는?

정답

풀이

$G'(x) = \sqrt{1 + x^3}\cdot3x^2$ 이므로 $G'(2) = \sqrt9\cdot12 = 36$ 입니다.

8.4 [계산]

예제 8.8의 물체가 $0 \le t \le 4$ 동안 움직인 거리는? (분수로 답할 수 있습니다)

힌트 1

$v(t) = (t - 1)(t - 3)$ 의 부호가 바뀌는 곳에서 구간을 나눕니다.

정답

풀이

$V(t) = t^3/3 - 2t^2 + 3t$ 로 두면 $V(0) = 0$ , $V(1) = 4/3$ , $V(3) = 0$ , $V(4) = 4/3$ . 거리는 $|4/3 - 0| + |0 - 4/3| + |4/3 - 0| = 4$ 입니다.

8.5 [계산]

$f(x) = \sin x$ 의 $[0, \pi]$ 에서의 평균값은? (π가 든 식으로 답할 수 있습니다)

정답

2/π

풀이

$\frac1\pi\int_0^\pi\sin x\,dx = \frac2\pi$ 입니다.

8.6 [증명]

기본정리 2부를 쓰지 않고, 1부와 “도함수가 0이면 상수”(따름정리 5.7)만으로 $\int_0^1 x^2\,dx = \frac13$ 을 보입니다.

풀이

$G(x) = \int_0^x t^2\,dt$ 와 $H(x) = x^3/3$ 은 1부와 미분 공식으로 $G' = H' = x^2$ 입니다. 그러므로 $G - H$ 의 도함수가 0이라 $G - H$ 는 상수이고, $G(0) - H(0) = 0$ 이므로 그 상수는 0입니다. 따라서 $G(1) = H(1) = 1/3$ 입니다.