7장. 중적분

요약

이중적분의 정의, 반복적분과 푸비니 정리, 일반 영역에서의 적분과 순서 바꾸기, 삼중적분, 결합 확률밀도와 기댓값

한 변수의 정적분은 곡선 아래의 넓이였습니다. 두 변수 함수 $f(x, y)$ 를 평면의 영역에서 적분하면 곡면 아래의 부피가 되고, 밀도를 적분하면 질량이, 결합 확률밀도를 적분하면 확률이 됩니다. 계산은 놀랍도록 간단합니다. 한 변수씩 차례로 적분하면 됩니다(반복적분). 이 장의 어려움은 계산보다 “적분 범위를 정하는 것”에 있습니다.

7.1 이중적분

정의 7.1 (이중적분). 직사각형 $R = [a, b] \times [c, d]$ 를 작은 직사각형으로 나누고, 각 조각의 넓이 $\Delta A$ 에 그 조각 안의 함숫값을 곱해 더한 리만 합의 극한을

\iint_R f(x, y)\,dA

로 쓰고 이중적분(double integral)이라 합니다.

미적분학 7장의 리만 합에서 폭 $\Delta x$ 대신 넓이 $\Delta A$ 를 쓴 것입니다. $f \ge 0$ 이면 곡면 $z = f(x, y)$ 아래, $R$ 위의 부피입니다. $f = 1$ 이면 $R$ 의 넓이입니다.

7.2 반복적분과 푸비니 정리

정리 7.2 (푸비니). $f$ 가 $R$ 에서 연속이면

\iint_R f\,dA = \int_a^b\left(\int_c^d f(x, y)\,dy\right)dx = \int_c^d\left(\int_a^b f(x, y)\,dx\right)dy.

안쪽 적분에서는 바깥 변수를 상수로 봅니다(편미분의 거꾸로). 부피를 얇은 조각으로 썰어, 조각의 넓이를 쌓는 것과 같습니다. 어느 방향으로 썰어도 부피는 같습니다.

예제 7.3. $\displaystyle\iint_{[0,1]\times[0,2]}(x^2 + y)\,dA = \int_0^1\left[x^2y + \tfrac{y^2}{2}\right]_0^2dx = \int_0^1(2x^2 + 2)\,dx = \tfrac23 + 2 = \tfrac83.$

곱으로 나뉘는 경우. $f(x, y) = g(x)h(y)$ 이면 $\iint_R f\,dA = \left(\int_a^bg\,dx\right)\left(\int_c^dh\,dy\right)$ 입니다. 독립인 확률변수의 결합밀도가 이 꼴입니다.

7.3 일반 영역

영역이 직사각형이 아니면, 한 변수의 범위가 다른 변수에 따라 바뀝니다.

정리 7.4. 영역 $D = \{(x, y) \mid a \le x \le b,\ g_1(x) \le y \le g_2(x)\}$ (위아래가 곡선)이면

\iint_D f\,dA = \int_a^b\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x, y)\,dy\,dx.

예제 7.5. $D$ 를 $y = x^2$ 과 $y = x$ 사이( $0 \le x \le 1$ )라 하면, $D$ 의 넓이는 $\int_0^1\int_{x^2}^{x}1\,dy\,dx = \int_0^1(x - x^2)dx = \frac16$ 입니다(미적분학 10장과 같은 답).

적분 순서 바꾸기. 같은 영역을 “가로로” 읽으면 순서를 바꿀 수 있고, 때로 안 되던 적분이 됩니다.

예제 7.6. $\displaystyle\int_0^1\int_x^1e^{y^2}\,dy\,dx$ 는 안쪽 적분 $\int e^{y^2}dy$ 를 초등함수로 할 수 없습니다. 영역 $\{0 \le x \le 1,\ x \le y \le 1\}$ 은 $\{0 \le y \le 1,\ 0 \le x \le y\}$ 와 같으므로

\int_0^1\int_0^ye^{y^2}\,dx\,dy = \int_0^1ye^{y^2}\,dy = \tfrac12(e - 1).

영역을 반드시 그림으로 그려 보는 것이 요령입니다.

7.4 삼중적분

$\iiint_Ef\,dV$ 도 같은 방식으로 세 번 반복합니다. $f = 1$ 이면 부피, $f$ 가 밀도이면 질량입니다.

예제 7.7. 사면체 $x, y, z \ge 0$ , $x + y + z \le 1$ 의 부피: $\int_0^1\int_0^{1-x}\int_0^{1-x-y}dz\,dy\,dx = \int_0^1\int_0^{1-x}(1 - x - y)\,dy\,dx = \int_0^1\frac{(1 - x)^2}{2}dx = \frac16$ .

7.5 결합 확률밀도

정의 7.8. $f(x, y) \ge 0$ 이고 $\iint_{\mathbb{R}^2}f\,dA = 1$ 이면 $(X, Y)$ 의 결합 확률밀도(joint density)이고, $P((X, Y) \in D) = \iint_Df\,dA$ 입니다.

주변밀도: $f_X(x) = \int_{-\infty}^\infty f(x, y)\,dy$ (다른 변수를 적분해 없앰).
기댓값: $E[g(X, Y)] = \iint g(x, y)f(x, y)\,dA$ .
독립: $f(x, y) = f_X(x)f_Y(y)$ .

예제 7.9. $X$ , $Y$ 가 각각 $[0, 1]$ 에서 균등하고 독립이면 $f = 1$ ( $[0,1]^2$ 위). $P(X + Y \le 1)$ 은 삼각형의 넓이 $\frac12$ , $E[XY] = \int_0^1\int_0^1xy\,dx\,dy = \frac14$ 입니다.

7.6 이 장의 요약

이중적분 = 곡면 아래 부피 = 리만 합의 극한. 계산은 반복적분.
일반 영역은 범위가 곡선. 순서를 바꾸면 쉬워질 수 있습니다(영역을 그립니다).
결합밀도의 적분이 확률, $g\cdot f$ 의 적분이 기댓값입니다.

쓰이는 곳. 머신러닝 논문의 기댓값 $\mathbb{E}_{(x,y)\sim p}[\ell(f(x), y)]$ (기대 위험), 주변화(marginalization) $p(x) = \int p(x, z)\,dz$ (잠재변수 모델, VAE)가 다중적분입니다. 물리에서는 질량, 질량중심, 관성 모멘트, 전하량, 전기장의 계산에 쓰입니다.

문제

7.1 [계산] · 확인 문제

$\displaystyle\iint_{[0,2]\times[0,3]}xy\,dA$ 는?

정답

풀이

곱으로 나뉘므로 $\int_0^2x\,dx\int_0^3y\,dy = 2\cdot\frac92 = 9$ 입니다.

7.2 [계산] · 확인 문제

삼각형 $D = \{0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le x\}$ 에서 $\iint_D(x + y)\,dA$ 는?

정답

1/2

풀이

$\int_0^1\int_0^x(x + y)\,dy\,dx = \int_0^1\left(x^2 + \frac{x^2}2\right)dx = \frac32\cdot\frac13 = \frac12$ 입니다.

7.3 [계산] · 확인 문제

적분 순서를 바꿔 $\displaystyle\int_0^{1}\int_{y}^{1}\frac{\sin x}{x}\,dx\,dy$ 를 구합니다. (소수 넷째 자리까지)

힌트 1

영역은 $0 \le y \le x \le 1$ 입니다. $x$ 를 바깥으로 보내면 안쪽 적분이 $\int_0^x dy = x$ 가 됩니다.

정답

0.4597

풀이

$\int_0^1\int_0^x\frac{\sin x}{x}\,dy\,dx = \int_0^1\sin x\,dx = 1 - \cos 1 \approx 0.4597$ 입니다.

7.4 [계산]

$X$ , $Y$ 가 $[0, 1]$ 에서 독립인 균등분포일 때 $P(Y \le X^2)$ 은?

정답

1/3

풀이

$\int_0^1\int_0^{x^2}1\,dy\,dx = \int_0^1x^2dx = \frac13$ 입니다.

7.5 [증명]

결합밀도 $f(x, y) = g(x)h(y)$ ( $\int g = \int h = 1$ )이면 $E[XY] = E[X]E[Y]$ 임을 보입니다.

풀이

$E[XY] = \iint xy\,g(x)h(y)\,dA$ 이고, 함수가 $x$ 의 부분과 $y$ 의 부분의 곱이므로 반복적분이 나뉩니다: $\int xg(x)\,dx\int yh(y)\,dy$ . 결합밀도가 곱이면 주변밀도는 $f_X = g$ , $f_Y = h$ 이므로 이 값은 $E[X]E[Y]$ 입니다.