2장. 복소함수와 사상

실수 함수는 그래프를 그려 이해합니다. 복소함수 $w = f(z)$는 입력도 2차원, 출력도 2차원이라 그래프를 그리려면 4차원이 필요합니다. 그래서 대신 “평면을 어떻게 휘게 하는가”로 봅니다. $z$ 평면에 격자를 그리고 그 격자가 $w$ 평면에서 어떤 곡선이 되는지를 보는 것입니다. 이 장에서는 기본 복소함수들을 이런 사상으로 이해하고, 복소 로그처럼 값이 여러 개인 함수를 다루는 법을 배웁니다.

2.1 복소함수

정의 2.1. 복소수 $z$에 복소수 $w = f(z)$를 대응시키는 함수를 복소함수(complex function)라 합니다. $z = x + iy$로 쓰면

로, 실수 함수 두 개 $u, v$의 짝입니다.

예제 2.2. $f(z) = z^2 = (x + iy)^2 = (x^2 - y^2) + i(2xy)$이므로 $u = x^2 - y^2$, $v = 2xy$입니다.

2.2 기본 함수들

거듭제곱. $z^n = r^ne^{in\theta}$: 절댓값은 $n$제곱, 편각은 $n$배. $z^2$는 위쪽 반평면($0 < \theta < \pi$)을 평면 전체로 펼칩니다.

지수함수. $e^z = e^{x + iy} = e^x(\cos y + i\sin y)$.

• $|e^z| = e^x$, $\arg e^z = y$.
• 주기(period)가 $2\pi i$입니다: $e^{z + 2\pi i} = e^z$. 실수 지수함수에는 없는 성질입니다.
• $e^z \ne 0$이 모든 $z$에서 성립합니다.
• 사상으로 보면 세로선 $x = c$는 반지름 $e^c$인 원으로, 가로선 $y = c$는 각 $c$의 반직선으로 갑니다.

삼각함수. 오일러 공식을 거꾸로 써서 정의합니다.

실수에서는 익숙한 함수지만, 복소수에서는 유계가 아닙니다. 예: $\cos(iy) = \frac{e^{-y} + e^y}{2} = \cosh y$로, $y$가 커지면 끝없이 커집니다.

예제 2.3. $\cos(i\ln2) = \frac{e^{-\ln2} + e^{\ln2}}{2} = \frac{1/2 + 2}{2} = \frac54$. 코사인 값이 1보다 큽니다.

2.3 복소 로그와 가지

$e^w = z$의 해 $w$를 로그라 하고 싶지만, $e^w$의 주기 때문에 해가 무수히 많습니다. $z = re^{i\theta}$이면

정의 2.4. 주편각을 쓴 $\mathrm{Log}\,z = \ln|z| + i\,\mathrm{Arg}\,z$를 주가지(principal branch)라 합니다.

예제 2.5. $\mathrm{Log}(-1) = \ln1 + i\pi = i\pi$. $\mathrm{Log}(i) = i\pi/2$.

주가지는 음의 실수축에서 불연속입니다. 위쪽에서 다가가면 편각이 $\pi$, 아래쪽에서 다가가면 $-\pi$에 가까워 $2\pi i$만큼 뜁니다. 이렇게 함수를 하나로 정하려고 잘라 낸 곡선을 가지 자름(branch cut)이라 합니다. 원점을 한 바퀴 돌면 로그 값이 $2\pi i$만큼 바뀌는 것은 복소해석 전체에서 중요한 현상입니다(4장에서 $\oint dz/z = 2\pi i$로 다시 나옵니다).

복소 거듭제곱 $z^a = e^{a\log z}$도 같은 이유로 여러 값을 가질 수 있습니다. 예: $i^i = e^{i\log i} = e^{i\cdot i(\pi/2 + 2\pi k)} = e^{-\pi/2 - 2\pi k}$, 주가지로는 $e^{-\pi/2} \approx 0.2079$로 실수입니다.

2.4 1/z와 뫼비우스 변환

$w = 1/z = \frac1re^{-i\theta}$: 절댓값을 뒤집고 실수축에 대해 대칭시킵니다. 단위원 안쪽과 바깥쪽이 바뀝니다.

정의 2.6. $ad - bc \ne 0$일 때 $w = \dfrac{az + b}{cz + d}$를 뫼비우스 변환(Möbius transformation)이라 합니다.

뫼비우스 변환은 평행이동, 회전·확대, $1/z$를 합성한 것입니다.

정리 2.7. 뫼비우스 변환은 “직선 또는 원”을 “직선 또는 원”으로 보냅니다(직선을 반지름이 무한대인 원으로 봅니다).

예제 2.8 (케일리 변환). $w = \dfrac{z - i}{z + i}$는 위쪽 반평면을 단위원판 $|w| < 1$로 보냅니다. 위쪽 반평면의 점은 $i$까지의 거리가 $-i$까지의 거리보다 가까우므로 $|w| < 1$입니다. 실수축은 두 거리가 같아 단위원 $|w| = 1$로 갑니다.

2.5 극한과 연속

정의 2.9. $z$가 어느 방향에서 $z_0$에 다가가든 $|f(z) - L| \to 0$이면 $\lim_{z \to z_0}f(z) = L$이라 하고, $f(z_0) = L$이면 $f$가 $z_0$에서 연속(continuous)이라 합니다.

실수와 다른 점은 “어느 방향에서”입니다. 실수에서는 왼쪽과 오른쪽 두 방향뿐이지만, 평면에서는 무한히 많은 방향과 곡선을 따라 다가갈 수 있습니다.

예제 2.10. $f(z) = \bar z/z$는 $z \to 0$에서 극한이 없습니다. 실수축을 따라 다가가면($z = x$) $1$, 허수축을 따라 다가가면($z = iy$) $\frac{-iy}{iy} = -1$입니다.

2.6 이 장의 요약

• $f(z) = u + iv$: 평면에서 평면으로의 사상. 격자의 상으로 이해합니다.
• $e^z$: 주기 $2\pi i$, 0이 되지 않음. 복소 삼각함수는 유계가 아님.
• $\log z$는 값이 여럿: 주가지와 가지 자름. 원점을 돌면 $2\pi i$만큼 바뀜.
• 뫼비우스 변환: 원과 직선을 원과 직선으로. 케일리 변환은 반평면을 원판으로.

쓰이는 곳. 교류 회로와 신호의 복소지수 표현, 양자역학의 위상 인자, 제어공학의 $s$ 평면과 $z$ 평면 사이 변환(쌍일차 변환은 뫼비우스 변환), 상대성 이론의 로런츠 변환(뫼비우스 변환과 같은 군), 하이퍼볼릭 기하를 쓰는 표현 학습(푸앵카레 원판 임베딩)이 이 장의 함수를 씁니다.

문제

-11
-2

7.3891

0.6931
-π/2

0.5