복소함수의 미분을 실수와 똑같이 lim f ( z + h ) − f ( z ) h \lim\frac{f(z + h) - f(z)}{h} lim h f ( z + h ) − f ( z ) h h h u u u v v v
3.1 복소 미분
정의 3.1. 다음 극한이 존재하면 f f f z 0 z_0 z 0 복소 미분가능 하다고 하고, 그 값을 f ′ ( z 0 ) f'(z_0) f ′ ( z 0 )
f ′ ( z 0 ) = lim h → 0 f ( z 0 + h ) − f ( z 0 ) h ( h ∈ C ) . f'(z_0) = \lim_{h \to 0}\frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} \qquad (h \in \mathbb C). f ′ ( z 0 ) = h → 0 lim h f ( z 0 + h ) − f ( z 0 ) ( h ∈ C ) . 예제 3.2. f ( z ) = z 2 f(z) = z^2 f ( z ) = z 2 ( z + h ) 2 − z 2 h = 2 z + h → 2 z \frac{(z + h)^2 - z^2}{h} = 2z + h \to 2z h ( z + h ) 2 − z 2 = 2 z + h → 2 z
예제 3.3. f ( z ) = z ˉ f(z) = \bar z f ( z ) = z ˉ z + h ‾ − z ˉ h = h ˉ h \frac{\overline{z + h} - \bar z}{h} = \frac{\bar h}{h} h z + h − z ˉ = h h ˉ h h h − 1 -1 − 1 z ˉ \bar z z ˉ ( x , y ) ↦ ( x , − y ) (x, y) \mapsto (x, -y) ( x , y ) ↦ ( x , − y )
3.2 코시–리만 방정식
f = u + i v f = u + iv f = u + i v z 0 z_0 z 0
h = t h = t h = t f ′ = u x + i v x f' = u_x + iv_x f ′ = u x + i v x h = i t h = it h = i t f ′ = u y + i v y i = v y − i u y f' = \frac{u_y + iv_y}{i} = v_y - iu_y f ′ = i u y + i v y = v y − i u y
두 값이 같아야 하므로
정리 3.4 (코시–리만 방정식). f = u + i v f = u + iv f = u + i v z 0 z_0 z 0
u x = v y , u y = − v x . u_x = v_y, \qquad u_y = -v_x. u x = v y , u y = − v x . 거꾸로, u , v u, v u , v f f f f ′ = u x + i v x f' = u_x + iv_x f ′ = u x + i v x
예제 3.5. z 2 z^2 z 2 u = x 2 − y 2 u = x^2 - y^2 u = x 2 − y 2 v = 2 x y v = 2xy v = 2 x y u x = 2 x = v y u_x = 2x = v_y u x = 2 x = v y u y = − 2 y = − v x u_y = -2y = -v_x u y = − 2 y = − v x
예제 3.6. e z e^z e z u = e x cos y u = e^x\cos y u = e x cos y v = e x sin y v = e^x\sin y v = e x sin y u x = e x cos y = v y u_x = e^x\cos y = v_y u x = e x cos y = v y u y = − e x sin y = − v x u_y = -e^x\sin y = -v_x u y = − e x sin y = − v x f ′ = u x + i v x = e z f' = u_x + iv_x = e^z f ′ = u x + i v x = e z
예제 3.7. ∣ z ∣ 2 = x 2 + y 2 |z|^2 = x^2 + y^2 ∣ z ∣ 2 = x 2 + y 2 u = x 2 + y 2 u = x^2 + y^2 u = x 2 + y 2 v = 0 v = 0 v = 0 u x = 2 x = v y = 0 u_x = 2x = v_y = 0 u x = 2 x = v y = 0 x = 0 x = 0 x = 0 u y = 2 y = 0 u_y = 2y = 0 u y = 2 y = 0 y = 0 y = 0 y = 0
3.3 정칙함수
정의 3.8. 열린 집합의 모든 점에서 복소 미분가능한 함수를 그 집합에서 정칙 (holomorphic) 또는 해석적 (analytic)이라 합니다. 평면 전체에서 정칙인 함수를 전해석함수 (entire function)라 합니다.
예: 다항식, e z e^z e z sin z \sin z sin z cos z \cos z cos z L o g z \mathrm{Log}\,z Log z ( L o g z ) ′ = 1 / z (\mathrm{Log}\,z)' = 1/z ( Log z ) ′ = 1/ z
미분 규칙. 합, 곱, 몫, 합성의 미분 규칙은 실수와 똑같습니다. 정의의 극한 계산이 같기 때문입니다. 그래서 ( z n ) ′ = n z n − 1 (z^n)' = nz^{n-1} ( z n ) ′ = n z n − 1 ( e z 2 ) ′ = 2 z e z 2 (e^{z^2})' = 2ze^{z^2} ( e z 2 ) ′ = 2 z e z 2
3.4 조화함수
코시–리만 방정식을 한 번 더 미분하면 (u , v u, v u , v u x x = v y x u_{xx} = v_{yx} u xx = v y x u y y = − v x y u_{yy} = -v_{xy} u y y = − v x y
u x x + u y y = 0 , v x x + v y y = 0. u_{xx} + u_{yy} = 0, \qquad v_{xx} + v_{yy} = 0. u xx + u y y = 0 , v xx + v y y = 0. 정의 3.9. Δ u = u x x + u y y = 0 \Delta u = u_{xx} + u_{yy} = 0 Δ u = u xx + u y y = 0 조화함수 (harmonic function)라 합니다. 정칙함수의 실수부와 허수부는 조화함수이고, v v v u u u 조화 켤레 (harmonic conjugate)라 합니다.
라플라스 방정식(미분방정식 9장)의 해가 바로 조화함수입니다. 정상 온도 분포, 정전기 전위, 이상 유체의 속도 퍼텐셜이 조화함수이므로, 2차원 물리 문제는 정칙함수를 찾는 문제로 바뀝니다 (8장).
예제 3.10. u = x 2 − y 2 + 3 x u = x^2 - y^2 + 3x u = x 2 − y 2 + 3 x v y = u x = 2 x + 3 v_y = u_x = 2x + 3 v y = u x = 2 x + 3 v = 2 x y + 3 y + g ( x ) v = 2xy + 3y + g(x) v = 2 x y + 3 y + g ( x ) v x = 2 y + g ′ ( x ) = − u y = 2 y v_x = 2y + g'(x) = -u_y = 2y v x = 2 y + g ′ ( x ) = − u y = 2 y g ′ = 0 g' = 0 g ′ = 0 v = 2 x y + 3 y v = 2xy + 3y v = 2 x y + 3 y f = z 2 + 3 z f = z^2 + 3z f = z 2 + 3 z
3.5 등각성
정칙함수의 미분 f ′ ( z 0 ) = r e i ϕ f'(z_0) = re^{i\phi} f ′ ( z 0 ) = r e i ϕ ϕ \phi ϕ r r r z 0 z_0 z 0 f ( z 0 + h ) ≈ f ( z 0 ) + f ′ ( z 0 ) h f(z_0 + h) \approx f(z_0) + f'(z_0)h f ( z 0 + h ) ≈ f ( z 0 ) + f ′ ( z 0 ) h 모든 방향이 똑같이 회전하고 똑같이 늘어납니다 .
정리 3.11 (등각성). f f f f ′ ( z 0 ) ≠ 0 f'(z_0) \ne 0 f ′ ( z 0 ) = 0 z 0 z_0 z 0 f f f
이런 사상을 등각 사상 (conformal map)이라 합니다. 2장 위젯에서 휘어진 격자선이 여전히 직각으로 만난 이유입니다. f ′ ( z 0 ) = 0 f'(z_0) = 0 f ′ ( z 0 ) = 0 z 2 z^2 z 2
야코비 행렬로 보기. ( x , y ) ↦ ( u , v ) (x, y) \mapsto (u, v) ( x , y ) ↦ ( u , v )
( u x u y v x v y ) = ( a − b b a ) , a + b i = f ′ ( z 0 ) , \begin{pmatrix}u_x & u_y\\v_x & v_y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & -b\\b & a\end{pmatrix}, \qquad a + bi = f'(z_0), ( u x v x u y v y ) = ( a b − b a ) , a + bi = f ′ ( z 0 ) , 곧 회전과 확대의 행렬입니다. 일반적인 2×2 행렬(늘이고 비틀기)과 달리 모양을 찌그러뜨리지 않습니다.
3.6 이 장의 요약
복소 미분은 모든 방향에서 같은 극한이어야 합니다. z ˉ \bar z z ˉ
코시–리만: u x = v y u_x = v_y u x = v y u y = − v x u_y = -v_x u y = − v x f ′ = u x + i v x f' = u_x + iv_x f ′ = u x + i v x
정칙함수의 실수부·허수부는 조화함수(Δ u = 0 \Delta u = 0 Δ u = 0
f ′ ≠ 0 f' \ne 0 f ′ = 0
쓰이는 곳. 2차원 정전기·열전달·유체 문제(조화함수), 지도 투영(메르카토르 도법은 등각), 항공기 날개 설계(주코프스키 변환), 양자역학과 통계역학의 해석적 연속(실수 시간에서 허수 시간으로), 물리학의 분산 관계(크라머스–크로니히 관계는 응답 함수가 위쪽 반평면에서 정칙이라는 사실에서 나옴), 컴퓨터 그래픽스의 등각 매개변수화가 이 장의 개념입니다.
문제
3.1 [개념]
다음 중 평면 전체에서 정칙인 함수는?
z ˉ 2 \bar z^2 z ˉ 2 ∣ z ∣ |z| ∣ z ∣ z sin z z\sin z z sin z R e z \mathrm{Re}\,z Re z
정답 풀이 z z z sin z \sin z sin z z ˉ \bar z z ˉ
3.2 [계산] · 확인 문제
u = x 3 − 3 x y 2 u = x^3 - 3xy^2 u = x 3 − 3 x y 2 v v v v ( 1 , 2 ) v(1, 2) v ( 1 , 2 )
힌트 1 f ( z ) = z 3 f(z) = z^3 f ( z ) = z 3 u u u
정답 풀이 z 3 = ( x 3 − 3 x y 2 ) + i ( 3 x 2 y − y 3 ) z^3 = (x^3 - 3xy^2) + i(3x^2y - y^3) z 3 = ( x 3 − 3 x y 2 ) + i ( 3 x 2 y − y 3 ) v = 3 x 2 y − y 3 v = 3x^2y - y^3 v = 3 x 2 y − y 3 v ( 1 , 2 ) = 3 ⋅ 1 ⋅ 2 − 2 3 = − 2 v(1, 2) = 3\cdot1\cdot2 - 2^3 = -2 v ( 1 , 2 ) = 3 ⋅ 1 ⋅ 2 − 2 3 = − 2
3.3 [계산] · 확인 문제
f ( z ) = z 2 + i z f(z) = z^2 + iz f ( z ) = z 2 + i z f ′ ( 1 + i ) f'(1 + i) f ′ ( 1 + i ) a + b i a + bi a + bi
정답 풀이 f ′ = 2 z + i f' = 2z + i f ′ = 2 z + i f ′ ( 1 + i ) = 2 + 2 i + i = 2 + 3 i f'(1 + i) = 2 + 2i + i = 2 + 3i f ′ ( 1 + i ) = 2 + 2 i + i = 2 + 3 i
3.4 [계산] · 확인 문제
f ( z ) = z 2 f(z) = z^2 f ( z ) = z 2 z 0 = 1 + i z_0 = 1 + i z 0 = 1 + i
힌트 1 길이는 ∣ f ′ ( z 0 ) ∣ |f'(z_0)| ∣ f ′ ( z 0 ) ∣
정답 풀이 f ′ ( z 0 ) = 2 + 2 i f'(z_0) = 2 + 2i f ′ ( z 0 ) = 2 + 2 i ∣ f ′ ∣ = 2 2 |f'| = 2\sqrt2 ∣ f ′ ∣ = 2 2 8 8 8
3.5 [증명]
f = u + i v f = u + iv f = u + i v u u u f f f
풀이 u u u u x = u y = 0 u_x = u_y = 0 u x = u y = 0 v y = u x = 0 v_y = u_x = 0 v y = u x = 0 v x = − u y = 0 v_x = -u_y = 0 v x = − u y = 0 v v v f f f