4장. 경로적분과 코시 정리

실수 적분은 수직선의 구간 위에서 합니다. 복소 적분은 평면 위의 곡선을 따라 합니다. 같은 두 점을 잇는 곡선은 무수히 많으므로 “곡선에 따라 값이 달라지는가”가 핵심 질문이 됩니다. 놀랍게도 정칙함수에서는 답이 “아니오”입니다(코시 정리). 단, 곡선이 함수가 정칙이 아닌 점을 감싸면 이야기가 달라지며, 그 차이를 재는 것이 다음 장들의 유수입니다.

4.1 경로적분

정의 4.1. 곡선 $C$ 를 $z(t)$ ( $a \le t \le b$ )로 나타낼 때

\int_Cf(z)\,dz = \int_a^bf(z(t))\,z'(t)\,dt.

를 경로적분(contour integral)이라 합니다. 시작점과 끝점이 같은 곡선을 닫힌 경로라 하고 $\oint_C$ 로 씁니다. 따로 말하지 않으면 원은 반시계 방향으로 돕니다.

다변수 미적분 9장의 선적분과 같은 생각입니다. 곡선을 잘게 나누어 $f(z_k)\Delta z_k$ 를 더한 것의 극한입니다.

예제 4.2. $C$ : $0$ 에서 $1 + i$ 까지의 선분 $z = (1 + i)t$ , $0 \le t \le 1$ . $f(z) = z^2$ 이면

\int_Cz^2\,dz = \int_0^1(1 + i)^2t^2(1 + i)\,dt = \frac{(1 + i)^3}{3} = \frac{-2 + 2i}{3}.

4.2 가장 중요한 적분

정리 4.3. $C$ 가 중심 $z_0$ , 반지름 $r$ 인 원(반시계 방향)이면

\oint_C(z - z_0)^n\,dz = \begin{cases}2\pi i & (n = -1)\\0 & (n \ne -1)\end{cases}

증명. $z = z_0 + re^{it}$ , $dz = ire^{it}dt$ 이므로 적분은 $\int_0^{2\pi}r^ne^{int}\cdot ire^{it}dt = ir^{n+1}\int_0^{2\pi}e^{i(n+1)t}dt$ . $n = -1$ 이면 $i\cdot2\pi$ , 아니면 $e^{i(n+1)t}$ 가 한 바퀴 돌아 적분이 0입니다. □

반지름 $r$ 과 상관없이 $\oint\frac{dz}{z - z_0} = 2\pi i$ 입니다. 2장에서 원점을 한 바퀴 돌면 로그가 $2\pi i$ 만큼 바뀐다고 했는데, $\frac1z$ 의 원시함수가 $\log z$ 이기 때문에 같은 사실입니다.

4.3 원시함수와 경로 독립

정리 4.4. $F' = f$ 인 정칙함수 $F$ 가 곡선을 포함하는 영역에서 있으면

\int_Cf(z)\,dz = F(z_{\text{끝}}) - F(z_{\text{시작}}).

미적분의 기본정리와 같습니다. 값은 끝점에만 달려 있고, 경로와 상관없으며, 닫힌 경로에서는 0입니다.

예제 4.2는 $F = z^3/3$ 이므로 $\frac{(1 + i)^3}{3}$ 로 바로 나옵니다. 반면 $\frac1z$ 는 원점을 감싸는 영역 전체에서 쓸 원시함수(연속인 로그)가 없으므로 $\oint\frac{dz}z \ne 0$ 이 가능합니다.

4.4 적분의 크기 어림

정리 4.5 (ML 부등식). 곡선 $C$ 의 길이가 $L$ 이고 그 위에서 $|f(z)| \le M$ 이면

\left|\int_Cf(z)\,dz\right| \le ML.

삼각부등식(1장)을 적분으로 쓴 것입니다. 7장에서 큰 반원 위의 적분이 0으로 감을 보일 때 씁니다.

예제 4.6. 반지름 $R$ 인 반원 위에서 $|\frac{1}{z^2 + 1}| \le \frac{1}{R^2 - 1}$ 이고 길이는 $\pi R$ 이므로 적분은 $\frac{\pi R}{R^2 - 1} \to 0$ ( $R \to \infty$ ).

4.5 코시 정리

정리 4.7 (코시 정리). $f$ 가 단순 닫힌 경로 $C$ 와 그 안쪽 전체에서 정칙이면

\oint_Cf(z)\,dz = 0.

증명 개요. $f = u + iv$ , $dz = dx + i\,dy$ 로 쓰면 $\oint f\,dz = \oint(u\,dx - v\,dy) + i\oint(v\,dx + u\,dy)$ . 그린 정리(다변수 미적분 10장)로 각각을 안쪽의 넓이 적분으로 바꾸면 피적분함수가 $-(v_x + u_y)$ 와 $u_x - v_y$ 가 되는데, 코시–리만 방정식에 따라 둘 다 0입니다. □

“단순 닫힌 경로”는 자기 자신과 교차하지 않는 닫힌 곡선입니다. 안쪽 전체라는 조건이 중요합니다. $\frac1z$ 는 단위원 위에서는 정칙이지만 안쪽의 원점에서 정칙이 아니므로 정리가 적용되지 않습니다.

4.6 경로의 변형

따름정리 4.8. 정칙이 아닌 점들을 지나지 않고 경로 $C_1$ 을 $C_2$ 로 연속적으로 변형할 수 있으면 $\oint_{C_1}f\,dz = \oint_{C_2}f\,dz$ 입니다.

$C_1$ 과 $C_2$ 사이의 고리 모양 영역에서 $f$ 가 정칙이므로, 두 경로를 이어 만든 닫힌 경로에 코시 정리를 쓰면 됩니다. 그래서 복잡한 경로는 특이점 주위의 작은 원으로 줄여 계산할 수 있습니다.

예제 4.9. $C$ 가 $|z| = 5$ 이면 $\oint_C\frac{dz}{z - 2} = 2\pi i$ 입니다. 원을 $z = 2$ 주위의 작은 원으로 줄이면 정리 4.3이 됩니다. $C$ 가 $|z| = 1$ 이면 $z = 2$ 가 바깥에 있어 코시 정리로 $0$ 입니다.

4.7 이 장의 요약

$\int_Cf\,dz = \int f(z(t))z'(t)\,dt$ .
$\oint(z - z_0)^n\,dz = 2\pi i$ ( $n = -1$ ), 그 밖에는 0.
원시함수가 있으면 경로와 무관. ML 부등식으로 크기를 어림.
코시 정리: 안쪽 전체에서 정칙이면 $\oint f\,dz = 0$ . 경로는 특이점을 넘지 않는 한 변형 가능.

쓰이는 곳. 유체역학의 순환과 양력(쿠타–주코프스키 정리), 전자기학의 적분 계산, 물리학의 그린 함수와 전파 함수 계산, 신호처리의 역 Z 변환과 역 라플라스 변환(브롬위치 적분은 복소 경로적분), 통계역학의 안장점 근사가 이 장의 적분을 씁니다.

문제

4.1 [계산] · 확인 문제

$|z| = 3$ 을 반시계 방향으로 도는 원 $C$ 에 대해 $\oint_C\frac{dz}{z - 1}$ 을 $2\pi i$ 로 나눈 값은?

정답

풀이

$z = 1$ 이 원 안에 있으므로 적분은 $2\pi i$ 이고, 나누면 1입니다.

4.2 [계산] · 확인 문제

같은 원에서 $\oint_C(z^3 + 5z)\,dz$ 는?

정답

풀이

다항식은 전해석함수이므로 코시 정리로 0입니다.

4.3 [계산] · 확인 문제

$\int_Ce^z\,dz$ 를 $0$ 에서 $i\pi$ 까지의 아무 경로로 계산해 $a + bi$ 로 씁니다.

값	답
$a$	[?]
$b$	[?]

정답

-2
0

풀이

원시함수 $e^z$ 로 $e^{i\pi} - e^0 = -1 - 1 = -2$ 입니다.

4.4 [계산] · 확인 문제

$|z| = 2$ 인 원에서 $\oint\frac{dz}{z^2}$ 은?

정답

풀이

정리 4.3에서 $n = -2 \ne -1$ 이므로 0입니다. ( $-1/z$ 가 원점 밖에서 원시함수입니다.)

4.5 [증명]

$\int_C\bar z\,dz$ 가 $0$ 에서 $1 + i$ 까지 가는 경로에 따라 달라짐을, 선분 $z = (1 + i)t$ 와 꺾은 경로( $0 \to 1 \to 1 + i$ )로 계산해 보입니다.

풀이

선분: $\int_0^1(1 - i)t(1 + i)\,dt = 2\cdot\frac12 = 1$ . 꺾은 경로: $0 \to 1$ 에서 $\int_0^1t\,dt = \frac12$ , $1 \to 1 + i$ 에서 $z = 1 + it$ , $\int_0^1(1 - it)i\,dt = i + \frac12$ . 합은 $1 + i$ 로 선분과 다릅니다. $\bar z$ 가 정칙이 아니기 때문입니다.