5장. 코시 적분 공식과 그 결과

요약

코시 적분 공식, 도함수 공식과 무한 번 미분가능성, 평균값 성질, 리우빌 정리, 대수학의 기본정리, 최대 절댓값 원리

정칙함수는 경계 위의 값만 알면 안쪽 모든 점의 값이 정해집니다. 원 위에서 측정한 온도로 원판 안의 온도를 모두 아는 것과 같습니다. 이 사실을 식으로 쓴 것이 코시 적분 공식이고, 여기서 “한 번 미분가능하면 무한 번 미분가능하다”, “평면 전체에서 유계인 정칙함수는 상수다”, “모든 다항식은 복소수 근을 가진다” 같은 실수 함수에서는 상상할 수 없는 정리들이 차례로 나옵니다.

5.1 코시 적분 공식

정리 5.1 (코시 적분 공식). $f$ 가 단순 닫힌 경로 $C$ 와 그 안쪽에서 정칙이고 $z_0$ 가 $C$ 의 안쪽에 있으면

f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{z - z_0}\,dz.

증명 개요. 4장 따름정리 4.8로 $C$ 를 $z_0$ 둘레의 아주 작은 원 $|z - z_0| = \varepsilon$ 로 줄여도 적분은 같습니다. 그 원 위에서 $f(z) \approx f(z_0)$ 이므로 적분은 $f(z_0)\oint\frac{dz}{z - z_0} = 2\pi if(z_0)$ 에 가까워지고, $\varepsilon \to 0$ 에서 오차는 0으로 갑니다. □

예제 5.2. $C$ : $|z| = 2$ . $\oint_C\frac{e^z}{z - 1}\,dz = 2\pi i\,e^1 = 2\pi ie$ . ( $f = e^z$ , $z_0 = 1$ )

예제 5.3. $\oint_{|z| = 4}\frac{\cos z}{z(z - \pi)}\,dz$ (두 점 $0$ , $\pi \approx 3.14$ 가 모두 원 안에 있습니다). 부분분수 $\frac{1}{z(z - \pi)} = \frac1\pi\left(\frac{1}{z - \pi} - \frac1z\right)$ 로 나누면 $\frac{2\pi i}{\pi}(\cos\pi - \cos0) = 2i(-2) = -4i$ .

5.2 도함수 공식

공식의 양변을 $z_0$ 로 미분하면(적분 기호 안에서 미분)

정리 5.4. 같은 조건에서 $f$ 는 무한 번 미분가능하고

f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}}\,dz.

정칙함수는 한 번 미분가능하면 무한 번 미분가능합니다. 실수에서는 $x|x|$ 처럼 한 번만 미분가능한 함수가 흔하다는 것과 대비됩니다.

예제 5.5. $\oint_{|z| = 1}\frac{e^{2z}}{z^3}\,dz = \frac{2\pi i}{2!}f''(0)$ , $f = e^{2z}$ , $f'' = 4e^{2z}$ 이므로 $\pi i\cdot4 = 4\pi i$ .

5.3 평균값 성질

$C$ 를 중심 $z_0$ , 반지름 $r$ 인 원으로 하고 $z = z_0 + re^{it}$ 를 넣으면

f(z_0) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(z_0 + re^{it})\,dt.

중심의 값은 원 위 값의 평균입니다. 실수부를 취하면 조화함수도 같은 성질을 가집니다. 정상 온도 분포에서 어떤 점의 온도는 그 둘레 원 위 온도의 평균입니다.

5.4 리우빌 정리와 대수학의 기본정리

정리 5.6 (코시 부등식). $|z - z_0| = R$ 위에서 $|f| \le M$ 이면 $|f^{(n)}(z_0)| \le \dfrac{n!M}{R^n}$ .

증명. 도함수 공식에 ML 부등식(4장)을 쓰면 $\frac{n!}{2\pi}\cdot\frac{M}{R^{n+1}}\cdot2\pi R$ . □

정리 5.7 (리우빌 정리). 유계인 전해석함수는 상수입니다.

증명. $|f| \le M$ 이 평면 전체에서 성립하면 코시 부등식에서 $|f'(z_0)| \le M/R$ 이고, $R$ 을 얼마든지 크게 할 수 있으므로 $f' = 0$ . □

실수에서는 $\sin x$ 처럼 유계이면서 상수가 아닌 매끄러운 함수가 있지만, 복소수에서는 $\sin z$ 가 유계가 아닙니다(2장).

정리 5.8 (대수학의 기본정리). 상수가 아닌 복소 계수 다항식은 복소수 근을 적어도 하나 가집니다. 따라서 $n$ 차 다항식은 (중복을 세어) 정확히 $n$ 개의 복소수 근을 가집니다.

증명. 근이 없다면 $1/p(z)$ 는 전해석함수이고, $|z| \to \infty$ 에서 $|p(z)| \to \infty$ 이므로 $1/p$ 는 유계입니다. 리우빌 정리로 $1/p$ 는 상수, 곧 $p$ 가 상수여서 모순입니다. □

선형대수에서 모든 정사각행렬이 (복소) 고윳값을 가진다는 것은 특성다항식에 이 정리를 쓴 결과입니다.

5.5 최대 절댓값 원리

정리 5.9. 유계인 영역에서 정칙이고 경계까지 연속인 함수의 절댓값 $|f|$ 는 최댓값을 경계에서 얻습니다. 안쪽에서 최대이면 상수입니다.

평균값 성질의 결과입니다. 중심이 최대라면 둘레의 평균이 중심 값과 같을 수 없기 때문입니다. 조화함수(온도)도 마찬가지로, 열원이 없는 판의 가장 뜨거운 곳은 가장자리에 있습니다.

5.6 이 장의 요약

코시 적분 공식: $f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\oint\frac{f(z)}{z - z_0}dz$ . 경계가 안쪽을 정합니다.
도함수 공식: 정칙이면 무한 번 미분가능.
평균값 성질, 최대 절댓값 원리.
리우빌: 유계 전해석함수는 상수. 대수학의 기본정리.

쓰이는 곳. 적분 계산(유수 정리의 바탕), 물리학의 경계값 문제(포아송 적분 공식), 신호처리의 최소 위상 시스템과 힐베르트 변환, 수치해석의 복소 단계 미분(complex-step differentiation)과 스펙트럴 방법, 랜덤 행렬 이론의 스틸체스 변환이 이 장의 공식을 씁니다.

문제

5.1 [계산] · 확인 문제

$\oint_{|z| = 2}\frac{z^2 + 1}{z - 1}\,dz$ 를 $\pi i$ 로 나눈 값은?

정답

풀이

$2\pi i\cdot f(1) = 2\pi i\cdot2 = 4\pi i$ 이므로 $4$ 입니다.

5.2 [계산] · 확인 문제

$\oint_{|z| = 1}\frac{\sin z}{z^4}\,dz$ 를 $\pi i$ 로 나눈 값은?

정답

-1/3

풀이

$\frac{2\pi i}{3!}f'''(0)$ , $f = \sin z$ , $f''' = -\cos z$ 이므로 $\frac{2\pi i}{6}(-1) = -\frac{\pi i}{3}$ 입니다.

5.3 [계산] · 확인 문제

$\oint_{|z| = 1}\frac{e^z}{z - 3}\,dz$ 는?

정답

풀이

$z = 3$ 이 원 밖에 있으므로 피적분함수가 원판 전체에서 정칙이고, 코시 정리로 0입니다.

5.4 [계산] · 확인 문제

$|z| = 2$ 위에서 $|f| \le 10$ 인 정칙함수에 대해 코시 부등식이 주는 $|f''(0)|$ 의 상한은?

정답

풀이

$\frac{2!\cdot10}{2^2} = 5$ 입니다.

5.5 [증명]

평균값 성질을 이용해, $|f|$ 가 원판의 중심에서 최대이면 원판 전체에서 $|f|$ 가 상수임을 설명합니다.

풀이

$|f(z_0)| = \left|\frac{1}{2\pi}\int f(z_0 + re^{it})dt\right| \le \frac{1}{2\pi}\int|f(z_0 + re^{it})|dt \le |f(z_0)|$ 입니다. 양 끝이 같으므로 모든 부등호가 등호이고, 둘째 부등호가 등호이려면 원 위에서 $|f| = |f(z_0)|$ 이어야 합니다(연속이므로). 모든 $r$ 에 대해 그러므로 원판 전체에서 $|f|$ 가 상수입니다.