실수에서 1 1 + x 2 \frac{1}{1 + x^2} 1 + x 2 1 1 − x 2 + x 4 − ⋯ 1 - x^2 + x^4 - \cdots 1 − x 2 + x 4 − ⋯ ∣ x ∣ < 1 |x| < 1 ∣ x ∣ < 1 z = ± i z = \pm i z = ± i 1 z − z 0 \frac{1}{z - z_0} z − z 0 1
6.1 거듭제곱급수
정의 6.1. ∑ n = 0 ∞ a n ( z − z 0 ) n \sum_{n=0}^\infty a_n(z - z_0)^n ∑ n = 0 ∞ a n ( z − z 0 ) n z 0 z_0 z 0 거듭제곱급수 (power series)라 합니다.
정리 6.2. 수 R R R 0 ≤ R ≤ ∞ 0 \le R \le \infty 0 ≤ R ≤ ∞ ∣ z − z 0 ∣ < R |z - z_0| < R ∣ z − z 0 ∣ < R ∣ z − z 0 ∣ > R |z - z_0| > R ∣ z − z 0 ∣ > R R R R 수렴 반지름 (radius of convergence)이라 하고, 비율 판정법으로 R = lim ∣ a n a n + 1 ∣ R = \lim\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| R = lim a n + 1 a n
수렴하는 곳은 원판입니다. 실수에서 “수렴 구간”이라 부른 것은 이 원판과 실수축의 교집합입니다.
예제 6.3. ∑ z n = 1 1 − z \sum z^n = \frac{1}{1 - z} ∑ z n = 1 − z 1 ∣ z ∣ < 1 |z| < 1 ∣ z ∣ < 1 R = 1 R = 1 R = 1 z = 1 z = 1 z = 1
6.2 정칙 ⇔ 거듭제곱급수
정리 6.4. f f f ∣ z − z 0 ∣ < R |z - z_0| < R ∣ z − z 0 ∣ < R
f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( z 0 ) n ! ( z − z 0 ) n . f(z) = \sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z - z_0)^n. f ( z ) = n = 0 ∑ ∞ n ! f ( n ) ( z 0 ) ( z − z 0 ) n . 증명 개요. 코시 적분 공식의 1 z − w \frac{1}{z - w} z − w 1
수렴 반지름은 z 0 z_0 z 0 1 1 + z 2 \frac{1}{1 + z^2} 1 + z 2 1 ± i \pm i ± i R = 1 R = 1 R = 1
정리 6.5 (영점은 고립되어 있다). f f f f ( z 0 ) = 0 f(z_0) = 0 f ( z 0 ) = 0 z 0 z_0 z 0 f ( z ) = ( z − z 0 ) m g ( z ) f(z) = (z - z_0)^mg(z) f ( z ) = ( z − z 0 ) m g ( z ) g ( z 0 ) ≠ 0 g(z_0) \ne 0 g ( z 0 ) = 0 m m m 차수 (order)라 합니다.
결과: 두 정칙함수가 선분 하나(또는 수렴하는 점열) 위에서 같으면 연결된 영역 전체에서 같습니다(일치 정리 ). 실수 함수를 복소수로 넓히는 방법이 하나뿐이라는 뜻이며, 해석적 연속 (analytic continuation)의 근거입니다.
6.3 로랑 급수
특이점 근처에서는 음의 거듭제곱도 필요합니다.
정리 6.6 (로랑 급수). f f f r < ∣ z − z 0 ∣ < R r < |z - z_0| < R r < ∣ z − z 0 ∣ < R
f ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ a n ( z − z 0 ) n = ⋯ + a − 2 ( z − z 0 ) 2 + a − 1 z − z 0 ⏟ 주요부 + a 0 + a 1 ( z − z 0 ) + ⋯ . f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z - z_0)^n = \underbrace{\cdots + \frac{a_{-2}}{(z - z_0)^2} + \frac{a_{-1}}{z - z_0}}_{\text{주요부}} + a_0 + a_1(z - z_0) + \cdots. f ( z ) = n = − ∞ ∑ ∞ a n ( z − z 0 ) n = 주요부 ⋯ + ( z − z 0 ) 2 a − 2 + z − z 0 a − 1 + a 0 + a 1 ( z − z 0 ) + ⋯ . 계수는 보통 공식보다 등비급수와 알려진 테일러 급수를 조합해 구합니다.
예제 6.7. f ( z ) = e z z 2 f(z) = \frac{e^z}{z^2} f ( z ) = z 2 e z z = 0 z = 0 z = 0 1 z 2 ( 1 + z + z 2 2 + z 3 6 + ⋯ ) = 1 z 2 + 1 z + 1 2 + z 6 + ⋯ \frac{1}{z^2}(1 + z + \frac{z^2}2 + \frac{z^3}{6} + \cdots) = \frac{1}{z^2} + \frac1z + \frac12 + \frac z6 + \cdots z 2 1 ( 1 + z + 2 z 2 + 6 z 3 + ⋯ ) = z 2 1 + z 1 + 2 1 + 6 z + ⋯
예제 6.8. f ( z ) = 1 z ( z − 1 ) f(z) = \frac{1}{z(z - 1)} f ( z ) = z ( z − 1 ) 1 0 < ∣ z ∣ < 1 0 < |z| < 1 0 < ∣ z ∣ < 1 1 z − 1 = − 1 1 − z = − ( 1 + z + z 2 + ⋯ ) \frac{1}{z - 1} = -\frac{1}{1 - z} = -(1 + z + z^2 + \cdots) z − 1 1 = − 1 − z 1 = − ( 1 + z + z 2 + ⋯ ) f = − 1 z − 1 − z − ⋯ f = -\frac1z - 1 - z - \cdots f = − z 1 − 1 − z − ⋯
6.4 고립 특이점의 분류
f f f z 0 z_0 z 0 z 0 z_0 z 0 고립 특이점 (isolated singularity)이라 하고, 로랑 급수의 주요부로 분류합니다.
종류
주요부
예
z → z 0 z \to z_0 z → z 0
제거 가능 (removable)없음
sin z z \frac{\sin z}{z} z s i n z 유한한 극한
m m m m m m 항이 m m m ( z − z 0 ) − m (z - z_0)^{-m} ( z − z 0 ) − m
1 z 2 \frac{1}{z^2} z 2 1 ∣ f ∣ → ∞ \lvert f\rvert \to \infty ∣ f ∣ → ∞
본질적 (essential)무한히 많음
e 1 / z e^{1/z} e 1/ z 극한 없음
예제 6.9. sin z z = 1 − z 2 6 + ⋯ \frac{\sin z}{z} = 1 - \frac{z^2}{6} + \cdots z s i n z = 1 − 6 z 2 + ⋯ z = 0 z = 0 z = 0
판정 요령. f = g / h f = g/h f = g / h g ( z 0 ) ≠ 0 g(z_0) \ne 0 g ( z 0 ) = 0 h h h z 0 z_0 z 0 m m m z 0 z_0 z 0 m m m 1 z 2 + 1 \frac{1}{z^2 + 1} z 2 + 1 1 ± i \pm i ± i 단순극 , simple pole).
본질적 특이점 근처에서는 함수가 매우 거칠게 움직입니다. e 1 / z e^{1/z} e 1/ z z → 0 + z \to 0^+ z → 0 + ∞ \infty ∞ z → 0 − z \to 0^- z → 0 −
6.5 유수
정의 6.10. z 0 z_0 z 0 1 z − z 0 \frac{1}{z - z_0} z − z 0 1 a − 1 a_{-1} a − 1 유수 (residue)라 하고 R e s ( f , z 0 ) \mathrm{Res}(f, z_0) Res ( f , z 0 )
왜 이 계수만 특별할까요? 4장 정리 4.3 에 따라 z 0 z_0 z 0 ( z − z 0 ) n (z - z_0)^n ( z − z 0 ) n n = − 1 n = -1 n = − 1
∮ f d z = 2 π i a − 1 . \oint f\,dz = 2\pi i\,a_{-1}. ∮ f d z = 2 π i a − 1 . 유수만이 적분에 남는 흔적입니다. 이것이 7장 유수 정리의 핵심입니다.
계산 공식.
단순극: R e s ( f , z 0 ) = lim z → z 0 ( z − z 0 ) f ( z ) \mathrm{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0}(z - z_0)f(z) Res ( f , z 0 ) = lim z → z 0 ( z − z 0 ) f ( z ) f = g / h f = g/h f = g / h h ( z 0 ) = 0 ≠ h ′ ( z 0 ) h(z_0) = 0 \ne h'(z_0) h ( z 0 ) = 0 = h ′ ( z 0 ) g ( z 0 ) h ′ ( z 0 ) \dfrac{g(z_0)}{h'(z_0)} h ′ ( z 0 ) g ( z 0 )
m m m R e s = 1 ( m − 1 ) ! lim z → z 0 d m − 1 d z m − 1 [ ( z − z 0 ) m f ( z ) ] \mathrm{Res} = \dfrac{1}{(m - 1)!}\lim_{z \to z_0}\dfrac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\left[(z - z_0)^mf(z)\right] Res = ( m − 1 )! 1 lim z → z 0 d z m − 1 d m − 1 [ ( z − z 0 ) m f ( z ) ]
예제 6.11. 예제 6.7에서 R e s ( e z / z 2 , 0 ) = 1 \mathrm{Res}(e^z/z^2, 0) = 1 Res ( e z / z 2 , 0 ) = 1 m = 2 m = 2 m = 2 d d z e z ∣ 0 = 1 \frac{d}{dz}e^z|_0 = 1 d z d e z ∣ 0 = 1
예제 6.12. R e s ( 1 z 2 + 1 , i ) = 1 2 z ∣ z = i = 1 2 i = − i 2 \mathrm{Res}\left(\frac{1}{z^2 + 1}, i\right) = \frac{1}{2z}\Big|_{z = i} = \frac{1}{2i} = -\frac i2 Res ( z 2 + 1 1 , i ) = 2 z 1 z = i = 2 i 1 = − 2 i
6.6 이 장의 요약
거듭제곱급수는 원판에서 수렴. 수렴 반지름 = 가장 가까운 특이점까지의 거리.
정칙이면 테일러 전개 가능. 영점은 고립, 일치 정리, 해석적 연속.
로랑 급수: 음의 거듭제곱 포함. 주요부로 제거 가능·극·본질적 특이점을 구별.
유수 a − 1 a_{-1} a − 1 = 2 π i ⋅ R e s = 2\pi i\cdot\mathrm{Res} = 2 π i ⋅ Res
쓰이는 곳. 물리학의 해석적 연속(감마 함수, 리만 제타 함수의 확장, 차원 정규화), 생성함수로 수열의 점근 행동 구하기(가장 가까운 특이점이 증가율을 정함, 이산수학의 생성함수와 이어짐), 제어공학과 신호처리의 극점·영점 분석, 양자장론의 프로파게이터 극점(입자의 질량), 섭동 급수의 수렴 반지름 논의가 이 장의 개념입니다.
문제
6.1 [계산] · 확인 문제
1 z 2 − 2 z + 5 \frac{1}{z^2 - 2z + 5} z 2 − 2 z + 5 1 z = 0 z = 0 z = 0
정답 풀이 특이점은 1 ± 2 i 1 \pm 2i 1 ± 2 i 5 \sqrt5 5
6.2 [개념]
1 − cos z z 4 \frac{1 - \cos z}{z^4} z 4 1 − c o s z z = 0 z = 0 z = 0
제거 가능
1차 극
2차 극
본질적
정답 풀이 1 − cos z = z 2 2 − z 4 24 + ⋯ 1 - \cos z = \frac{z^2}{2} - \frac{z^4}{24} + \cdots 1 − cos z = 2 z 2 − 24 z 4 + ⋯ 1 − cos z z 4 = 1 2 z 2 − 1 24 + ⋯ \frac{1 - \cos z}{z^4} = \frac{1}{2z^2} - \frac{1}{24} + \cdots z 4 1 − c o s z = 2 z 2 1 − 24 1 + ⋯
6.3 [계산] · 확인 문제
R e s ( z + 2 z ( z − 1 ) , 1 ) \mathrm{Res}\left(\dfrac{z + 2}{z(z - 1)}, 1\right) Res ( z ( z − 1 ) z + 2 , 1 )
정답 풀이 단순극이므로 lim z → 1 ( z − 1 ) f = 3 1 = 3 \lim_{z \to 1}(z - 1)f = \frac{3}{1} = 3 lim z → 1 ( z − 1 ) f = 1 3 = 3
6.4 [계산] · 확인 문제
R e s ( e 2 z z 3 , 0 ) \mathrm{Res}\left(\dfrac{e^{2z}}{z^3}, 0\right) Res ( z 3 e 2 z , 0 )
정답 풀이 e 2 z = 1 + 2 z + 2 z 2 + ⋯ e^{2z} = 1 + 2z + 2z^2 + \cdots e 2 z = 1 + 2 z + 2 z 2 + ⋯ e 2 z z 3 \frac{e^{2z}}{z^3} z 3 e 2 z 1 z \frac1z z 1 2 2 2
6.5 [증명]
f = g / h f = g/h f = g / h g ( z 0 ) ≠ 0 g(z_0) \ne 0 g ( z 0 ) = 0 h ( z 0 ) = 0 h(z_0) = 0 h ( z 0 ) = 0 h ′ ( z 0 ) ≠ 0 h'(z_0) \ne 0 h ′ ( z 0 ) = 0 R e s ( f , z 0 ) = g ( z 0 ) / h ′ ( z 0 ) \mathrm{Res}(f, z_0) = g(z_0)/h'(z_0) Res ( f , z 0 ) = g ( z 0 ) / h ′ ( z 0 )
풀이 lim z → z 0 ( z − z 0 ) g ( z ) h ( z ) = lim g ( z ) ⋅ z − z 0 h ( z ) − h ( z 0 ) = g ( z 0 ) h ′ ( z 0 ) \lim_{z \to z_0}(z - z_0)\frac{g(z)}{h(z)} = \lim g(z)\cdot\frac{z - z_0}{h(z) - h(z_0)} = \frac{g(z_0)}{h'(z_0)} lim z → z 0 ( z − z 0 ) h ( z ) g ( z ) = lim g ( z ) ⋅ h ( z ) − h ( z 0 ) z − z 0 = h ′ ( z 0 ) g ( z 0 )