8장. 등각 사상과 응용

요약

등각 사상으로 영역 바꾸기, 리만 사상 정리, 조화함수의 전달, 2차원 정전기와 열전달, 복소 퍼텐셜과 이상 유체, 주코프스키 변환과 날개

복잡한 모양의 영역에서 라플라스 방정식을 푸는 것은 어렵지만, 원판이나 반평면에서는 쉽습니다. 등각 사상은 복잡한 영역을 쉬운 영역으로 “지도를 다시 그리듯” 옮기고, 그곳에서 푼 답을 다시 가져옵니다. 정칙함수가 조화함수를 조화함수로 보내기 때문에 가능한 일입니다. 이 장에서는 이 방법을 정전기, 열전달, 유체 흐름에 써 보고, 비행기 날개 주위의 흐름을 계산하는 주코프스키 변환으로 과목을 마무리합니다.

8.1 등각 사상으로 영역 바꾸기

3장에서 $f'(z_0) \ne 0$ 인 정칙함수는 각을 보존함을 보았습니다. 쓸모 있는 사상 몇 가지:

사상	보내는 것
$w = az + b$	평행이동, 회전, 확대
$w = z^2$	사분면( $0 < \arg z < \pi/2$ ) → 위쪽 반평면
$w = z^{\pi/\alpha}$	각 $\alpha$ 인 쐐기 → 위쪽 반평면
$w = e^z$	띠 $0 < \mathrm{Im}\,z < \pi$ → 위쪽 반평면
$w = \frac{z - i}{z + i}$	위쪽 반평면 → 단위원판

여러 개를 합성하면 더 복잡한 영역도 다룰 수 있습니다.

정리 8.1 (리만 사상 정리). 평면 전체가 아니고 구멍이 없는(단순 연결) 열린 영역은 모두 단위원판으로 가는 등각 사상(일대일, 정칙)을 가집니다.

존재만 보장하고 식을 주지는 않지만, “어떤 모양이든 원판으로 바꿀 수 있다”는 강력한 보장입니다.

8.2 조화함수의 전달

정리 8.2. $w = f(z)$ 가 정칙이고 $\phi(u, v)$ 가 $w$ 평면에서 조화함수이면, $\phi(f(z))$ 는 $z$ 평면에서 조화함수입니다.

근거. $\phi$ 는 국소적으로 어떤 정칙함수 $g$ 의 실수부이고, $\phi \circ f = \mathrm{Re}(g \circ f)$ 이며 $g \circ f$ 는 정칙입니다. □

경계 조건도 경계를 따라 그대로 옮겨집니다. 그래서 쉬운 영역에서 풀고, 사상으로 되가져옵니다.

8.3 정전기와 열전달

예제 8.3 (반평면의 경계값 문제). 위쪽 반평면에서 경계 값이 $x > 0$ 에서 $0$ , $x < 0$ 에서 $T_0$ 인 정상 온도를 구합니다. 편각 $\theta = \mathrm{Arg}\,z$ 는 $\mathrm{Im}\,\mathrm{Log}\,z$ 라 조화함수이고, 양의 실수축에서 $0$ , 음의 실수축에서 $\pi$ 입니다. 그러므로

T(x, y) = \frac{T_0}{\pi}\theta = \frac{T_0}{\pi}\arctan\frac yx \quad (\text{적절한 가지}).

등온선은 원점에서 뻗는 반직선입니다.

예제 8.4 (사분면). 첫째 사분면에서 $x$ 축 경계가 $0$ , $y$ 축 경계가 $T_0$ 이면, $w = z^2$ 로 반평면으로 옮겨 예제 8.3을 쓰면 $T = \frac{T_0}{\pi}\mathrm{Arg}(z^2) = \frac{2T_0}{\pi}\theta$ . $\theta = \pi/4$ (대각선)에서 $T_0/2$ 입니다.

정전기에서는 온도 대신 전위, 등온선 대신 등전위선이며, 수직인 곡선( $\mathrm{Re}$ 와 $\mathrm{Im}$ 의 등위선은 직교)이 전기력선입니다.

8.4 복소 퍼텐셜과 이상 유체

점성이 없고 압축되지 않으며 회전이 없는 2차원 흐름(이상 유체)의 속도 $\mathbf v = (v_x, v_y)$ 는 속도 퍼텐셜 $\phi$ 의 그래디언트이고 $\phi$ 는 조화함수입니다. 조화 켤레 $\psi$ 를 흐름 함수(stream function)라 하면 $\psi$ 의 등위선이 유체 입자가 지나는 유선(streamline)입니다.

정의 8.5. $\Omega(z) = \phi + i\psi$ 를 복소 퍼텐셜(complex potential)이라 합니다. 속도는 $\overline{\Omega'(z)} = v_x + iv_y$ 입니다.

예제 8.6.

$\Omega = Uz$ : 속도 $U$ 인 균일한 흐름. 유선은 가로선.
$\Omega = z^2$ : 모서리를 도는 흐름. 유선 $2xy = c$ 는 쌍곡선.
$\Omega = \frac{m}{2\pi}\mathrm{Log}\,z$ : 원점에서 솟아 나오는 샘(source).

예제 8.7 (원기둥 주위의 흐름). $\Omega = U\left(z + \frac{a^2}z\right)$ . $|z| = a$ 에서 $z = ae^{i\theta}$ 를 넣으면 $\Omega = 2Ua\cos\theta$ 로 실수, 곧 $\psi = 0$ 이라 원이 유선입니다. 멀리서는 $\Omega \approx Uz$ 로 균일한 흐름. 반지름 $a$ 인 원기둥을 지나는 흐름입니다. 속도 $\Omega' = U(1 - a^2/z^2)$ 는 원기둥의 위아래( $z = \pm ia$ )에서 $2U$ 로 가장 빠르고, 앞뒤( $z = \pm a$ )에서 0(정체점)입니다.

8.5 주코프스키 변환과 날개

정의 8.8. $w = z + \dfrac1z$ 를 주코프스키 변환(Joukowski transform)이라 합니다.

단위원 $z = e^{i\theta}$ 를 선분 $[-2, 2]$ 로 보냅니다: $w = 2\cos\theta$ .
중심을 원점에서 조금 옮긴 원을 보내면, 한쪽 끝이 뾰족하고 둥근 날개 단면(airfoil) 모양이 됩니다.

원기둥 주위의 흐름(예제 8.7)은 알고 있으므로, 주코프스키 변환으로 옮기면 날개 주위의 흐름을 얻습니다. 여기에 원 둘레를 도는 순환 $\Gamma$ (복소 퍼텐셜에 $\frac{\Gamma}{2\pi i}\mathrm{Log}\,z$ 를 더함)를 넣어 뾰족한 뒷전에서 흐름이 매끄럽게 떠나게 하면(쿠타 조건), 날개가 받는 양력은 쿠타–주코프스키 정리

L = \rho U\Gamma

로 주어집니다( $\rho$ 는 공기 밀도). 이 정리의 증명이 4·7장의 경로적분과 유수 계산입니다. 20세기 초 항공기 날개 설계가 이 계산에서 출발했습니다.

8.6 이 장의 요약

등각 사상으로 어려운 영역을 쉬운 영역(반평면, 원판)으로. 리만 사상 정리.
정칙 사상은 조화함수를 조화함수로 보냅니다. 경계 조건도 따라옵니다.
정전기·열전달: 편각 $\mathrm{Arg}\,z$ 와 그 합성으로 경계값 문제를 풉니다.
이상 유체: 복소 퍼텐셜 $\Omega = \phi + i\psi$ , 속도 $\overline{\Omega'}$ . 원기둥 흐름 + 주코프스키 변환 = 날개.

쓰이는 곳. 항공·선박 공학의 날개와 프로펠러 설계, 전자기학의 축전기·전송선 설계, 열전달, 지하수 흐름, 지도 제작(등각 투영), 컴퓨터 그래픽스와 의료 영상의 등각 매개변수화(뇌 표면 펼치기), 끈 이론과 통계물리의 등각 장론(2차원 임계 현상)이 이 장의 방법을 씁니다.

문제

8.1 [계산] · 확인 문제

예제 8.4의 사분면 문제에서 $T_0 = 100$ 일 때 점 $(1, \sqrt3)$ 의 온도는?

정답

200/3

풀이

$\theta = \pi/3$ 이므로 $T = \frac{2\cdot100}{\pi}\cdot\frac\pi3 = \frac{200}{3} \approx 66.7$ 입니다.

8.2 [계산] · 확인 문제

원기둥 흐름 $\Omega = U(z + a^2/z)$ 에서 $U = 3$ 일 때 원기둥 꼭대기( $z = ia$ )의 속력은?

정답

풀이

$\Omega'(ia) = U(1 - a^2/(ia)^2) = U(1 + 1) = 2U = 6$ 입니다.

8.3 [계산] · 확인 문제

주코프스키 변환 $w = z + 1/z$ 로 단위원 위의 점 $z = e^{i\pi/3}$ 을 보내면 $w$ 는?

정답

풀이

$w = 2\cos\frac\pi3 = 1$ 입니다.

8.4 [계산] · 확인 문제

주코프스키 변환에서 원 $|z| = 2$ 의 상은 타원입니다. 그 타원의 긴반지름(실수축 방향)은?

정답

2.5

풀이

$z = 2e^{i\theta}$ 이면 $w = 2e^{i\theta} + \frac12e^{-i\theta} = \frac52\cos\theta + \frac32i\sin\theta$ 이므로 긴반지름 $\frac52$ , 짧은반지름 $\frac32$ 입니다.

8.5 [증명]

$\Omega = U(z + a^2/z)$ 에서 원 $|z| = a$ 위의 흐름 함수 $\psi = \mathrm{Im}\,\Omega$ 가 0임을 보이고, 이것이 왜 “유체가 원기둥을 뚫지 않는다”는 뜻인지 설명합니다.

풀이

$z = ae^{i\theta}$ 이면 $a^2/z = ae^{-i\theta}$ 이므로 $\Omega = Ua(e^{i\theta} + e^{-i\theta}) = 2Ua\cos\theta$ 로 실수이고 $\psi = 0$ 입니다. 원이 유선( $\psi$ 의 등위선)이므로 유체 입자는 원을 따라 흐르고 원을 가로지르지 않습니다. 곧 원기둥 표면에서 수직 방향 속도가 0입니다.