7장. 유수 정리와 실적분

$\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{1 + x^2} = \pi$는 아크탄젠트로 구할 수 있지만, $\int_{-\infty}^\infty\frac{\cos x}{1 + x^2}dx = \frac\pi e$는 실수 미적분만으로는 매우 어렵습니다. 복소평면으로 나가 실수축을 큰 반원으로 닫으면, 적분은 안쪽 극점의 유수를 더하는 계산으로 바뀝니다. 이 장의 유수 정리는 물리·공학 논문에서 적분을 계산하는 가장 강력한 도구이고, 역 라플라스 변환이 “극점을 모으는 것”인 이유도 설명합니다.

7.1 유수 정리

정리 7.1 (유수 정리). $f$가 단순 닫힌 경로 $C$ 위와 안쪽에서, 안쪽의 유한 개 특이점 $z_1, \dots, z_k$를 빼고 정칙이면

증명. 4장 따름정리 4.8로 경로를 각 특이점 둘레의 작은 원들로 쪼개면, 6장에서 본 대로 각 원의 적분이 $2\pi i\cdot\mathrm{Res}$입니다. □

예제 7.2. $\oint_{|z| = 2}\frac{dz}{z^2 + 1} = 2\pi i\left(\frac{1}{2i} + \frac{1}{-2i}\right) = 0$. 두 극 $\pm i$가 모두 안에 있고 유수가 상쇄됩니다.

7.2 유리함수의 실적분

$\int_{-\infty}^\infty\frac{p(x)}{q(x)}dx$, 분모의 차수가 분자보다 2 이상 크고 실수 근이 없을 때.

절차.

1. 실수축 $[-R, R]$과 위쪽 반원 $C_R$로 닫힌 경로를 만듭니다.
2. 유수 정리: 전체 적분 $= 2\pi i\sum_{\text{위쪽 반평면}}\mathrm{Res}$.
3. 반원 위의 적분은 ML 부등식으로 0으로 갑니다(차수 차가 2 이상이므로 $|f| \sim 1/R^2$, 길이 $\pi R$).
4. $R \to \infty$이면 실적분 = $2\pi i\sum_{\mathrm{Im}\,z_j > 0}\mathrm{Res}(f, z_j)$.

예제 7.3. $\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{1 + x^2}$. 위쪽 극은 $i$, 유수 $\frac{1}{2i}$. 적분 $= 2\pi i\cdot\frac{1}{2i} = \pi$. 아크탄젠트로 구한 값과 같습니다.

예제 7.4. $\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}$. 위쪽 극 $i$, $2i$.

• $\mathrm{Res}(f, i) = \frac{1}{2i\cdot3} = \frac{1}{6i}$.
• $\mathrm{Res}(f, 2i) = \frac{1}{(-3)\cdot4i} = -\frac{1}{12i}$.
• 적분 $= 2\pi i\left(\frac{1}{6i} - \frac{1}{12i}\right) = \frac{2\pi}{12} = \frac\pi6$.

7.3 삼각함수의 적분

$\int_0^{2\pi}R(\cos\theta, \sin\theta)\,d\theta$는 단위원 $z = e^{i\theta}$로 바꿉니다:

예제 7.5. $\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{2 + \cos\theta}$. 바꾸면 $\oint_{|z| = 1}\frac{1}{2 + \frac{z + z^{-1}}2}\frac{dz}{iz} = \oint\frac{2\,dz}{i(z^2 + 4z + 1)}$. 근 $z = -2 \pm\sqrt3$ 가운데 단위원 안은 $-2 + \sqrt3$이고, 유수는 $\frac{2}{i\cdot2\sqrt3} = \frac{1}{i\sqrt3}$. 적분 $= 2\pi i\cdot\frac{1}{i\sqrt3} = \frac{2\pi}{\sqrt3}$.

7.4 푸리에형 적분

$\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{ikx}dx$($k > 0$)는 위쪽 반평면에서 $|e^{ikz}| = e^{-k\,\mathrm{Im}\,z} \le 1$이라 반원 위에서 더 잘 줄어듭니다.

정리 7.6 (조르당 보조정리). $k > 0$이고 반원 위에서 $|f(z)| \to 0$이면(차수 차가 1이어도) $\int_{C_R}f(z)e^{ikz}dz \to 0$.

예제 7.7. $\int_{-\infty}^\infty\frac{\cos x}{1 + x^2}dx = \mathrm{Re}\int\frac{e^{ix}}{1 + x^2}dx$. 위쪽 극 $i$에서 유수 $\frac{e^{i\cdot i}}{2i} = \frac{e^{-1}}{2i}$. 적분 $= 2\pi i\cdot\frac{e^{-1}}{2i} = \frac\pi e$.

이것은 $\frac{1}{1 + x^2}$(로렌츠 분포, 공명 곡선의 모양)의 푸리에 변환이 $\pi e^{-|k|}$라는 계산과 같습니다(푸리에 해석 7장).

7.5 역 라플라스 변환과 극점

미분방정식 8장의 역 라플라스 변환은 복소 적분

으로 쓸 수 있습니다(브롬위치 적분). 이 세로선을 왼쪽 큰 반원으로 닫으면 유수 정리로

예제 7.8. $F(s) = \frac{1}{(s + 1)(s + 2)}$: 유수 $\frac{e^{-t}}{1}$과 $\frac{e^{-2t}}{-1}$, 합 $e^{-t} - e^{-2t}$. 미분방정식 8장의 부분분수 결과와 같습니다. 각 극점 $s_j$가 해에 $e^{s_jt}$ 항 하나를 줍니다. 그래서 극점의 실수부가 감쇠율, 허수부가 진동수입니다.

7.6 편각 원리

정리 7.9 (편각 원리). $f$가 $C$ 안에서 극을 빼고 정칙이고 $C$ 위에 영점·극이 없으면

$Z$는 안쪽 영점의 수, $P$는 극의 수(차수만큼 셈)입니다.

$\frac{f'}{f} = (\log f)'$이므로 좌변은 $C$를 한 바퀴 도는 동안 $f(z)$가 원점을 몇 바퀴 감는지입니다. 제어공학의 나이퀴스트 안정성 판정은 이 원리로, 주파수 응답 그림이 $-1$을 몇 번 감는지 세어 불안정한 극점의 수를 알아냅니다.

7.7 이 장의 요약

• 유수 정리: $\oint f\,dz = 2\pi i\sum\mathrm{Res}$.
• 유리함수의 실적분: 위쪽 반원으로 닫고 위쪽 극의 유수를 더함.
• 삼각함수의 적분: $z = e^{i\theta}$로 단위원 적분.
• $e^{ikx}$가 든 적분: 조르당 보조정리. 역 라플라스 변환 = 극점의 유수 합.
• 편각 원리: 영점 수 − 극 수 = 감는 횟수.

쓰이는 곳. 물리학의 그린 함수와 전파 함수(극점을 위·아래로 비켜 가는 $i\varepsilon$ 처방은 인과율을 정함), 응집물질 물리의 마쓰바라 합, 통계역학과 확률론의 특성함수 역변환, 제어공학의 나이퀴스트 판정, 신호처리의 역 Z 변환, 수론의 소수 정리 증명, 랜덤 행렬과 자유 확률론 계산이 유수 정리를 씁니다.

문제

1

π/3

π/2

0.4252