9장. 편미분방정식 맛보기

막대의 온도는 시간에 따라서도, 위치에 따라서도 변합니다. 기타 줄의 높이, 방 안의 공기 압력, 금속판의 전위도 마찬가지입니다. 변수가 둘 이상인 이런 양은 편미분방정식으로 기술됩니다. 이 장에서는 물리학의 세 대표 방정식을 소개하고, 그 가운데 열방정식과 파동방정식을 변수분리와 푸리에 급수로 풉니다. 푸리에가 푸리에 급수를 만든 동기가 바로 이 열방정식이었습니다.

9.1 세 대표 방정식

$u(x, t)$에 대해 $u_t = \partial u/\partial t$, $u_{xx} = \partial^2u/\partial x^2$로 씁니다.

열방정식의 뜻. $u_{xx}$는 곡률입니다. 어떤 점의 온도가 주변 평균보다 낮으면($u_{xx} > 0$, 아래로 볼록) 온도가 오르고, 높으면 내려갑니다. 그래서 온도의 울퉁불퉁함이 시간이 지나며 평평해집니다.

편미분방정식은 초기 조건(처음 모양) 외에 경계 조건(boundary condition)이 필요합니다. 예: 길이 $L$인 막대의 양 끝을 0°C로 유지하면 $u(0, t) = u(L, t) = 0$(디리클레 조건).

9.2 변수분리

아이디어. 해를 $u(x, t) = X(x)T(t)$ 꼴로 찾습니다. 열방정식에 넣으면 $XT' = \alpha X''T$, 양변을 $\alpha XT$로 나누면

왼쪽은 $t$만의 함수, 오른쪽은 $x$만의 함수인데 항상 같으므로 둘 다 상수여야 합니다. 이 상수를 $-\lambda$라 하면 상미분방정식 두 개로 나뉩니다.

경계 조건이 $\lambda$를 정합니다. $X(0) = X(L) = 0$을 만족하는 0이 아닌 해는 $\lambda = (n\pi/L)^2$일 때만 있고, 그때 $X_n = \sin\frac{n\pi x}L$($n = 1, 2, \dots$)입니다(3장: $\lambda > 0$이면 $\sin$, $\cos$). 이것은 미분 연산자 $d^2/dx^2$의 고윳값 문제입니다. 5장의 행렬 고유벡터처럼, 이 고유함수 방향으로는 방정식이 서로 독립으로 갈라집니다.

9.3 열방정식의 해

각 $n$에 대해 $T_n = e^{-\alpha(n\pi/L)^2t}$이고, 중첩 원리로

$t = 0$에서 $u(x, 0) = f(x) = \sum b_n\sin\frac{n\pi x}L$이므로 $b_n$은 $f$의 푸리에 사인 계수입니다(푸리에 해석 5장).

해석. 진동수 $n$의 성분은 $e^{-\alpha n^2\pi^2t/L^2}$로 감쇠합니다. 진동수가 높을수록(울퉁불퉁할수록) $n^2$에 비례해 훨씬 빨리 사라집니다. 그래서 오래 지나면 가장 낮은 모드 $\sin\frac{\pi x}L$만 남습니다. 열방정식이 “매끄럽게 만드는” 방정식인 이유입니다.

예제 9.1. $L = \pi$, $\alpha = 1$, $u(x, 0) = 3\sin x + \sin4x$이면 $u = 3e^{-t}\sin x + e^{-16t}\sin4x$. $t = 0.5$에서 둘째 성분은 처음의 $e^{-8} \approx 0.0003$배로 거의 사라집니다.

9.4 파동방정식과 정상파

양 끝이 고정된 줄 $u_{tt} = c^2u_{xx}$, $u(0, t) = u(L, t) = 0$에 같은 변수분리를 하면 $T'' + c^2\lambda T = 0$이므로 시간 부분이 진동합니다.

각 항은 제자리에서 진동하는 정상파(standing wave)이고, 진동수는 $f_n = \frac{nc}{2L}$입니다. $n = 1$이 기본음, $n = 2, 3, \dots$이 배음입니다. 기타 줄을 짧게 잡으면($L$ 감소) 높은 음이, 줄을 세게 당기면($c$ 증가) 높은 음이 납니다.

열방정식과 달리 감쇠가 없습니다. 열은 $T' \propto -T$(1계, 감쇠), 파동은 $T'' \propto -T$(2계, 진동)이기 때문입니다.

9.5 확산과 확률

무한한 직선 위의 열방정식 $u_t = \frac12u_{xx}$에서 처음에 한 점에 모인 열($u(x, 0) = \delta(x)$)의 해는

곧 평균 0, 분산 $t$인 정규분포의 밀도입니다. 무작위로 걷는 입자들(브라운 운동)의 분포가 열방정식을 따르고, 퍼짐의 폭이 $\sqrt t$로 커집니다(확률과 통계 6장의 $\sqrt n$).

확산 모델(diffusion model)은 데이터에 잡음을 조금씩 더해 이 확산 과정을 따라 정규분포로 보낸 뒤, 그 과정을 거꾸로 되돌리는 법을 신경망으로 배웁니다. 이름의 “확산”이 바로 이 열방정식입니다.

9.6 수치 풀이: 격자

식으로 풀 수 없으면 공간과 시간을 격자로 나눕니다. $u_j^n \approx u(j\Delta x, n\Delta t)$로 두고 도함수를 차분으로 바꾸면 ($u_{xx} \approx \frac{u_{j+1} - 2u_j + u_{j-1}}{\Delta x^2}$)

각 점의 새 값은 이웃과의 차이만큼 평균 쪽으로 움직입니다. 7장의 오일러 방법과 같아서 안정성 조건이 있습니다: $r \le \frac12$. 공간 격자를 절반으로 줄이면 시간 간격은 $\frac14$로 줄여야 합니다.

9.7 이 장의 요약

• 열(확산), 파동(진동), 라플라스(평형). 초기 조건 + 경계 조건.
• 변수분리 $u = X(x)T(t)$ → 고윳값 문제 $X'' + \lambda X = 0$.
• 열: 모드마다 $e^{-\alpha(n\pi/L)^2t}$, 높은 진동수가 먼저 사라짐. 파동: 정상파, 진동수 $nc/(2L)$.
• 열방정식의 기본해 = 정규분포. 격자 풀이는 $r \le 1/2$.

쓰이는 곳. 열전달과 재료 공학, 음향과 악기, 전자기학(맥스웰 방정식에서 나오는 파동방정식), 양자역학(슈뢰딩거 방정식은 허수 계수의 열방정식 꼴), 금융공학(블랙–숄즈 방정식은 변수를 바꾸면 열방정식), 확산 모델과 점수 기반 생성 모델, 물리 정보 신경망(PINN)과 신경 연산자(Fourier Neural Operator)가 이 장의 방정식을 다룹니다.

문제

1.1036

220

9

0.005