8장. 라플라스 변환

요약

라플라스 변환의 정의와 기본 쌍, 도함수의 변환, 미분방정식을 대수 방정식으로, 부분분수와 역변환, 계단함수와 충격, 전달함수와 극점

로그가 곱셈을 덧셈으로 바꾸어 계산을 쉽게 하듯이, 라플라스 변환은 미분을 곱셈으로 바꾸어 미분방정식을 대수 방정식으로 만듭니다. 초기 조건이 자동으로 들어가고, 스위치를 켜는 순간이나 망치로 치는 충격처럼 불연속인 입력도 자연스럽게 다룹니다. 전기·기계·제어공학에서 시스템을 기술하는 표준 언어이며, “전달함수의 극점”이라는 말을 이해하는 것이 이 장의 목표입니다.

8.1 정의

정의 8.1. $t \ge 0$ 에서 정의된 $f(t)$ 의 라플라스 변환(Laplace transform)은

F(s) = \mathcal L\{f\}(s) = \int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt.

$e^{-st}$ 가 빠르게 줄어들어 적분이 수렴하는 $s$ 에서 정의됩니다. 푸리에 변환(푸리에 해석 6장)에서 $i\omega$ 자리에 $s$ 를 넣고 $t \ge 0$ 만 본 것과 비슷합니다.

예제 8.2. $\mathcal L\{e^{at}\} = \int_0^\infty e^{-(s - a)t}dt = \dfrac{1}{s - a}$ ( $s > a$ ). $a = 0$ 이면 $\mathcal L\{1\} = \dfrac1s$ .

8.2 기본 쌍과 성질

$f(t)$	$F(s)$
$1$	$1/s$
$t^n$	$n!/s^{n+1}$
$e^{at}$	$1/(s - a)$
$\sin\omega t$	$\omega/(s^2 + \omega^2)$
$\cos\omega t$	$s/(s^2 + \omega^2)$
$e^{at}f(t)$	$F(s - a)$

선형성: $\mathcal L\{af + bg\} = aF + bG$ .
이동: $e^{at}$ 를 곱하면 $s$ 가 $a$ 만큼 이동. 그래서 $\mathcal L\{e^{at}\sin\omega t\} = \frac{\omega}{(s - a)^2 + \omega^2}$ .

8.3 도함수의 변환

정리 8.3.

\mathcal L\{f'\} = sF(s) - f(0), \qquad \mathcal L\{f''\} = s^2F(s) - sf(0) - f'(0).

증명. 부분적분: $\int_0^\infty e^{-st}f'\,dt = [e^{-st}f]_0^\infty + s\int_0^\infty e^{-st}f\,dt = -f(0) + sF$ . 두 번 쓰면 둘째 식. □

미분이 $s$ 를 곱하는 것이 되고, 초기 조건이 저절로 들어갑니다.

8.4 미분방정식 풀기

절차: (1) 양변을 변환, (2) $Y(s)$ 에 대해 대수적으로 풀기, (3) 부분분수로 나누어 표를 거꾸로 읽기(역변환).

예제 8.4. $y'' + 3y' + 2y = 0$ , $y(0) = 1$ , $y'(0) = 0$ .

$s^2Y - s + 3(sY - 1) + 2Y = 0$ 이므로 $(s^2 + 3s + 2)Y = s + 3$ ,

Y = \frac{s + 3}{(s + 1)(s + 2)} = \frac{2}{s + 1} - \frac{1}{s + 2}.

표를 거꾸로 읽으면 $y = 2e^{-t} - e^{-2t}$ .

분모 $s^2 + 3s + 2$ 는 3장의 특성다항식과 같습니다. 그 근이 해의 지수를 정합니다.

예제 8.5. $y' + y = e^{-2t}$ , $y(0) = 0$ . $(s + 1)Y = \frac{1}{s + 2}$ , $Y = \frac{1}{(s + 1)(s + 2)} = \frac{1}{s + 1} - \frac{1}{s + 2}$ , $y = e^{-t} - e^{-2t}$ .

8.5 계단함수와 충격

정의 8.6. 헤비사이드 계단함수(Heaviside step function) $u(t - a)$ 는 $t < a$ 에서 0, $t \ge a$ 에서 1입니다. 스위치를 시각 $a$ 에 켜는 것입니다.

정리 8.7 (시간 이동). $\mathcal L\{u(t - a)f(t - a)\} = e^{-as}F(s)$ .

$a$ 만큼 늦게 시작하면 $e^{-as}$ 를 곱합니다.

디랙 델타(푸리에 해석 9장) $\delta(t - a)$ 는 시각 $a$ 의 순간적인 충격으로, $\mathcal L\{\delta(t - a)\} = e^{-as}$ , $\mathcal L\{\delta\} = 1$ 입니다.

예제 8.8. $y' + 2y = \delta(t)$ , $y(0^-) = 0$ . $(s + 2)Y = 1$ , $y = e^{-2t}$ . 충격을 받은 순간 값이 1로 뛰고 그 뒤 감쇠합니다. 이것을 충격 응답(impulse response)이라 합니다.

8.6 전달함수와 극점

초기 조건이 0인 선형 시스템 $ay'' + by' + cy = x(t)$ 를 변환하면 $Y(s) = H(s)X(s)$ ,

H(s) = \frac{1}{as^2 + bs + c}.

$H$ 를 전달함수(transfer function)라 합니다. 충격 응답 $h(t)$ 의 라플라스 변환이 $H(s)$ 이고, 시간 영역에서 출력은 입력과 충격 응답의 합성곱 $y = h * x$ 입니다(푸리에 해석 10장의 LTI 시스템과 같은 구조).

정의 8.9. $H(s)$ 의 분모가 0이 되는 $s$ 를 극점(pole)이라 합니다.

정리 8.10. 모든 극점의 실수부가 음수이면 시스템은 안정합니다(충격 응답이 0으로 감). 극점이 허수축에 가까울수록 감쇠가 약하고, 허수부가 진동수를 줍니다.

5장의 “고윳값의 실수부 < 0”과 같은 조건입니다. 제어공학자들은 극점을 복소평면 왼쪽 반에 배치하도록 제어기를 설계합니다. $s = i\omega$ 를 넣은 $H(i\omega)$ 는 4장의 주파수 응답입니다.

8.7 이 장의 요약

$F(s) = \int_0^\infty e^{-st}f\,dt$ . 미분 → $s$ 곱하기(초기 조건 포함).
풀이: 변환 → 대수 → 부분분수 → 역변환.
계단함수의 시간 이동은 $e^{-as}$ , 충격은 1.
전달함수 $H(s)$ , 극점의 실수부 < 0이면 안정. $H(i\omega)$ 는 주파수 응답.

쓰이는 곳. 제어공학(PID 제어, 근궤적, 보드 선도), 회로 해석(임피던스 $sL$ , $1/(sC)$ ), 신호처리(이산판인 Z 변환, 디지털 필터), 기계 진동, 확률론의 적률생성함수(확률과 통계 3장: $M(t) = E[e^{tX}]$ 는 라플라스 변환의 친척), 상태공간 모델(S4) 논문의 커널 계산이 이 장의 도구입니다.

문제

8.1 [계산] · 확인 문제

$\mathcal L\{3t^2\}$ 를 $s = 2$ 에서 계산하면?

정답

0.75

풀이

$3\cdot\frac{2!}{s^3} = \frac{6}{s^3}$ , $s = 2$ 에서 $\frac68 = 0.75$ 입니다.

8.2 [계산] · 확인 문제

$Y(s) = \dfrac{5}{(s - 1)(s + 4)}$ 를 $\dfrac{A}{s - 1} + \dfrac{B}{s + 4}$ 로 나눕니다.

계수	값
$A$	[?]
$B$	[?]

정답

1
-1

풀이

$5 = A(s + 4) + B(s - 1)$ 에 $s = 1$ 을 넣으면 $A = 1$ , $s = -4$ 를 넣으면 $B = -1$ 입니다. 그러므로 $y = e^t - e^{-4t}$ 입니다.

8.3 [계산] · 확인 문제

$y'' + 4y = 0$ , $y(0) = 0$ , $y'(0) = 6$ 을 라플라스 변환으로 풀 때 $y(\pi/4)$ 는?

정답

풀이

$s^2Y - 6 + 4Y = 0$ , $Y = \frac{6}{s^2 + 4} = 3\cdot\frac{2}{s^2 + 4}$ 이므로 $y = 3\sin2t$ , $y(\pi/4) = 3$ 입니다.

8.4 [개념]

전달함수 $H(s) = \dfrac{1}{s^2 - s + 4}$ 인 시스템은?

안정하고 진동하지 않음
안정하고 감쇠 진동
불안정(진폭이 커지는 진동)
안정 여부를 알 수 없음

정답

풀이

극점 $\frac{1 \pm i\sqrt{15}}{2}$ 의 실수부가 $\frac12 > 0$ 이므로 불안정하고, 허수부가 있어 진동하며 커집니다.

8.5 [증명]

$\mathcal L\{\sin\omega t\} = \dfrac{\omega}{s^2 + \omega^2}$ 임을 $\sin\omega t = \frac{e^{i\omega t} - e^{-i\omega t}}{2i}$ 와 예제 8.2로 보입니다.

풀이

선형성으로 $\frac{1}{2i}\left(\frac{1}{s - i\omega} - \frac{1}{s + i\omega}\right) = \frac{1}{2i}\cdot\frac{2i\omega}{s^2 + \omega^2} = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}$ 입니다.