6장. 푸리에 변환: 유도와 정의

요약

급수에서 변환으로 넘어가는 유도, 정의와 읽는 법, 2π의 관례, 존재 조건과 리만–르베그 보조정리, 역변환 정리, 세 변환의 비교

주기가 없는 신호(예: 한 번 치는 박수 소리)는 어떻게 주파수로 풀까요? 푸리에 급수에서 주기를 무한히 늘리면 주파수가 연속으로 퍼지고, 합이 적분이 됩니다. 이 장에서는 그렇게 푸리에 변환을 유도하고 정의합니다.

주기함수가 아닌 함수는 어떻게 할까요? 주기가 무한대인 주기함수로 보면 됩니다.

6.1 급수에서 변환으로: T → ∞

$x(t)$ 가 $|t| > a$ 에서 0인 함수라 하자(뒤에 이 조건은 풉니다). $T > 2a$ 를 잡고 $x$ 를 주기 $T$ 로 반복한 주기함수를 $x_T$ 라 합니다. 구간 $[-T/2, T/2]$ 에서는 $x_T = x$ 입니다. $x_T$ 의 푸리에 계수는

c_k = \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} x(t)e^{-jk\omega_0 t}\, dt = \frac{1}{T}\int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-jk\omega_0 t}\, dt

입니다. 적분 구간을 넓혀도 되는 것은 $x$ 가 바깥에서 0이기 때문입니다. 이제 $T$ 에 의존하지 않는 함수

X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}\, dt

를 정의하면 $c_k = \frac{1}{T}X(k\omega_0)$ 입니다. 푸리에 계수는 하나의 연속 함수 $X(\omega)$ 를 간격 $\omega_0 = 2\pi/T$ 로 읽은 표본이다(그림 6.1). 급수에 대입하고 $\frac{1}{T} = \frac{\omega_0}{2\pi}$ 를 쓰면, $|t| < T/2$ 에서

x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{1}{T}X(k\omega_0)e^{jk\omega_0 t} = \frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(k\omega_0)\, e^{jk\omega_0 t}\, \omega_0

입니다. 마지막 식은 함수 $X(\omega)e^{j\omega t}$ 를 폭 $\Delta\omega = \omega_0$ 인 띠로 나눈 리만 합입니다. $T \to \infty$ 이면 $\omega_0 \to 0$ 이고, 표본점 $k\omega_0$ 가 $\omega$ 축을 빽빽하게 채우며, 합은 적분이 됩니다.

x(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} X(\omega)e^{j\omega t}\, d\omega

$폭 1인 펄스를 주기 T = 2, 4, 8로 반복한 신호(왼쪽)와 그 푸리에 계수 T·c_k(오른쪽). 계수의 끝점이 모두 같은 파선 곡선 위에 있고, T가 클수록 선 간격만 촘촘해집니다.$

그림 6.1. 폭 1인 펄스를 주기 $T$ 로 반복한 신호와 그 푸리에 계수(5장 예제 5.6). $Tc_k$ 는 항상 같은 곡선 $X(\omega) = \frac{2}{\omega}\sin\frac{\omega}{2}$ (파선) 위에 있고, $T$ 가 커지면 선 간격 $\omega_0$ 만 촘촘해집니다.

6.2 정의

정의 6.1 (푸리에 변환).

\begin{aligned} \text{푸리에 변환 (분석):}\quad & X(\omega) = \mathcal{F}\{x\}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\, e^{-j\omega t}\, dt \\ \text{역변환 (합성):}\quad & x(t) = \mathcal{F}^{-1}\{X\}(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} X(\omega)\, e^{j\omega t}\, d\omega \end{aligned}

이 관계를 $x(t) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X(\omega)$ 로 씁니다.

$X(\omega)$ 를 $x$ 의 스펙트럼(spectrum)이라 합니다. 복소수 값이므로 극형식 $X(\omega) = |X(\omega)|e^{j\angle X(\omega)}$ 로 쓰고 $|X(\omega)|$ 를 크기 스펙트럼, $\angle X(\omega)$ 를 위상 스펙트럼이라 합니다.

두 식을 읽는 법

합성식. $x(t)$ 는 모든 주파수의 복소지수함수 $e^{j\omega t}$ 를 무게 $\frac{1}{2\pi}X(\omega)\, d\omega$ 로 더한 것입니다. 급수에서는 주파수 $k\omega_0$ 마다 유한한 진폭 $c_k$ 가 있었지만, 여기서는 주파수가 연속이라 한 주파수의 진폭은 무한히 작고 $X(\omega)$ 는 밀도다. $x$ 의 단위가 볼트이면 $X$ 의 단위는 V·s, 즉 V/Hz다. 질량과 밀도의 관계와 같습니다. 한 점의 질량은 0이지만 밀도를 구간에서 적분하면 질량이 됩니다.

분석식. $X(\omega) = \langle x, e^{j\omega t} \rangle$ , 즉 $x$ 와 주파수 $\omega$ 인 복소지수함수의 내적입니다. $x$ 에 $e^{-j\omega t}$ 를 곱하면 $x$ 안의 $e^{j\omega t}$ 성분은 회전이 멈춰 상수가 되고, 다른 주파수 성분은 계속 돌아서 적분하면 상쇄됩니다. 계수 공식과 완전히 같은 원리입니다.

실수 신호

$x(t)$ 가 실수이면 $X(-\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{j\omega t}\, dt = X(\omega)^*$ 입니다. 따라서 $|X|$ 는 우함수, $\angle X$ 는 기함수이고, 합성식에서 $\pm\omega$ 를 묶으면

x(t) = \frac{1}{\pi}\int_0^\infty |X(\omega)|\cos\left(\omega t + \angle X(\omega)\right)d\omega \qquad (6.1)

입니다. 실수 신호는 진폭 밀도 $|X(\omega)|/\pi$ , 위상 $\angle X(\omega)$ 인 코사인들의 중첩입니다. 음의 주파수 절반은 양의 주파수 절반의 켤레일 뿐 새 정보가 없습니다.

6.3 관례: 2π의 위치

푸리에 변환의 정의는 분야마다 다릅니다. 내용은 같고 상수의 위치만 다릅니다. 다른 책이나 소프트웨어를 볼 때 가장 먼저 확인할 것이 이것입니다.

관례	변환	역변환	주로 쓰는 곳
(A) 각주파수, 비대칭	$X(\omega) = \int xe^{-j\omega t}\, dt$	$x = \frac{1}{2\pi}\int Xe^{j\omega t}\, d\omega$	전기공학, 제어 (여기서 쓰는 관례)
(B) 주파수(Hz)	$\hat{X}(f) = \int xe^{-j2\pi ft}\, dt$	$x = \int \hat{X}e^{j2\pi ft}\, df$	통신, 신호처리, 광학
(C) 각주파수, 대칭	$\tilde{X}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int xe^{-j\omega t}\, dt$	$x = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int \tilde{X}e^{j\omega t}\, d\omega$	수학, 물리학

서로의 관계는 $\hat{X}(f) = X(2\pi f)$ , $\tilde{X}(\omega) = X(\omega)/\sqrt{2\pi}$ 입니다. (B)는 $\omega = 2\pi f$ , $d\omega = 2\pi\, df$ 로 치환한 것이라 $2\pi$ 가 지수 안으로 들어가고 앞의 상수가 사라집니다. (B)와 (C)는 변환이 유니터리가 되어 파세발 등식에 상수가 붙지 않습니다. 물리학 일부에서는 지수의 부호도 반대로 잡습니다. 여기의 공식을 다른 관례로 옮길 때 달라지는 부분은 “부록 A. 공식 모음”의 표에 정리했습니다.

6.4 존재 조건

정리 6.2. $x \in L^1$ , 즉 $\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|\, dt < \infty$ 이면 $X(\omega)$ 는 모든 $\omega$ 에서 존재하고 다음을 만족합니다.

유계입니다: $|X(\omega)| \le \int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|\, dt$ .
$\omega$ 의 연속함수입니다.
(리만–르베그 보조정리) $|\omega| \to \infty$ 일 때 $X(\omega) \to 0$ 입니다.

증명. (1) $|X(\omega)| \le \int |x(t)||e^{-j\omega t}|\, dt = \int |x(t)|\, dt$ 입니다. $|e^{-j\omega t}| = 1$ 이 전부입니다. (2)는 생략합니다. (3)은 아래 정리입니다. $\blacksquare$

정리 6.3 (리만–르베그 보조정리). $g$ 가 절대적분가능하면 $\displaystyle\lim_{|\omega| \to \infty}\int g(t)e^{-j\omega t}\, dt = 0$ 입니다. $e^{-j\omega t}$ 대신 $\sin\omega t$ , $\cos\omega t$ 여도 같습니다.

증명 ( $g$ 가 미분가능하고 $g'$ 도 절대적분가능하며 $g(\pm\infty) = 0$ 인 경우). 부분적분으로

\int g(t)e^{-j\omega t}\, dt = \left[\frac{g(t)e^{-j\omega t}}{-j\omega}\right]_{-\infty}^{\infty} + \frac{1}{j\omega}\int g'(t)e^{-j\omega t}\, dt

입니다. 경계항은 0이고 둘째 항의 크기는 $\frac{1}{|\omega|}\int |g'|\, dt \to 0$ 입니다. 일반적인 $g$ 는 이런 함수로 $L^1$ 에서 근사하여 증명합니다. $\blacksquare$

뜻은 이렇습니다. 얌전한 함수에 매우 빠른 진동을 곱하면 이웃한 양과 음이 상쇄됩니다. 어떤 신호든 충분히 높은 주파수 성분은 0에 가까워집니다.

$L^1$ 은 충분조건이지 필요조건이 아닙니다.

유한 에너지 신호 $L^2$ . $\int |x|^2 < \infty$ 이면 $L^1$ 이 아니어도 푸리에 변환을 정의할 수 있고(적분 구간을 $[-R, R]$ 로 자른 뒤 $R \to \infty$ 의 평균제곱 극한), $X$ 도 $L^2$ 에 속하며 에너지가 보존됩니다(플랑셰렐 정리, 8장 8.9절). $\frac{\sin t}{t}$ 가 그런 예입니다.
에너지도 무한한 신호. 상수 1, $\cos\omega_0 t$ , 계단함수 $u(t)$ 는 적분이 수렴하지 않습니다. 그러나 가장 중요한 신호들이므로 델타함수를 도입해 뜻을 줍니다(9장).

6.5 역변환 정리

6.1절의 유도는 리만 합의 극한을 엄밀히 따지지 않았습니다. 역변환 공식이 정말 성립하는지 따로 확인해야 합니다.

정리 6.4 (푸리에 역변환 정리). $x \in L^1$ 이고 구간별로 매끄러우면 모든 $t$ 에서

\lim_{\Omega \to \infty}\frac{1}{2\pi}\int_{-\Omega}^{\Omega}X(\omega)e^{j\omega t}\, d\omega = \frac{x(t^+) + x(t^-)}{2}

입니다. 특히 $x$ 가 연속인 점에서는 $x(t)$ 와 같습니다. $X$ 도 절대적분가능하면 극한 없이 $\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}Xe^{j\omega t}\, d\omega = x(t)$ 입니다.

증명의 뼈대. $X$ 의 정의를 대입하고 적분 순서를 바꿉니다(유한 구간과 $L^1$ 함수이므로 푸비니 정리가 적용됩니다).

\frac{1}{2\pi}\int_{-\Omega}^{\Omega}\int_{-\infty}^{\infty}x(s)e^{-j\omega s}\, ds\, e^{j\omega t}\, d\omega = \int_{-\infty}^{\infty}x(s)\left[\frac{1}{2\pi}\int_{-\Omega}^{\Omega}e^{j\omega(t - s)}\, d\omega\right]ds = \int_{-\infty}^{\infty}x(s)\frac{\sin\Omega(t - s)}{\pi(t - s)}\, ds

입니다(대괄호 안은 2장 예제 2.7). 핵 $k_\Omega(u) = \frac{\sin\Omega u}{\pi u}$ 는 디리클레 핵(5장 그림 5.2)의 연속판입니다. 넓이가 $\int_{-\infty}^{\infty}k_\Omega\, du = 1$ 로 일정하고(아래 보조정리), $\Omega$ 가 커질수록 원점에 높고 좁게 집중됩니다. 따라서 $x(t) = \int x(t)k_\Omega(u)\, du$ 로 쓰고 빼면

\int x(t - u)k_\Omega(u)\, du - x(t) = \frac{1}{\pi}\int \frac{x(t - u) - x(t)}{u}\sin\Omega u\, du

이고, $x$ 가 $t$ 에서 미분가능하면 $\frac{x(t - u) - x(t)}{u}$ 가 $u = 0$ 근처에서 유계이므로 리만–르베그 보조정리에 의해 0으로 갑니다(먼 곳의 $u$ 에 대한 처리는 생략했습니다). 불연속점에서는 $u > 0$ 과 $u < 0$ 을 따로 다루면 각각 절반씩 기여하여 평균값이 나옵니다.

푸리에 급수의 디리클레 정리(5장 정리 5.10)와 같은 증명입니다. 유한 대역 $|\omega| \le \Omega$ 로 자른 복원은 원래 신호를 $\frac{\sin\Omega u}{\pi u}$ 로 “흐리게” 한 것이고, 불연속점에서는 깁스 현상이 똑같이 나타납니다.

보조정리 6.5 (디리클레 적분). $\displaystyle\int_0^\infty \frac{\sin u}{u}\, du = \frac{\pi}{2}$ 이고, 따라서 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin\Omega u}{\pi u}\, du = 1$ ( $\Omega > 0$ )입니다.

증명. $u > 0$ 일 때 $\frac{1}{u} = \int_0^\infty e^{-su}\, ds$ 입니다. 이것을 넣고 적분 순서를 바꿉니다. 안쪽 적분은 2장 예제 2.6의 허수부로

\int_0^\infty e^{-su}\sin u\, du = \operatorname{Im}\int_0^\infty e^{-(s - j)u}\, du = \operatorname{Im}\frac{1}{s - j} = \frac{1}{1 + s^2}

이므로

\int_0^\infty \frac{\sin u}{u}\, du = \int_0^\infty \frac{ds}{1 + s^2} = \Big[\arctan s\Big]_0^\infty = \frac{\pi}{2}

입니다. 둘째 식은 우함수임과 치환 $v = \Omega u$ 에서 나옵니다(순서 교환의 정당화는 생략합니다). $\blacksquare$

따름정리 6.6 (유일성). $x, y \in L^1$ 이 연속이고 $X(\omega) = Y(\omega)$ 이면 $x = y$ 입니다.

스펙트럼이 같으면 신호가 같습니다. 그래서 변환쌍 표를 양방향으로 쓸 수 있습니다. 어떤 $X$ 의 역변환을 구할 때 적분하지 않고, 변환이 $X$ 가 되는 $x$ 를 표에서 찾으면 됩니다.

6.6 선형대수로 다시 보기

세 변환을 나란히 놓습니다.

	DFT ( $\mathbb{C}^N$ )	푸리에 급수 ( $L^2[0, T]$ )	푸리에 변환 ( $L^2(\mathbb{R})$ )
기저	$e^{j2\pi kn/N}$ , $k = 0..N-1$	$e^{jk\omega_0 t}$ , $k \in \mathbb{Z}$	$e^{j\omega t}$ , $\omega \in \mathbb{R}$
직교성	$\sum_n u_ku_m^* = N\delta_{km}$	$\int_T e_ke_m^*\, dt = T\delta_{km}$	$\int e^{j\omega t}e^{-j\omega' t}\, dt = 2\pi\delta(\omega - \omega')$
분석	$X[k] = \sum_n x[n]e^{-j2\pi kn/N}$	$c_k = \frac{1}{T}\int_T xe^{-jk\omega_0 t}\, dt$	$X(\omega) = \int xe^{-j\omega t}\, dt$
합성	$x[n] = \frac{1}{N}\sum_k X[k]e^{j2\pi kn/N}$	$x = \sum_k c_ke^{jk\omega_0 t}$	$x = \frac{1}{2\pi}\int Xe^{j\omega t}\, d\omega$
파세발	$\sum \lvert x\rvert^2 = \frac{1}{N}\sum \lvert X\rvert^2$	$\frac{1}{T}\int_T \lvert x\rvert^2 = \sum \lvert c_k\rvert^2$	$\int \lvert x\rvert^2 = \frac{1}{2\pi}\int \lvert X\rvert^2$

셋 다 “직교하는 복소지수함수 기저에 대한 좌표를 내적으로 구합니다”는 같은 구조이고, 상수 $N$ , $T$ , $2\pi$ 는 기저 벡터의 “길이의 제곱” 자리에 있습니다.

푸리에 변환에서는 한 가지가 달라집니다. $e^{j\omega t}$ 는 $\int |e^{j\omega t}|^2\, dt = \infty$ 라서 $L^2(\mathbb{R})$ 에 속하지 않습니다. 엄밀한 의미의 기저 벡터가 아닙니다. 직교성의 우변도 크로네커 델타가 아니라 디랙 델타 $\delta(\omega - \omega')$ 이고(9장), 이는 $\omega = \omega'$ 일 때 적분이 발산한다는 사실을 정돈해 쓴 것입니다. 그래도 “연속 첨자를 가진 직교기저”로 생각하고 계산하면 옳은 답이 나오며, 그 정당화가 역변환 정리와 플랑셰렐 정리입니다.

연습문제

문제 1 · 확인 문제

$x(t) = 1$ ( $|t| < 1$ ), 그 밖에서 $0$ 인 사각 펄스의 $X(0)$ 을 구합니다.

힌트 1

$\omega = 0$ 이면 $e^{-j\omega t} = 1$ 입니다.

정답

풀이

$X(0) = \int_{-\infty}^{\infty}x(t)\, dt$ 는 신호의 넓입니다. 폭 2, 높이 1이므로 $X(0) = 2$ 입니다.

문제 2 · 확인 문제

관례 (A)로 $X(\omega) = \frac{1}{1 + j\omega}$ 인 신호를 관례 (B)로 쓰면 $\hat{X}(f)$ 입니다. $f = \frac{1}{2\pi}$ Hz에서 $|\hat{X}(f)|$ 를 소수 넷째 자리까지 구합니다.

힌트 1

$\hat{X}(f) = X(2\pi f)$ 입니다.

정답

0.7071

풀이

$\hat{X}(\frac{1}{2\pi}) = X(1) = \frac{1}{1 + j}$ 이므로 크기는 $\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.7071$ 입니다.

문제 3 · 확인 문제

리만–르베그 보조정리에 따르면, 다음 중 절대적분가능한 신호의 푸리에 변환이 될 수 없는 것은?

$\frac{2\sin\omega}{\omega}$
$\frac{1}{1 + \omega^2}$
$1$
$e^{-\omega^2}$

힌트 1

$|\omega| \to \infty$ 일 때 0으로 가지 않는 것을 찾습니다.

정답

풀이

$L^1$ 신호의 변환은 $|\omega| \to \infty$ 에서 0으로 가야 합니다. 상수 1은 0으로 가지 않습니다. 상수 1은 델타함수의 변환이고(9장), 델타함수는 $L^1$ 함수가 아닙니다.

문제 4 · 확인 문제

보조정리 6.5를 써서 $\displaystyle\int_0^\infty \frac{\sin 3u}{u}\, du$ 를 소수 넷째 자리까지 구합니다.

힌트 1

$v = 3u$ 로 치환합니다.

정답

1.5708

풀이

$v = 3u$ 로 두면 $\frac{du}{u} = \frac{dv}{v}$ 이므로 값은 $\int_0^\infty \frac{\sin v}{v}\, dv = \frac{\pi}{2} \approx 1.5708$ 입니다. $\Omega > 0$ 이면 $\Omega$ 에 무관합니다.

문제 5

$x(t)$ 가 실수이면 $X(-\omega) = X(\omega)^*$ 임을 보이고, 이로부터 $|X|$ 가 우함수, $\angle X$ 가 기함수임을 설명합니다.

풀이

$X(-\omega) = \int x(t)e^{j\omega t}\, dt$ 이고, $x$ 가 실수이므로 이것은 $\left(\int x(t)e^{-j\omega t}\, dt\right)^* = X(\omega)^*$ 입니다. 켤레를 취하면 크기는 같고 편각은 부호가 바뀝니다. 그러므로 $|X(-\omega)| = |X(\omega)|$ , $\angle X(-\omega) = -\angle X(\omega)$ 입니다.