주기적인 신호(예: 일정한 음높이의 소리)는 기본 주파수와 그 정수배 주파수의 사인파를 더해 만들 수 있습니다. 이것이 푸리에 급수입니다. 이 장에서는 계수를 내적으로 구하는 방법, 불연속점 근처의 튀어나옴(깁스 현상), 급수가 언제 원래 함수로 수렴하는지를 다룹니다.
주기함수를 복소지수함수의 무한합으로 씁니다. 4장의 C N \mathbb{C}^N C N L 2 [ 0 , T ] L^2[0, T] L 2 [ 0 , T ] ∑ n \sum_n ∑ n ∫ 0 T d t \int_0^T dt ∫ 0 T d t
5.1 설정
주기 T T T x ( t ) x(t) x ( t ) ω 0 = 2 π / T \omega_0 = 2\pi/T ω 0 = 2 π / T 기본 각주파수 라 합니다. 주기함수는 한 주기만 알면 되므로 L 2 [ 0 , T ] L^2[0, T] L 2 [ 0 , T ] ⟨ x , y ⟩ = ∫ T x ( t ) y ( t ) ∗ d t \langle x, y \rangle = \int_T x(t)y(t)^*\, dt ⟨ x , y ⟩ = ∫ T x ( t ) y ( t ) ∗ d t
주기 T T T e j ω t e^{j\omega t} e j ω t e j ω T = 1 e^{j\omega T} = 1 e j ω T = 1 ω = k ω 0 \omega = k\omega_0 ω = k ω 0 k k k
e k ( t ) = e j k ω 0 t , k = 0 , ± 1 , ± 2 , … e_k(t) = e^{jk\omega_0 t}, \qquad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots e k ( t ) = e j k ω 0 t , k = 0 , ± 1 , ± 2 , … k = ± 1 k = \pm 1 k = ± 1 기본파 , ∣ k ∣ ≥ 2 |k| \ge 2 ∣ k ∣ ≥ 2 고조파 (harmonic)라 합니다. 2장 정리 2.9 에 의해
⟨ e k , e m ⟩ = T δ k m \langle e_k, e_m \rangle = T\delta_{km} ⟨ e k , e m ⟩ = T δ k m 입니다. { e k } \{e_k\} { e k } L 2 [ 0 , T ] L^2[0, T] L 2 [ 0 , T ] k k k e k + N = e k e_{k+N} = e_k e k + N = e k
5.2 계수 공식
정의 5.1 (푸리에 급수). 주기 T T T x x x 푸리에 계수 (Fourier coefficient)와 푸리에 급수 (Fourier series)는
c k = ⟨ x , e k ⟩ ∥ e k ∥ 2 = 1 T ∫ T x ( t ) e − j k ω 0 t d t , x ( t ) = ∑ k = − ∞ ∞ c k e j k ω 0 t c_k = \frac{\langle x, e_k \rangle}{\lVert e_k\rVert^2} = \frac{1}{T}\int_T x(t)\, e^{-jk\omega_0 t}\, dt, \qquad x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{jk\omega_0 t} c k = ∥ e k ∥ 2 ⟨ x , e k ⟩ = T 1 ∫ T x ( t ) e − j k ω 0 t d t , x ( t ) = k = − ∞ ∑ ∞ c k e j k ω 0 t 입니다.
계수 공식은 직교기저의 좌표 공식(3장 따름정리 3.18 )입니다. 유도를 다시 써 보면, x ( t ) = ∑ k c k e j k ω 0 t x(t) = \sum_k c_ke^{jk\omega_0 t} x ( t ) = ∑ k c k e j k ω 0 t e − j m ω 0 t e^{-jm\omega_0 t} e − j m ω 0 t
∫ T x ( t ) e − j m ω 0 t d t = ∑ k c k ∫ T e j ( k − m ) ω 0 t d t = ∑ k c k T δ k m = T c m \int_T x(t)e^{-jm\omega_0 t}\, dt = \sum_k c_k\int_T e^{j(k - m)\omega_0 t}\, dt = \sum_k c_kT\delta_{km} = Tc_m ∫ T x ( t ) e − j m ω 0 t d t = k ∑ c k ∫ T e j ( k − m ) ω 0 t d t = k ∑ c k T δ k m = T c m m m m
계수의 뜻. c 0 = 1 T ∫ T x d t c_0 = \frac{1}{T}\int_T x\, dt c 0 = T 1 ∫ T x d t c k c_k c k x x x e − j k ω 0 t e^{-jk\omega_0 t} e − j k ω 0 t x x x e j k ω 0 t e^{jk\omega_0 t} e j k ω 0 t e − j k ω 0 t e^{-jk\omega_0 t} e − j k ω 0 t
정리 5.2 (유한 푸리에 합은 최선의 근사). S K ( t ) = ∑ k = − K K c k e j k ω 0 t S_K(t) = \sum_{k=-K}^K c_ke^{jk\omega_0 t} S K ( t ) = ∑ k = − K K c k e j k ω 0 t ∑ k = − K K a k e j k ω 0 t \sum_{k=-K}^K a_ke^{jk\omega_0 t} ∑ k = − K K a k e j k ω 0 t ∫ T ∣ x ( t ) − ∑ a k e j k ω 0 t ∣ 2 d t \int_T |x(t) - \sum a_ke^{jk\omega_0 t}|^2\, dt ∫ T ∣ x ( t ) − ∑ a k e j k ω 0 t ∣ 2 d t
증명. S K S_K S K x x x span { e − K , … , e K } \operatorname{span}\{e_{-K}, \ldots, e_K\} span { e − K , … , e K } 정리 3.23 입니다. ■ \blacksquare ■
5.3 실수 신호: 세 가지 표기
x ( t ) x(t) x ( t ) c − k = 1 T ∫ T x e j k ω 0 t d t = c k ∗ c_{-k} = \frac{1}{T}\int_T xe^{jk\omega_0 t}\, dt = c_k^* c − k = T 1 ∫ T x e j k ω 0 t d t = c k ∗ ± k \pm k ± k c k e j k ω 0 t + c k ∗ e − j k ω 0 t = 2 Re { c k e j k ω 0 t } c_ke^{jk\omega_0 t} + c_k^*e^{-jk\omega_0 t} = 2\operatorname{Re}\{c_ke^{jk\omega_0 t}\} c k e j k ω 0 t + c k ∗ e − j k ω 0 t = 2 Re { c k e j k ω 0 t }
x ( t ) = ∑ k = − ∞ ∞ c k e j k ω 0 t (복소지수형) = c 0 + ∑ k = 1 ∞ 2 ∣ c k ∣ cos ( k ω 0 t + ∠ c k ) (진폭-위상형) = a 0 2 + ∑ k = 1 ∞ ( a k cos k ω 0 t + b k sin k ω 0 t ) (삼각함수형) \begin{aligned}
x(t) &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_ke^{jk\omega_0 t} && \text{(복소지수형)} \\
&= c_0 + \sum_{k=1}^{\infty} 2|c_k|\cos(k\omega_0 t + \angle c_k) && \text{(진폭-위상형)} \\
&= \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty}\left(a_k\cos k\omega_0 t + b_k\sin k\omega_0 t\right) && \text{(삼각함수형)}
\end{aligned} x ( t ) = k = − ∞ ∑ ∞ c k e j k ω 0 t = c 0 + k = 1 ∑ ∞ 2∣ c k ∣ cos ( k ω 0 t + ∠ c k ) = 2 a 0 + k = 1 ∑ ∞ ( a k cos k ω 0 t + b k sin k ω 0 t ) ( 복소지수형 ) ( 진폭 - 위상형 ) ( 삼각함수형 ) a k = 2 T ∫ T x ( t ) cos k ω 0 t d t , b k = 2 T ∫ T x ( t ) sin k ω 0 t d t , c k = a k − j b k 2 ( k ≥ 1 ) , c 0 = a 0 2 a_k = \frac{2}{T}\int_T x(t)\cos k\omega_0 t\, dt, \qquad b_k = \frac{2}{T}\int_T x(t)\sin k\omega_0 t\, dt, \qquad c_k = \frac{a_k - jb_k}{2}\ (k \ge 1), \qquad c_0 = \frac{a_0}{2} a k = T 2 ∫ T x ( t ) cos k ω 0 t d t , b k = T 2 ∫ T x ( t ) sin k ω 0 t d t , c k = 2 a k − j b k ( k ≥ 1 ) , c 0 = 2 a 0 c k = a k − j b k 2 c_k = \frac{a_k - jb_k}{2} c k = 2 a k − j b k e − j k ω 0 t = cos k ω 0 t − j sin k ω 0 t e^{-jk\omega_0 t} = \cos k\omega_0 t - j\sin k\omega_0 t e − j k ω 0 t = cos k ω 0 t − j sin k ω 0 t k k k 2 ∣ c k ∣ 2|c_k| 2∣ c k ∣
5.4 예제: 계수를 실제로 구하기
예제 5.3 (사각파). 주기 2 π 2\pi 2 π ω 0 = 1 \omega_0 = 1 ω 0 = 1 x ( t ) = 1 x(t) = 1 x ( t ) = 1 0 < t < π 0 < t < \pi 0 < t < π x ( t ) = − 1 x(t) = -1 x ( t ) = − 1 − π < t < 0 -\pi < t < 0 − π < t < 0
c k = 1 2 π [ ∫ 0 π e − j k t d t − ∫ − π 0 e − j k t d t ] = 1 2 π [ 1 − e − j k π j k − e j k π − 1 j k ] = 2 − 2 ( − 1 ) k 2 π j k = { 2 j π k ( k 홀수 ) 0 ( k 짝수 ) c_k = \frac{1}{2\pi}\left[\int_0^\pi e^{-jkt}\, dt - \int_{-\pi}^0 e^{-jkt}\, dt\right] = \frac{1}{2\pi}\left[\frac{1 - e^{-jk\pi}}{jk} - \frac{e^{jk\pi} - 1}{jk}\right] = \frac{2 - 2(-1)^k}{2\pi jk} = \begin{cases} \dfrac{2}{j\pi k} & (k\ \text{홀수}) \\ 0 & (k\ \text{짝수}) \end{cases} c k = 2 π 1 [ ∫ 0 π e − j k t d t − ∫ − π 0 e − j k t d t ] = 2 π 1 [ j k 1 − e − j k π − j k e j k π − 1 ] = 2 π j k 2 − 2 ( − 1 ) k = ⎩ ⎨ ⎧ j π k 2 0 ( k 홀수 ) ( k 짝수 ) 입니다(e ± j k π = ( − 1 ) k e^{\pm jk\pi} = (-1)^k e ± j k π = ( − 1 ) k c 0 = 0 c_0 = 0 c 0 = 0 ± k \pm k ± k 2 j π k ( e j k t − e − j k t ) = 4 π k sin k t \frac{2}{j\pi k}(e^{jkt} - e^{-jkt}) = \frac{4}{\pi k}\sin kt j π k 2 ( e j k t − e − j k t ) = π k 4 sin k t
x ( t ) = 4 π ( sin t + sin 3 t 3 + sin 5 t 5 + ⋯ ) x(t) = \frac{4}{\pi}\left(\sin t + \frac{\sin 3t}{3} + \frac{\sin 5t}{5} + \cdots\right) x ( t ) = π 4 ( sin t + 3 sin 3 t + 5 sin 5 t + ⋯ ) 입니다.
예제 5.4 (톱니파). 주기 2 π 2\pi 2 π x ( t ) = t x(t) = t x ( t ) = t − π < t < π -\pi < t < \pi − π < t < π k ≠ 0 k \ne 0 k = 0 u = t u = t u = t v ′ = e − j k t v' = e^{-jkt} v ′ = e − j k t
∫ − π π t e − j k t d t = [ t e − j k t − j k ] − π π + 1 j k ∫ − π π e − j k t d t ⏟ 0 = π ( − 1 ) k + π ( − 1 ) k − j k = j 2 π ( − 1 ) k k \int_{-\pi}^{\pi} te^{-jkt}\, dt = \left[\frac{te^{-jkt}}{-jk}\right]_{-\pi}^{\pi} + \frac{1}{jk}\underbrace{\int_{-\pi}^{\pi} e^{-jkt}\, dt}_{0} = \frac{\pi(-1)^k + \pi(-1)^k}{-jk} = \frac{j2\pi(-1)^k}{k} ∫ − π π t e − j k t d t = [ − j k t e − j k t ] − π π + j k 1 0 ∫ − π π e − j k t d t = − j k π ( − 1 ) k + π ( − 1 ) k = k j 2 π ( − 1 ) k 입니다. 따라서 c k = j ( − 1 ) k k c_k = \frac{j(-1)^k}{k} c k = k j ( − 1 ) k k ≠ 0 k \ne 0 k = 0 c 0 = 0 c_0 = 0 c 0 = 0 c − k = − c k c_{-k} = -c_k c − k = − c k c k e j k t + c − k e − j k t = 2 j c k sin k t c_ke^{jkt} + c_{-k}e^{-jkt} = 2jc_k\sin kt c k e j k t + c − k e − j k t = 2 j c k sin k t
x ( t ) = 2 ( sin t − sin 2 t 2 + sin 3 t 3 − ⋯ ) x(t) = 2\left(\sin t - \frac{\sin 2t}{2} + \frac{\sin 3t}{3} - \cdots\right) x ( t ) = 2 ( sin t − 2 sin 2 t + 3 sin 3 t − ⋯ )
그림 5.1. 사각파의 푸리에 부분합. K K K
예제 5.5 (삼각파). 주기 2 π 2\pi 2 π x ( t ) = 1 − 2 ∣ t ∣ π x(t) = 1 - \frac{2|t|}{\pi} x ( t ) = 1 − π 2∣ t ∣ − π ≤ t ≤ π -\pi \le t \le \pi − π ≤ t ≤ π c k = 1 2 π ∫ − π π x cos k t d t = 1 π ∫ 0 π ( 1 − 2 t π ) cos k t d t c_k = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\cos kt\, dt = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi (1 - \frac{2t}{\pi})\cos kt\, dt c k = 2 π 1 ∫ − π π x cos k t d t = π 1 ∫ 0 π ( 1 − π 2 t ) cos k t d t k ≠ 0 k \ne 0 k = 0 ∫ 0 π cos k t d t = 0 \int_0^\pi \cos kt\, dt = 0 ∫ 0 π cos k t d t = 0 ∫ 0 π t cos k t d t = [ t sin k t k ] 0 π − 1 k ∫ 0 π sin k t d t = ( − 1 ) k − 1 k 2 \int_0^\pi t\cos kt\, dt = \left[\frac{t\sin kt}{k}\right]_0^\pi - \frac{1}{k}\int_0^\pi \sin kt\, dt = \frac{(-1)^k - 1}{k^2} ∫ 0 π t cos k t d t = [ k t s i n k t ] 0 π − k 1 ∫ 0 π sin k t d t = k 2 ( − 1 ) k − 1
c k = − 2 π 2 ⋅ ( − 1 ) k − 1 k 2 = { 4 π 2 k 2 ( k 홀수 ) 0 ( k 짝수 ) , x ( t ) = 8 π 2 ( cos t + cos 3 t 9 + cos 5 t 25 + ⋯ ) c_k = -\frac{2}{\pi^2} \cdot \frac{(-1)^k - 1}{k^2} = \begin{cases} \dfrac{4}{\pi^2k^2} & (k\ \text{홀수}) \\ 0 & (k\ \text{짝수}) \end{cases}, \qquad x(t) = \frac{8}{\pi^2}\left(\cos t + \frac{\cos 3t}{9} + \frac{\cos 5t}{25} + \cdots\right) c k = − π 2 2 ⋅ k 2 ( − 1 ) k − 1 = ⎩ ⎨ ⎧ π 2 k 2 4 0 ( k 홀수 ) ( k 짝수 ) , x ( t ) = π 2 8 ( cos t + 9 cos 3 t + 25 cos 5 t + ⋯ ) 입니다.
예제 5.6 (펄스열). 주기 T T T x ( t ) = 1 x(t) = 1 x ( t ) = 1 ∣ t ∣ < τ / 2 |t| < \tau/2 ∣ t ∣ < τ /2 τ < T \tau < T τ < T
c k = 1 T ∫ − τ / 2 τ / 2 e − j k ω 0 t d t = 1 T ⋅ 2 sin ( k ω 0 τ / 2 ) k ω 0 ( k ≠ 0 ) , c 0 = τ T c_k = \frac{1}{T}\int_{-\tau/2}^{\tau/2} e^{-jk\omega_0 t}\, dt = \frac{1}{T} \cdot \frac{2\sin(k\omega_0\tau/2)}{k\omega_0} \quad (k \ne 0), \qquad c_0 = \frac{\tau}{T} c k = T 1 ∫ − τ /2 τ /2 e − j k ω 0 t d t = T 1 ⋅ k ω 0 2 sin ( k ω 0 τ /2 ) ( k = 0 ) , c 0 = T τ 입니다. T c k Tc_k T c k 2 sin ( ω τ / 2 ) ω \frac{2\sin(\omega\tau/2)}{\omega} ω 2 s i n ( ω τ /2 ) ω = k ω 0 \omega = k\omega_0 ω = k ω 0
최고 고조파 차수 K를 바꾸면 부분합의 모양과 최대 넘침이 바뀝니다 이 위젯은 JavaScript가 필요합니다
5.5 대칭성과 기본 성질
계산을 줄여 주는 사실들입니다. x x x T T T
우함수 (even function)이면 b k = 0 b_k = 0 b k = 0 c k c_k c k 기함수 (odd function)이면 a k = 0 a_k = 0 a k = 0 c k c_k c k 반파 대칭 x ( t + T / 2 ) = − x ( t ) x(t + T/2) = -x(t) x ( t + T /2 ) = − x ( t ) c k c_k c k − e − j k π = − ( − 1 ) k -e^{-jk\pi} = -(-1)^k − e − j k π = − ( − 1 ) k k k k
정리 5.7. x ( t ) x(t) x ( t ) c k c_k c k
(시간 이동) x ( t − t 0 ) x(t - t_0) x ( t − t 0 ) e − j k ω 0 t 0 c k e^{-jk\omega_0 t_0}c_k e − j k ω 0 t 0 c k
(미분) x x x x ′ ( t ) x'(t) x ′ ( t ) j k ω 0 c k jk\omega_0c_k j k ω 0 c k
증명. (1) 1 T ∫ T x ( t − t 0 ) e − j k ω 0 t d t \frac{1}{T}\int_T x(t - t_0)e^{-jk\omega_0 t}\, dt T 1 ∫ T x ( t − t 0 ) e − j k ω 0 t d t s = t − t 0 s = t - t_0 s = t − t 0 e − j k ω 0 t 0 ⋅ 1 T ∫ T x ( s ) e − j k ω 0 s d s e^{-jk\omega_0 t_0} \cdot \frac{1}{T}\int_T x(s)e^{-jk\omega_0 s}\, ds e − j k ω 0 t 0 ⋅ T 1 ∫ T x ( s ) e − j k ω 0 s d s
(2) 부분적분하면 1 T ∫ 0 T x ′ ( t ) e − j k ω 0 t d t = 1 T [ x ( t ) e − j k ω 0 t ] 0 T + j k ω 0 T ∫ 0 T x ( t ) e − j k ω 0 t d t \frac{1}{T}\int_0^T x'(t)e^{-jk\omega_0 t}\, dt = \frac{1}{T}\Big[x(t)e^{-jk\omega_0 t}\Big]_0^T + \frac{jk\omega_0}{T}\int_0^T x(t)e^{-jk\omega_0 t}\, dt T 1 ∫ 0 T x ′ ( t ) e − j k ω 0 t d t = T 1 [ x ( t ) e − j k ω 0 t ] 0 T + T j k ω 0 ∫ 0 T x ( t ) e − j k ω 0 t d t x x x e − j k ω 0 t e^{-jk\omega_0 t} e − j k ω 0 t T T T ■ \blacksquare ■
4장 DFT의 이동 정리(따름정리 4.11 )와 같은 모양입니다. (2)는 급수를 항별로 미분한 것과 같습니다: d d t e j k ω 0 t = j k ω 0 e j k ω 0 t \frac{d}{dt}e^{jk\omega_0 t} = jk\omega_0e^{jk\omega_0 t} d t d e j k ω 0 t = j k ω 0 e j k ω 0 t
예제 5.8. 삼각파(예제 5.5)를 미분하면 x ′ ( t ) = ∓ 2 π x'(t) = \mp\frac{2}{\pi} x ′ ( t ) = ∓ π 2 − 2 π -\frac{2}{\pi} − π 2 2 j π k \frac{2}{j\pi k} j π k 2 c k = 1 j k ⋅ ( − 2 π ) ⋅ 2 j π k = 4 π 2 k 2 c_k = \frac{1}{jk} \cdot \left(-\frac{2}{\pi}\right) \cdot \frac{2}{j\pi k} = \frac{4}{\pi^2k^2} c k = j k 1 ⋅ ( − π 2 ) ⋅ j π k 2 = π 2 k 2 4
5.6 수렴
급수 ∑ k c k e j k ω 0 t \sum_k c_ke^{jk\omega_0 t} ∑ k c k e j k ω 0 t x ( t ) x(t) x ( t )
5.6.1 평균제곱 수렴
정리 5.9 (완비성). x ∈ L 2 [ 0 , T ] x \in L^2[0, T] x ∈ L 2 [ 0 , T ] lim K → ∞ ∫ T ∣ x ( t ) − S K ( t ) ∣ 2 d t = 0 \displaystyle\lim_{K \to \infty}\int_T |x(t) - S_K(t)|^2\, dt = 0 K → ∞ lim ∫ T ∣ x ( t ) − S K ( t ) ∣ 2 d t = 0
유한 에너지를 가진 모든 주기신호에 대해 부분합의 평균제곱 오차는 0으로 갑니다. 즉 { e k } \{e_k\} { e k } L 2 [ 0 , T ] L^2[0, T] L 2 [ 0 , T ] L 2 L^2 L 2
5.6.2 점별 수렴
정리 5.10 (디리클레). x x x t t t
lim K → ∞ S K ( t ) = x ( t + ) + x ( t − ) 2 \lim_{K \to \infty} S_K(t) = \frac{x(t^+) + x(t^-)}{2} K → ∞ lim S K ( t ) = 2 x ( t + ) + x ( t − ) 입니다. 연속인 점에서는 x ( t ) x(t) x ( t )
사각파의 급수에 t = 0 t = 0 t = 0 1 + ( − 1 ) 2 = 0 \frac{1 + (-1)}{2} = 0 2 1 + ( − 1 ) = 0
증명의 뼈대 (x x x t t t
S K ( t ) = ∑ k = − K K [ 1 T ∫ T x ( s ) e − j k ω 0 s d s ] e j k ω 0 t = 1 T ∫ T x ( s ) D K ( t − s ) d s , D K ( u ) = ∑ k = − K K e j k ω 0 u S_K(t) = \sum_{k=-K}^K\left[\frac{1}{T}\int_T x(s)e^{-jk\omega_0 s}\, ds\right]e^{jk\omega_0 t} = \frac{1}{T}\int_T x(s)\, D_K(t - s)\, ds, \qquad D_K(u) = \sum_{k=-K}^K e^{jk\omega_0 u} S K ( t ) = k = − K ∑ K [ T 1 ∫ T x ( s ) e − j k ω 0 s d s ] e j k ω 0 t = T 1 ∫ T x ( s ) D K ( t − s ) d s , D K ( u ) = k = − K ∑ K e j k ω 0 u D K D_K D K 디리클레 핵 (Dirichlet kernel)이라 합니다. 등비수열의 합으로 닫힌 꼴을 구하면 (r = e j ω 0 u r = e^{j\omega_0 u} r = e j ω 0 u
D K ( u ) = r − K 1 − r 2 K + 1 1 − r = r − ( K + 1 2 ) − r K + 1 2 r − 1 2 − r 1 2 = sin ( ( K + 1 2 ) ω 0 u ) sin ( ω 0 u / 2 ) D_K(u) = r^{-K}\frac{1 - r^{2K+1}}{1 - r} = \frac{r^{-(K + \frac{1}{2})} - r^{K + \frac{1}{2}}}{r^{-\frac{1}{2}} - r^{\frac{1}{2}}} = \frac{\sin\left((K + \frac{1}{2})\omega_0u\right)}{\sin(\omega_0u/2)} D K ( u ) = r − K 1 − r 1 − r 2 K + 1 = r − 2 1 − r 2 1 r − ( K + 2 1 ) − r K + 2 1 = sin ( ω 0 u /2 ) sin ( ( K + 2 1 ) ω 0 u ) 입니다. 1 T ∫ T D K d u = 1 \frac{1}{T}\int_T D_K\, du = 1 T 1 ∫ T D K d u = 1 k = 0 k = 0 k = 0 x ( t ) = 1 T ∫ T x ( t ) D K ( u ) d u x(t) = \frac{1}{T}\int_T x(t)D_K(u)\, du x ( t ) = T 1 ∫ T x ( t ) D K ( u ) d u u = t − s u = t - s u = t − s
S K ( t ) − x ( t ) = 1 T ∫ T x ( t − u ) − x ( t ) sin ( ω 0 u / 2 ) ⏟ g ( u ) sin ( ( K + 1 2 ) ω 0 u ) d u S_K(t) - x(t) = \frac{1}{T}\int_T \underbrace{\frac{x(t - u) - x(t)}{\sin(\omega_0u/2)}}_{g(u)}\sin\left((K + \tfrac{1}{2})\omega_0u\right)du S K ( t ) − x ( t ) = T 1 ∫ T g ( u ) sin ( ω 0 u /2 ) x ( t − u ) − x ( t ) sin ( ( K + 2 1 ) ω 0 u ) d u 입니다. x x x t t t u → 0 u \to 0 u → 0 g ( u ) → − 2 x ′ ( t ) / ω 0 g(u) \to -2x'(t)/\omega_0 g ( u ) → − 2 x ′ ( t ) / ω 0 g g g 정리 6.3 ). 따라서 S K ( t ) → x ( t ) S_K(t) \to x(t) S K ( t ) → x ( t )
그림 5.2. 디리클레 핵(T = 2 π T = 2\pi T = 2 π K K K T T T x x x
5.6.3 깁스 현상
불연속점 근처에서는 수렴이 고르지 않습니다. 그림 5.1에서 불연속점 옆의 튀어나온 봉우리는 K K K
정리 5.11 (깁스 현상). 사각파(높이 ± 1 \pm 1 ± 1 K → ∞ K \to \infty K → ∞
2 π ∫ 0 π sin u u d u = 1.17898 … \frac{2}{\pi}\int_0^\pi \frac{\sin u}{u}\, du = 1.17898\ldots π 2 ∫ 0 π u sin u d u = 1.17898 … 로 수렴합니다. 일반적으로 도약의 약 8.95%만큼 넘칩니다.
증명. 홀수 고조파 m m m S ( t ) = 4 π ∑ i = 1 m sin ( 2 i − 1 ) t 2 i − 1 S(t) = \frac{4}{\pi}\sum_{i=1}^m \frac{\sin(2i - 1)t}{2i - 1} S ( t ) = π 4 ∑ i = 1 m 2 i − 1 s i n ( 2 i − 1 ) t S ′ ( t ) = 4 π ∑ i = 1 m cos ( 2 i − 1 ) t = 2 π ⋅ sin 2 m t sin t S'(t) = \frac{4}{\pi}\sum_{i=1}^m \cos(2i - 1)t = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\sin 2mt}{\sin t} S ′ ( t ) = π 4 ∑ i = 1 m cos ( 2 i − 1 ) t = π 2 ⋅ s i n t s i n 2 m t t > 0 t > 0 t > 0 S ′ = 0 S' = 0 S ′ = 0 t = π / 2 m t = \pi/2m t = π /2 m
S ( π 2 m ) = 2 π ∫ 0 π / 2 m sin 2 m t sin t d t = 2 π ∫ 0 π sin u 2 m sin ( u / 2 m ) d u → m → ∞ 2 π ∫ 0 π sin u u d u S\left(\frac{\pi}{2m}\right) = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi/2m}\frac{\sin 2mt}{\sin t}\, dt = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi \frac{\sin u}{2m\sin(u/2m)}\, du \xrightarrow{m \to \infty} \frac{2}{\pi}\int_0^\pi \frac{\sin u}{u}\, du S ( 2 m π ) = π 2 ∫ 0 π /2 m sin t sin 2 m t d t = π 2 ∫ 0 π 2 m sin ( u /2 m ) sin u d u m → ∞ π 2 ∫ 0 π u sin u d u 입니다(u = 2 m t u = 2mt u = 2 m t m → ∞ m \to \infty m → ∞ 2 m sin ( u / 2 m ) → u 2m\sin(u/2m) \to u 2 m sin ( u /2 m ) → u ■ \blacksquare ■
모순은 없습니다. 각 고정된 t ≠ 0 t \ne 0 t = 0 S K ( t ) → x ( t ) S_K(t) \to x(t) S K ( t ) → x ( t )
그림 5.3. 불연속점 t = 0 t = 0 t = 0 t = π / ( K + 1 ) t = \pi/(K + 1) t = π / ( K + 1 )
5.6.4 매끄러움과 계수의 감소 속도
세 예제를 비교하면 사각파와 톱니파(불연속)는 ∣ c k ∣ ∼ 1 / k |c_k| \sim 1/k ∣ c k ∣ ∼ 1/ k ∣ c k ∣ ∼ 1 / k 2 |c_k| \sim 1/k^2 ∣ c k ∣ ∼ 1/ k 2 정리 5.7 )이 이유를 설명합니다. x x x p p p x ( p ) x^{(p)} x ( p ) x ( p ) x^{(p)} x ( p ) ( j k ω 0 ) p c k (jk\omega_0)^pc_k ( j k ω 0 ) p c k c k c_k c k 1 / k p 1/k^p 1/ k p
함수가 매끄러울수록 고주파 성분이 적습니다. 불연속이면 ∣ c k ∣ ∼ 1 / k |c_k| \sim 1/k ∣ c k ∣ ∼ 1/ k 1 / k 2 1/k^2 1/ k 2
그림 5.4. 왼쪽: 삼각파는 두 항만으로 거의 맞습니다. 오른쪽: 사각파와 삼각파의 계수 크기(로그-로그 눈금). 기울기가 −1과 −2다.
이 원리는 푸리에 변환에서도 그대로 성립하며(시간 영역의 매끄러움 ↔ 주파수 영역의 빠른 감쇠), 창함수 설계(11장)의 근거가 됩니다.
5.7 파세발 등식
정리 5.12 (푸리에 급수의 파세발 등식). x , y ∈ L 2 [ 0 , T ] x, y \in L^2[0, T] x , y ∈ L 2 [ 0 , T ] c k c_k c k d k d_k d k
1 T ∫ T x ( t ) y ( t ) ∗ d t = ∑ k = − ∞ ∞ c k d k ∗ , 1 T ∫ T ∣ x ( t ) ∣ 2 d t = ∑ k = − ∞ ∞ ∣ c k ∣ 2 \frac{1}{T}\int_T x(t)\, y(t)^*\, dt = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_kd_k^*, \qquad \frac{1}{T}\int_T |x(t)|^2\, dt = \sum_{k=-\infty}^{\infty}|c_k|^2 T 1 ∫ T x ( t ) y ( t ) ∗ d t = k = − ∞ ∑ ∞ c k d k ∗ , T 1 ∫ T ∣ x ( t ) ∣ 2 d t = k = − ∞ ∑ ∞ ∣ c k ∣ 2 입니다.
증명. 정규직교계 e k / T e_k/\sqrt{T} e k / T x x x ⟨ x , e k ⟩ / T = T c k \langle x, e_k \rangle/\sqrt{T} = \sqrt{T}c_k ⟨ x , e k ⟩ / T = T c k 정리 3.23 (3)에서 ∥ x ∥ 2 = ∥ S K ∥ 2 + ∥ x − S K ∥ 2 = T ∑ ∣ k ∣ ≤ K ∣ c k ∣ 2 + ∥ x − S K ∥ 2 \lVert x\rVert^2 = \lVert S_K\rVert^2 + \lVert x - S_K\rVert^2 = T\sum_{|k| \le K}|c_k|^2 + \lVert x - S_K\rVert^2 ∥ x ∥ 2 = ∥ S K ∥ 2 + ∥ x − S K ∥ 2 = T ∑ ∣ k ∣ ≤ K ∣ c k ∣ 2 + ∥ x − S K ∥ 2 ■ \blacksquare ■
좌변은 신호의 평균 전력 입니다. 평균 전력은 각 고조파의 전력 ∣ c k ∣ 2 |c_k|^2 ∣ c k ∣ 2
예제 5.13 (∑ 1 / n 2 \sum 1/n^2 ∑ 1/ n 2 사각파는 1 2 π ∫ ∣ x ∣ 2 = 1 \frac{1}{2\pi}\int |x|^2 = 1 2 π 1 ∫ ∣ x ∣ 2 = 1 ∑ k ∣ c k ∣ 2 = 2 ∑ k 홀수 ≥ 1 4 π 2 k 2 \sum_k |c_k|^2 = 2\sum_{k\ \text{홀수} \ge 1}\frac{4}{\pi^2k^2} ∑ k ∣ c k ∣ 2 = 2 ∑ k 홀수 ≥ 1 π 2 k 2 4 ∑ k 홀수 1 k 2 = π 2 8 \sum_{k\ \text{홀수}}\frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{8} ∑ k 홀수 k 2 1 = 8 π 2 Z = ∑ n ≥ 1 1 / n 2 Z = \sum_{n \ge 1} 1/n^2 Z = ∑ n ≥ 1 1/ n 2 Z / 4 Z/4 Z /4 Z = π 2 8 + Z 4 Z = \frac{\pi^2}{8} + \frac{Z}{4} Z = 8 π 2 + 4 Z
∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} n = 1 ∑ ∞ n 2 1 = 6 π 2 입니다.
예제 5.14 (전력 분포). 사각파의 전력 중 기본파(k = ± 1 k = \pm 1 k = ± 1 2 ⋅ 4 π 2 = 8 π 2 ≈ 81 % 2 \cdot \frac{4}{\pi^2} = \frac{8}{\pi^2} \approx 81\% 2 ⋅ π 2 4 = π 2 8 ≈ 81% ≈ 90 % \approx 90\% ≈ 90% ≈ 93 % \approx 93\% ≈ 93%
연습문제
문제 1 · 확인 문제
5.1. x ( t ) = cos 2 t x(t) = \cos^2 t x ( t ) = cos 2 t π \pi π ω 0 = 2 \omega_0 = 2 ω 0 = 2
계수
값
c 0 c_0 c 0 [?]
c 1 c_1 c 1 [?]
c − 1 c_{-1} c − 1 [?]
c 2 c_2 c 2 [?]
힌트 1 cos t = 1 2 ( e j t + e − j t ) \cos t = \frac{1}{2}(e^{jt} + e^{-jt}) cos t = 2 1 ( e j t + e − j t )
정답 풀이 cos 2 t = 1 2 + 1 4 e j 2 t + 1 4 e − j 2 t \cos^2 t = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}e^{j2t} + \frac{1}{4}e^{-j2t} cos 2 t = 2 1 + 4 1 e j 2 t + 4 1 e − j 2 t π \pi π ω 0 = 2 \omega_0 = 2 ω 0 = 2 c 0 = 1 2 c_0 = \frac{1}{2} c 0 = 2 1 c ± 1 = 1 4 c_{\pm 1} = \frac{1}{4} c ± 1 = 4 1
문제 2 · 확인 문제
5.2. 전파 정류 사인파 x ( t ) = ∣ sin t ∣ x(t) = |\sin t| x ( t ) = ∣ sin t ∣ π \pi π c k c_k c k c 0 c_0 c 0 c 1 c_1 c 1
계수
값
c 0 c_0 c 0 [?]
c 1 c_1 c 1 [?]
힌트 1 ω 0 = 2 \omega_0 = 2 ω 0 = 2 sin t = 1 2 j ( e j t − e − j t ) \sin t = \frac{1}{2j}(e^{jt} - e^{-jt}) sin t = 2 j 1 ( e j t − e − j t ) e ± j π = − 1 e^{\pm j\pi} = -1 e ± j π = − 1
정답 풀이 ω 0 = 2 \omega_0 = 2 ω 0 = 2 c k = 1 π ∫ 0 π sin t e − j 2 k t d t c_k = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin t\, e^{-j2kt}\, dt c k = π 1 ∫ 0 π sin t e − j 2 k t d t sin t = 1 2 j ( e j t − e − j t ) \sin t = \frac{1}{2j}(e^{jt} - e^{-jt}) sin t = 2 j 1 ( e j t − e − j t ) e ± j π = − 1 e^{\pm j\pi} = -1 e ± j π = − 1
∫ 0 π sin t e − j 2 k t d t = 1 2 j [ − 2 j ( 1 − 2 k ) − − 2 − j ( 1 + 2 k ) ] = 1 1 − 2 k + 1 1 + 2 k = 2 1 − 4 k 2 \int_0^\pi \sin t\, e^{-j2kt}\, dt = \frac{1}{2j}\left[\frac{-2}{j(1 - 2k)} - \frac{-2}{-j(1 + 2k)}\right] = \frac{1}{1 - 2k} + \frac{1}{1 + 2k} = \frac{2}{1 - 4k^2} ∫ 0 π sin t e − j 2 k t d t = 2 j 1 [ j ( 1 − 2 k ) − 2 − − j ( 1 + 2 k ) − 2 ] = 1 − 2 k 1 + 1 + 2 k 1 = 1 − 4 k 2 2 입니다. 따라서 c k = 2 π ( 1 − 4 k 2 ) c_k = \frac{2}{\pi(1 - 4k^2)} c k = π ( 1 − 4 k 2 ) 2 ∣ sin t ∣ = 2 π − 4 π ∑ k = 1 ∞ cos 2 k t 4 k 2 − 1 |\sin t| = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^\infty \frac{\cos 2kt}{4k^2 - 1} ∣ sin t ∣ = π 2 − π 4 ∑ k = 1 ∞ 4 k 2 − 1 c o s 2 k t c 0 = 2 π ≈ 0.6366 c_0 = \frac{2}{\pi} \approx 0.6366 c 0 = π 2 ≈ 0.6366 c 1 = − 2 3 π ≈ − 0.2122 c_1 = -\frac{2}{3\pi} \approx -0.2122 c 1 = − 3 π 2 ≈ − 0.2122 2 / π ≈ 0.637 2/\pi \approx 0.637 2/ π ≈ 0.637
문제 3 · 확인 문제
5.3. 삼각파(예제 5.5)에 파세발 등식을 적용하여 ∑ k = 1 , 3 , 5 , … 1 k 4 \displaystyle\sum_{k = 1, 3, 5, \ldots}\frac{1}{k^4} k = 1 , 3 , 5 , … ∑ k 4 1
힌트 1 평균 전력은 1 2 π ∫ − π π ( 1 − 2 ∣ t ∣ π ) 2 d t = 1 3 \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(1 - \frac{2|t|}{\pi})^2\, dt = \frac{1}{3} 2 π 1 ∫ − π π ( 1 − π 2∣ t ∣ ) 2 d t = 3 1
정답 풀이 평균 전력은 1 2 π ∫ − π π ( 1 − 2 ∣ t ∣ π ) 2 d t = 1 3 \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(1 - \frac{2|t|}{\pi})^2\, dt = \frac{1}{3} 2 π 1 ∫ − π π ( 1 − π 2∣ t ∣ ) 2 d t = 3 1 2 ∑ k 홀수 16 π 4 k 4 2\sum_{k\ \text{홀수}}\frac{16}{\pi^4k^4} 2 ∑ k 홀수 π 4 k 4 16 ∑ k 홀수 1 k 4 = π 4 96 ≈ 1.0147 \sum_{k\ \text{홀수}}\frac{1}{k^4} = \frac{\pi^4}{96} \approx 1.0147 ∑ k 홀수 k 4 1 = 96 π 4 ≈ 1.0147
문제 4 · 확인 문제
5.4 (가). 주기 T T T τ = T / 4 \tau = T/4 τ = T /4
k = 2 k = 2 k = 2 k = 4 k = 4 k = 4 k = 6 k = 6 k = 6 k = 8 k = 8 k = 8
힌트 1 c k ∝ sin ( k ω 0 τ / 2 ) = sin ( k π / 4 ) c_k \propto \sin(k\omega_0\tau/2) = \sin(k\pi/4) c k ∝ sin ( k ω 0 τ /2 ) = sin ( k π /4 )
정답 풀이 c k ∝ sin ( k ω 0 τ / 2 ) = sin ( k π / 4 ) c_k \propto \sin(k\omega_0\tau/2) = \sin(k\pi/4) c k ∝ sin ( k ω 0 τ /2 ) = sin ( k π /4 ) k = 4 , 8 , 12 , … k = 4, 8, 12, \ldots k = 4 , 8 , 12 , …
문제 5
5.4 (나). 같은 펄스열에서 전체 전력 중 직류 성분의 비율은 몇 %일까요?
힌트 1 전체 전력은 1 T ∫ T ∣ x ∣ 2 = τ T \frac{1}{T}\int_T |x|^2 = \frac{\tau}{T} T 1 ∫ T ∣ x ∣ 2 = T τ c 0 2 c_0^2 c 0 2
정답 풀이 전체 전력은 1 T ∫ ∣ x ∣ 2 = τ T = 1 4 \frac{1}{T}\int |x|^2 = \frac{\tau}{T} = \frac{1}{4} T 1 ∫ ∣ x ∣ 2 = T τ = 4 1 c 0 2 = 1 16 c_0^2 = \frac{1}{16} c 0 2 = 16 1
문제 6
예제 5.14에서 사각파의 전력 중 기본파(k = ± 1 k = \pm 1 k = ± 1
정답 풀이 8 π 2 ≈ 0.8106 \frac{8}{\pi^2} \approx 0.8106 π 2 8 ≈ 0.8106
