7장. 기본 변환쌍

요약

사각 펄스와 sinc, 한쪽과 양쪽 지수함수, 삼각 펄스, 가우스 함수, 감쇠 진동의 변환을 정의에서 직접 구합니다

사각 펄스, 가우스 함수, 지수 감쇠처럼 자주 나오는 신호의 푸리에 변환을 직접 계산해 표로 정리합니다. 이 변환쌍들을 알아 두면 8장의 성질과 조합해 대부분의 변환을 적분 없이 구할 수 있습니다.

정의에서 직접 적분하여 기본 변환쌍을 구합니다. 이 장의 여섯 개와 다음 장의 성질을 조합하면 실제로 만나는 거의 모든 변환을 적분 없이 구할 수 있습니다.

7.1 사각 펄스와 sinc

정의 7.1.

\operatorname{rect}(t) = \begin{cases} 1 & (|t| < \frac{1}{2}) \\ 0 & (|t| > \frac{1}{2}) \end{cases}, \qquad \operatorname{sinc}(u) = \begin{cases} \dfrac{\sin\pi u}{\pi u} & (u \ne 0) \\ 1 & (u = 0) \end{cases}

$\operatorname{rect}(t/\tau)$ 는 폭 $\tau$ , 높이 1인 펄스입니다. 여기의 sinc는 신호처리의 표준인 정규화된 sinc다. 0이 아닌 정수에서 0이 됩니다(수학책의 $\sin u/u$ 와 구별합니다).

정리 7.2.

\operatorname{rect}\left(\frac{t}{\tau}\right) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \frac{2\sin(\omega\tau/2)}{\omega} = \tau\operatorname{sinc}\left(\frac{\omega\tau}{2\pi}\right)

증명. 2장 예제 2.7에서 $a = \tau/2$ 로 두면 $X(\omega) = \int_{-\tau/2}^{\tau/2}e^{-j\omega t}\, dt = \frac{2\sin(\omega\tau/2)}{\omega}$ 입니다. $\tau\operatorname{sinc}(\frac{\omega\tau}{2\pi}) = \tau\frac{\sin(\omega\tau/2)}{\omega\tau/2}$ 로 같습니다. $\blacksquare$

$위는 폭 1인 사각 펄스와 그 변환, 아래는 폭 4인 사각 펄스와 그 변환입니다. 폭 4인 펄스의 스펙트럼은 봉우리가 높이 4로 높고 영점 사이가 좁습니다.$

그림 7.1. 사각 펄스와 그 변환. 펄스가 넓어지면 스펙트럼은 높고 좁아집니다.

관찰할 것은 다음과 같습니다.

$X(0) = \tau$ : 펄스의 넓입니다. 일반적으로 $X(0) = \int x(t)\, dt$ 입니다.
영점은 $\omega = 2\pi k/\tau$ ( $k \ne 0$ )입니다. 주엽(가운데 봉우리)의 폭은 $4\pi/\tau$ 입니다. 펄스가 짧을수록 스펙트럼이 넓습니다. 폭 $\tau$ 초인 펄스는 대략 $1/\tau$ Hz의 대역을 차지합니다.
꼬리는 $1/\omega$ 로 느리게 줄어듭니다. 사각 펄스에 불연속점이 있기 때문입니다(5장 5.6절의 원리).
$x$ 가 실수 우함수이므로 $X$ 도 실수 우함수입니다.

7.2 한쪽 지수함수

정리 7.3. $a > 0$ 일 때

e^{-at}u(t) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \frac{1}{a + j\omega}

입니다.

증명. $u(t)$ 때문에 적분은 0부터입니다. 2장 예제 2.6에서 $\int_0^\infty e^{-at}e^{-j\omega t}\, dt = \frac{1}{a + j\omega}$ 입니다. $\blacksquare$

크기와 위상은

|X(\omega)| = \frac{1}{\sqrt{a^2 + \omega^2}}, \qquad \angle X(\omega) = -\arctan\frac{\omega}{a}

입니다. $\omega = a$ 에서 크기가 최댓값 $1/a$ 의 $1/\sqrt{2}$ 가 됩니다. 감쇠가 빠를수록( $a$ 가 클수록) 스펙트럼이 넓습니다.

$왼쪽은 a = 1인 한쪽 지수함수, 가운데는 크기 스펙트럼 1/√(1 + ω²), 오른쪽은 위상 스펙트럼 −arctan ω로 π/2에서 −π/2로 내려갑니다.$

그림 7.2. 한쪽 지수함수와 그 크기, 위상 스펙트럼.

이 변환쌍은 RC 회로를 비롯한 1차 시스템의 임펄스 응답입니다(10장 10.5절). 증명에서 $a$ 가 실수라는 것은 쓰지 않았으므로 $\operatorname{Re} a > 0$ 인 복소수 $a$ 에서도 성립합니다.

따름정리 7.4. $a > 0$ , $n = 0, 1, 2, \ldots$ 에 대해 $t^ne^{-at}u(t) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \dfrac{n!}{(a + j\omega)^{n+1}}$ 입니다.

증명. $\int_0^\infty e^{-(a + j\omega)t}\, dt = (a + j\omega)^{-1}$ 의 양변을 $a$ 로 $n$ 번 미분합니다. 좌변은 미분할 때마다 $-t$ 가 곱해지고, 우변은 $(-1)^nn!\,(a + j\omega)^{-(n+1)}$ 이 됩니다. $\blacksquare$

7.3 양쪽 지수함수

정리 7.5. $a > 0$ 일 때 $e^{-a|t|} \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \dfrac{2a}{a^2 + \omega^2}$ 입니다.

증명. $t < 0$ 부분은 $s = -t$ 로 치환하면 $\int_0^\infty e^{-as}e^{j\omega s}\, ds = \frac{1}{a - j\omega}$ 입니다. 따라서 $X(\omega) = \frac{1}{a - j\omega} + \frac{1}{a + j\omega} = \frac{2a}{a^2 + \omega^2}$ 입니다. $\blacksquare$

실수 우함수의 변환이 실수 우함수인 예입니다. 한쪽 지수함수와 달리 위상이 0입니다. 꼬리가 $1/\omega^2$ 으로 줄어드는 것은 $e^{-a|t|}$ 가 연속이지만 $t = 0$ 에서 꺾이기 때문입니다.

7.4 삼각 펄스

정리 7.6. $\operatorname{tri}(t) = \max(1 - |t|, 0)$ 이라 하면

\operatorname{tri}\left(\frac{t}{\tau}\right) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \frac{4\sin^2(\omega\tau/2)}{\tau\omega^2} = \tau\operatorname{sinc}^2\left(\frac{\omega\tau}{2\pi}\right)

입니다.

증명. 우함수이므로 $X(\omega) = 2\int_0^\tau(1 - \frac{t}{\tau})\cos\omega t\, dt$ 입니다. 부분적분( $u = 1 - \frac{t}{\tau}$ , $v' = \cos\omega t$ )으로

X(\omega) = 2\left[\left(1 - \frac{t}{\tau}\right)\frac{\sin\omega t}{\omega}\right]_0^\tau + \frac{2}{\tau\omega}\int_0^\tau \sin\omega t\, dt = 0 + \frac{2(1 - \cos\omega\tau)}{\tau\omega^2} = \frac{4\sin^2(\omega\tau/2)}{\tau\omega^2}

입니다. 마지막에 반각 공식 $1 - \cos\theta = 2\sin^2(\theta/2)$ 를 썼습니다. $\blacksquare$

폭 $\tau$ 인 사각 펄스의 변환을 제곱하고 $\tau$ 로 나눈 것과 같습니다. 우연이 아닙니다. 삼각 펄스는 사각 펄스 둘의 합성곱이고, 합성곱은 주파수 영역에서 곱이기 때문입니다(8장 8.8절).

7.5 가우스 함수

정리 7.7. $\sigma > 0$ 일 때

e^{-t^2/(2\sigma^2)} \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \sigma\sqrt{2\pi}\, e^{-\sigma^2\omega^2/2}

입니다.

가우스 함수의 푸리에 변환은 가우스 함수입니다. 시간 폭이 $\sigma$ 이면 주파수 폭은 $1/\sigma$ 입니다.

증명. $x(t) = e^{-t^2/2\sigma^2}$ 은 $x'(t) = -\frac{t}{\sigma^2}x(t)$ 를 만족합니다. $X(\omega)$ 를 $\omega$ 로 미분하면(라이프니츠 규칙, 1장 정리 1.20)

X'(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}(-jt)\, x(t)e^{-j\omega t}\, dt = j\sigma^2\int_{-\infty}^{\infty}x'(t)e^{-j\omega t}\, dt

입니다. 부분적분하면 경계항은 $x(\pm\infty) = 0$ 이라 사라지고

X'(\omega) = j\sigma^2\left(-\int_{-\infty}^{\infty}x(t)(-j\omega)e^{-j\omega t}\, dt\right) = j\sigma^2 \cdot j\omega X(\omega) = -\sigma^2\omega X(\omega)

입니다. $X$ 는 $x$ 와 같은 꼴의 미분방정식을 만족합니다. 해는 $X(\omega) = X(0)e^{-\sigma^2\omega^2/2}$ 이고(대입하여 확인), $X(0) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^2/2\sigma^2}\, dt = \sigma\sqrt{2\pi}$ 다(1장 정리 1.16). $\blacksquare$

같은 내용의 다른 표기는 다음과 같습니다.

e^{-at^2} \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \sqrt{\frac{\pi}{a}}\, e^{-\omega^2/(4a)}, \qquad \text{관례 (B)에서}\quad e^{-\pi t^2} \longleftrightarrow e^{-\pi f^2}

마지막 식처럼 가우스 함수는 푸리에 변환의 고유함수입니다. 가우스 함수는 무한히 매끄러우므로 스펙트럼이 어떤 거듭제곱보다 빨리 줄어듭니다. 시간과 주파수 양쪽에서 동시에 가장 잘 집중된 함수이기도 합니다(13장).

$σ = 0.5, 1, 2인 가우스 함수(왼쪽)와 그 변환(오른쪽). σ = 0.5인 함수는 시간에서 가장 좁고 주파수에서 가장 넓으며, σ = 2인 함수는 그 반대입니다.$

그림 7.3. 가우스 함수와 그 변환. 시간 영역에서 좁을수록 주파수 영역에서 넓습니다.

7.6 감쇠 진동

정리 7.8. $a > 0$ 일 때

e^{-at}\cos(\omega_0 t)\, u(t) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \frac{a + j\omega}{(a + j\omega)^2 + \omega_0^2}, \qquad e^{-at}\sin(\omega_0 t)\, u(t) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \frac{\omega_0}{(a + j\omega)^2 + \omega_0^2}

입니다.

증명. $\cos\omega_0 t = \frac{1}{2}(e^{j\omega_0 t} + e^{-j\omega_0 t})$ 이므로 $e^{-at}\cos(\omega_0 t)u(t) = \frac{1}{2}e^{-(a - j\omega_0)t}u(t) + \frac{1}{2}e^{-(a + j\omega_0)t}u(t)$ 입니다. 정리 7.3을 복소수 $a \mp j\omega_0$ 에 적용하면

\frac{1}{2}\left[\frac{1}{a + j(\omega - \omega_0)} + \frac{1}{a + j(\omega + \omega_0)}\right] = \frac{a + j\omega}{(a + j\omega)^2 + \omega_0^2}

입니다. sin도 같은 방법입니다. $\blacksquare$

$a \ll \omega_0$ 이면 $|X(\omega)|$ 는 $\omega = \pm\omega_0$ 부근에 폭이 $a$ 정도인 봉우리를 가집니다. 오래 울리는 진동일수록 스펙트럼의 봉우리가 뾰족합니다. 종을 치거나 RLC 회로가 공진하는 소리의 스펙트럼이 이것입니다.

7.7 정리

$x(t)$	$X(\omega)$	조건
$\operatorname{rect}(t/\tau)$	$\frac{2\sin(\omega\tau/2)}{\omega} = \tau\operatorname{sinc}\frac{\omega\tau}{2\pi}$	$\tau > 0$
$\operatorname{tri}(t/\tau)$	$\tau\operatorname{sinc}^2\frac{\omega\tau}{2\pi}$	$\tau > 0$
$e^{-at}u(t)$	$\frac{1}{a + j\omega}$	$\operatorname{Re} a > 0$
$t^ne^{-at}u(t)$	$\frac{n!}{(a + j\omega)^{n+1}}$	$\operatorname{Re} a > 0$
$e^{-a\lvert t\rvert}$	$\frac{2a}{a^2 + \omega^2}$	$a > 0$
$e^{-t^2/(2\sigma^2)}$	$\sigma\sqrt{2\pi}\, e^{-\sigma^2\omega^2/2}$	$\sigma > 0$
$e^{-at}\cos(\omega_0 t)u(t)$	$\frac{a + j\omega}{(a + j\omega)^2 + \omega_0^2}$	$a > 0$
$e^{-at}\sin(\omega_0 t)u(t)$	$\frac{\omega_0}{(a + j\omega)^2 + \omega_0^2}$	$a > 0$

델타함수가 필요한 변환쌍(상수, 사인파, 계단함수)은 9장에서 더합니다. 전체 표는 “부록 A. 공식 모음”에 있습니다.

쓰이는 곳. 가우스 함수가 푸리에 변환해도 가우스라는 사실은 확률(중심극한정리), 광학(가우스 빔), 양자역학(최소 불확정 상태)에서 쓰입니다. 사각 펄스와 sinc의 짝은 디지털 통신과 이상적 필터의 기본입니다.

연습문제

문제 1 · 확인 문제

폭 $\tau = 0.5$ s인 사각 펄스의 스펙트럼이 처음으로 0이 되는 양의 각주파수 $\omega$ (rad/s)를 구합니다. 소수 셋째 자리까지 적습니다.

힌트 1

영점은 $\omega = 2\pi k/\tau$ 입니다.

정답

12.566

풀이

$\sin(\omega\tau/2) = 0$ 인 첫 양수 $\omega$ 는 $\omega\tau/2 = \pi$ , 즉 $\omega = 2\pi/\tau = 4\pi \approx 12.566$ rad/s다(2 Hz).

문제 2 · 확인 문제

6.2. $x(t) = te^{-t}u(t)$ 의 변환을 구하고, 파세발 등식 $\int|x|^2\, dt = \frac{1}{2\pi}\int|X|^2\, d\omega$ 의 양변을 각각 계산하여 확인합니다.

값	답
$X(0)$	[?]
$\int_{-\infty}^{\infty}\lvert x(t)\rvert^2\, dt$	[?]
$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\lvert X(\omega)\rvert^2\, d\omega$	[?]

힌트 1

따름정리 7.4에서 $n = 1$ , $a = 1$ 입니다.

정답

1
1/4
1/4

풀이

따름정리 7.4에서 $X = \frac{1}{(1 + j\omega)^2}$ 이고 $X(0) = 1$ 입니다. 시간 쪽은 $\int_0^\infty t^2e^{-2t}\, dt = \frac{2}{2^3} = \frac{1}{4}$ 입니다. 주파수 쪽은 $|X|^2 = \frac{1}{(1 + \omega^2)^2}$ 이고 $\frac{1}{2\pi}\int\frac{d\omega}{(1 + \omega^2)^2} = \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{1}{4}$ 입니다(8장 8.9절의 예제).

문제 3 · 확인 문제

6.5. $X(\omega) = \dfrac{1}{(1 + j\omega)(2 + j\omega)}$ 의 역변환을 구합니다. 부분분수 $X = \frac{A}{1 + j\omega} + \frac{B}{2 + j\omega}$ 의 계수를 적습니다.

계수	값
$A$	[?]
$B$	[?]

힌트 1

$A = \left.\frac{1}{2 + j\omega}\right|_{j\omega = -1}$ 입니다.

정답

1
-1

풀이

부분분수로 $\frac{1}{1 + j\omega} - \frac{1}{2 + j\omega}$ 입니다. 정리 7.3과 유일성(6장 따름정리 6.6)에서 $x(t) = (e^{-t} - e^{-2t})u(t)$ 입니다.

문제 4 · 확인 문제

$x(t) = e^{-t^2/8}$ 의 $X(0)$ 을 소수 셋째 자리까지 구합니다.

힌트 1

$t^2/8 = t^2/(2\sigma^2)$ 에서 $\sigma = 2$ 입니다.

정답

5.013

풀이

$\sigma = 2$ 이므로 $X(0) = \sigma\sqrt{2\pi} = 2\sqrt{2\pi} \approx 5.013$ 입니다.

문제 5 · 확인 문제

한쪽 지수함수 $e^{-at}u(t)$ 에서 $a$ 를 4배로 늘리면, 크기 스펙트럼이 최댓값의 $1/\sqrt{2}$ 가 되는 주파수는?

4배가 됩니다
1/4이 됩니다
2배가 됩니다
그대로입니다

정답

풀이

$|X(\omega)| = 1/\sqrt{a^2 + \omega^2}$ 은 $\omega = a$ 에서 최댓값 $1/a$ 의 $1/\sqrt{2}$ 가 됩니다. 그러므로 그 주파수는 $a$ 에 비례해 4배가 됩니다. 빨리 줄어드는 신호일수록 스펙트럼이 넓습니다.