21장. 유한차원 벡터공간

요약

추상 벡터공간의 span과 유한차원, 일차종속 보조정리, 행렬 없이 증명하는 교환 정리, 기저의 판정과 줄이기·늘이기, 여공간, 차원, 합의 차원 공식

12장의 기저와 차원을 20장의 추상 벡터공간에서 다시 세웁니다. 숫자 목록이 아닌 공간(예: 차수 3 이하의 다항식)에서도 기저와 차원이 잘 정의된다는 것, 그리고 차원이 같은 공간은 본질적으로 같다는 것을 증명합니다. 증명의 비중이 커지는 장입니다(심화).

21.1 추상적인 공간의 차원

질문. $\mathcal{P}_3(\mathbb{R})$ 은 몇 차원일까요? $1, x, x^2, x^3$ 이 “기저”처럼 보이니 4차원 같습니다. 그러면 $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ (모든 다항식)은? 함수 공간 $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ 은? 그리고 12장에서 $\mathbb{R}^n$ 에 대해 증명한 “기저의 길이는 모두 같습니다”는, 행렬을 쓸 수 없는 추상적인 공간에서도 성립할까요?

12장의 증명은 벡터를 열로 쌓아 행렬을 만들고 따름정리 11.4를 썼습니다. 추상적인 벡터공간에는 “성분”이 없으므로 그 증명을 그대로 쓸 수 없습니다. 이 장에서는 행렬 없이, 벡터공간의 공리만으로 같은 결과들을 증명합니다. 결과는 같지만 증명이 더 근본적입니다.

이 장에서 목록은 유한 개 벡터를 순서대로 늘어놓은 것 $v_1, \ldots, v_m$ 입니다. 집합과 달리 같은 벡터가 여러 번 나올 수 있습니다.

21.2 span과 유한차원

정의 21.1 (일차결합과 span). $V$ 의 목록 $v_1, \ldots, v_m$ 의 일차결합(linear combination)은 $a_1v_1 + \cdots + a_mv_m$ ( $a_i \in \mathbb{F}$ ) 꼴의 벡터입니다. 일차결합 전체의 집합을 $\operatorname{span}(v_1, \ldots, v_m)$ 으로 쓰고, $\operatorname{span}() = \{0\}$ 으로 약속합니다. $\operatorname{span}(v_1, \ldots, v_m) = V$ 이면 이 목록이 $V$ 를 span한다(spans)고 합니다.

3장과 같은 정의이며, $\operatorname{span}(v_1, \ldots, v_m)$ 은 $v_1, \ldots, v_m$ 을 포함하는 가장 작은 부분공간입니다(정리 3.6과 같은 증명).

정의 21.2 (유한차원). 유한한 목록으로 span되는 벡터공간을 유한차원(finite-dimensional)이라 하고, 그렇지 않으면 무한차원(infinite-dimensional)이라 합니다.

예제 21.3.

$\mathbb{F}^n$ 은 $e_1, \ldots, e_n$ 이 span하므로 유한차원입니다.
$\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$ 는 $1, x, \ldots, x^m$ 이 span하므로 유한차원입니다.
$\mathcal{P}(\mathbb{F})$ 는 무한차원입니다. 유한한 목록 $p_1, \ldots, p_k$ 가 있으면, 그중 가장 높은 차수를 $d$ 라 할 때 일차결합의 차수는 $d$ 이하입니다. 따라서 $x^{d+1}$ 은 span 안에 없습니다.

무한차원 공간은 함수해석학에서 다룹니다. 3부는 유한차원 공간에 집중합니다. 다만 정의들은 무한차원에서도 의미가 있습니다.

21.3 일차독립과 일차종속 보조정리

정의 21.4 (일차독립). $a_1v_1 + \cdots + a_mv_m = 0$ 이면 모든 $a_i = 0$ 일 때 목록 $v_1, \ldots, v_m$ 이 일차독립(linearly independent)이라 합니다. 빈 목록은 일차독립으로 약속합니다.

12장과 같은 정의입니다. 다음 보조정리는 이 장의 거의 모든 증명에 쓰이는 도구입니다.

보조정리 21.5 (일차종속 보조정리). $v_1, \ldots, v_m$ 이 일차종속이면 다음을 만족하는 $j \in \{1, \ldots, m\}$ 이 있습니다.

$v_j \in \operatorname{span}(v_1, \ldots, v_{j-1})$ .
$v_j$ 를 목록에서 빼도 span이 그대로입니다.

증명. $a_1v_1 + \cdots + a_mv_m = 0$ 이고 계수가 모두 0은 아닙니다. 0이 아닌 계수 중 번호가 가장 큰 것을 $a_j$ 라 합시다. 그러면 $a_{j+1} = \cdots = a_m = 0$ 이므로

v_j = -\frac{a_1}{a_j}v_1 - \cdots - \frac{a_{j-1}}{a_j}v_{j-1}.

이것이 (1)입니다( $j = 1$ 이면 $v_1 = 0$ = 빈 span의 원소). (2): span의 원소 $\sum c_iv_i$ 에서 $v_j$ 를 위 식으로 바꾸면 나머지 벡터들의 일차결합이 됩니다(정리 3.8과 같은 논리). ■

“가장 큰 번호”를 고르는 것이 요령입니다. 덕분에 $v_j$ 가 앞의 벡터들만으로 표현됩니다. 이 사실이 다음 정리의 증명에서 결정적입니다.

▶ 문제 21.1–21.4

21.4 독립 목록의 길이 ≤ span 목록의 길이

정리 21.6 (교환 정리). 유한차원 벡터공간 $V$ 에서, 일차독립인 목록의 길이는 $V$ 를 span하는 목록의 길이 이하입니다.

증명. $u_1, \ldots, u_m$ 은 독립, $w_1, \ldots, w_n$ 은 $V$ 를 span한다고 합시다. $m \le n$ 을 보입니다. 아이디어: $w$ 들을 하나씩 $u$ 들로 교환해 나갑니다. 각 단계에서 목록은 계속 $V$ 를 span하고 길이는 $n$ 을 유지합니다.

1단계. $w_1, \ldots, w_n$ 이 $V$ 를 span하므로 $u_1 \in \operatorname{span}(w_1, \ldots, w_n)$ 이고, 목록

u_1, w_1, \ldots, w_n

은 종속입니다. 일차종속 보조정리에 의해 어떤 원소를 빼도 span이 유지되는데, 그 원소는 $u_1$ 일 수 없습니다( $u_1 \ne 0$ 이므로 빈 span에 속하지 않습니다). 따라서 어떤 $w$ 를 빼서, 길이 $n$ 의 span 목록 $u_1$ , ( $w$ $n - 1$ 개)를 얻습니다.

$k$ 단계. $(k - 1)$ 단계 후의 목록 $u_1, \ldots, u_{k-1}$ , ( $w$ $n - k + 1$ 개)가 $V$ 를 span합니다. $u_k$ 를 그 사이(앞의 $u$ 들 바로 뒤)에 넣은

u_1, \ldots, u_k, (w\ n - k + 1\text{개})

는 종속입니다. 일차종속 보조정리에 의해 앞의 원소들의 span에 속하는 원소 $v_j$ 가 있습니다. $u_1, \ldots, u_k$ 는 독립이므로 $v_j$ 는 이들 중 하나일 수 없습니다. 따라서 $v_j$ 는 어떤 $w$ 이고, 그것을 빼도 span이 유지됩니다.

각 단계에서 $w$ 가 하나씩 빠지므로, $m$ 단계를 모두 진행하려면 $w$ 가 적어도 $m$ 개 있어야 합니다. 즉 $m \le n$ . ■

12장의 정리 12.9와 같은 결론이지만, 이번에는 행렬도 연립방정식도 쓰지 않았습니다.

따름정리 21.7 (부분공간도 유한차원). 유한차원 벡터공간의 부분공간은 유한차원입니다.

증명. $\dim$ 이 아직 정의되지 않았으므로 직접 보입니다. $V$ 가 길이 $n$ 의 목록으로 span된다고 합시다. 부분공간 $U$ 에서 독립인 목록을 가능한 한 길게 만듭니다: $U = \{0\}$ 이면 끝, 아니면 $u_1 \ne 0$ 을 고르고, $U \ne \operatorname{span}(u_1, \ldots, u_k)$ 이면 그 밖의 $u_{k+1} \in U$ 를 추가합니다. 목록은 항상 독립이고(문제 12.4와 같은 논리) 교환 정리에 의해 길이가 $n$ 이하이므로 과정이 멈추고, 멈출 때 $U$ 를 span합니다. ■

▶ 문제 21.5–21.6

21.5 기저

정의 21.8 (기저). 일차독립이면서 $V$ 를 span하는 목록을 $V$ 의 기저(basis)라 합니다.

정리 21.9 (기저의 판정). $v_1, \ldots, v_n$ 이 $V$ 의 기저인 것은 모든 $v \in V$ 가 $v = a_1v_1 + \cdots + a_nv_n$ 으로 유일하게 쓰이는 것과 동치입니다.

증명은 정리 12.6과 같습니다(문제 21.7). 이 정리는 기저가 “좌표계”라는 것을 다시 말해 줍니다. 기저를 하나 고르면 $V$ 의 원소 $v$ 를 좌표 $(a_1, \ldots, a_n) \in \mathbb{F}^n$ 으로 바꿀 수 있습니다. 22장에서 이것이 $V$ 와 $\mathbb{F}^n$ 이 “같은 공간”(동형)이라는 뜻임을 봅니다.

정리 21.10 (줄이기와 늘이기). $V$ 가 유한차원이면

$V$ 를 span하는 모든 목록은 원소를 빼서 기저로 줄일 수 있습니다.
$V$ 의 모든 독립 목록은 원소를 더해서 기저로 늘릴 수 있습니다.

특히 모든 유한차원 벡터공간은 기저를 갖습니다.

증명. (1) 목록이 종속인 동안, 일차종속 보조정리로 span을 바꾸지 않고 한 원소씩 뺍니다. 유한 번 안에 독립이 됩니다.

(2) $u_1, \ldots, u_m$ 은 독립, $w_1, \ldots, w_n$ 은 $V$ 를 span한다고 합시다. 목록 $u_1, \ldots, u_m, w_1, \ldots, w_n$ 은 $V$ 를 span합니다. 여기에 (1)의 과정을 적용하되, 보조정리가 언제나 앞의 원소들의 span에 속하는 원소를 빼게 하므로 $u$ 들은 빠지지 않습니다( $u$ 들은 독립이라 앞의 $u$ 들의 span에 속하지 않습니다). 남은 목록은 $u_1, \ldots, u_m$ 을 포함하는 기저입니다. ■

따름정리 21.11 (여공간의 존재). $V$ 가 유한차원이고 $U$ 가 부분공간이면, $V = U \oplus W$ 인 부분공간 $W$ 가 존재합니다.

증명. $U$ 의 기저 $u_1, \ldots, u_m$ 을 $V$ 의 기저 $u_1, \ldots, u_m, w_1, \ldots, w_n$ 으로 늘리고 $W = \operatorname{span}(w_1, \ldots, w_n)$ 으로 둡니다. 모든 $v$ 는 기저의 일차결합이므로 $V = U + W$ . $v \in U \cap W$ 이면 $v = \sum a_iu_i = \sum b_jw_j$ 이고, 빼면 기저의 일차결합이 0이므로 모든 계수가 0, $v = 0$ . ■

이런 $W$ 는 하나로 정해지지 않습니다. $\mathbb{R}^2$ 에서 $U$ = $x$ 축이면 $x$ 축이 아닌 원점을 지나는 직선은 모두 $W$ 가 될 수 있습니다. 내적이 있으면 특별한 선택, 직교여공간 $U^\perp$ 가 있습니다(25장).

▶ 문제 21.7–21.9

21.6 차원

정리 21.12 (기저의 길이는 같습니다). 유한차원 벡터공간의 모든 기저는 길이가 같습니다.

증명. 두 기저 $B_1$ (길이 $m$ ), $B_2$ (길이 $n$ )에 대해, $B_1$ 은 독립이고 $B_2$ 는 span하므로 교환 정리에 의해 $m \le n$ . 역할을 바꾸면 $n \le m$ . ■

정의 21.13 (차원). 유한차원 벡터공간 $V$ 의 기저의 길이를 $V$ 의 차원(dimension)이라 하고 $\dim V$ 로 씁니다.

예제 21.14.

$\dim \mathbb{F}^n = n$ , $\dim \mathcal{P}_m(\mathbb{F}) = m + 1$ (기저 $1, x, \ldots, x^m$ ), $\dim \mathbb{F}^{m \times n} = mn$ (성분 하나만 1인 행렬들).
$\mathbb{C}$ 를 $\mathbb{R}$ 위로 보면 $\dim = 2$ , $\mathbb{C}$ 위로 보면 $\dim = 1$ .
$\dim \mathbb{F}_2^n = n$ 이고, $\mathbb{F}_2^n$ 의 원소는 $2^n$ 개입니다. 일반적으로 $\mathbb{F}_q$ 위의 $d$ 차원 공간은 원소가 $q^d$ 개입니다(문제 21.11).

12장의 정리 12.14도 같은 방식으로 일반화됩니다.

정리 21.15 (차원을 알 때). $\dim V = n$ 이면

길이 $n$ 인 독립 목록은 기저입니다.
길이 $n$ 인 span 목록은 기저입니다.
부분공간 $U$ 에 대해 $\dim U \le n$ 이고, $\dim U = n$ 이면 $U = V$ 입니다.

증명. (1) 기저로 늘릴 수 있는데, 늘린 기저도 길이 $n$ 이어야 하므로 아무것도 더하지 않았습니다. (2) 같은 논리로 줄이기. (3) $U$ 의 기저는 $V$ 에서 독립이므로 길이 $\le n$ . 길이가 $n$ 이면 (1)에 의해 $V$ 의 기저이므로 $U = V$ . ■

예제 21.16. $U = \{p \in \mathcal{P}_3(\mathbb{R}) : p(5) = 0\}$ 의 차원을 구합시다. $(x - 5)$ , $(x - 5)^2$ , $(x - 5)^3$ 은 $U$ 에 있고 차수가 달라 독립입니다(문제 21.4). 따라서 $\dim U \ge 3$ . 또 $1 \notin U$ 이므로 $U \ne \mathcal{P}_3(\mathbb{R})$ , $\dim U < 4$ . 따라서 $\dim U = 3$ 이고 위 세 다항식이 기저입니다.

21.7 합의 차원

정리 21.17 (합의 차원 공식). 유한차원 공간의 부분공간 $U_1, U_2$ 에 대해

\dim(U_1 + U_2) = \dim U_1 + \dim U_2 - \dim(U_1 \cap U_2).

증명. $U_1 \cap U_2$ 의 기저 $u_1, \ldots, u_m$ 을 $U_1$ 의 기저 $u_1, \ldots, u_m, v_1, \ldots, v_j$ 와 $U_2$ 의 기저 $u_1, \ldots, u_m, w_1, \ldots, w_k$ 로 각각 늘립니다. 목록

u_1, \ldots, u_m, v_1, \ldots, v_j, w_1, \ldots, w_k

가 $U_1 + U_2$ 의 기저임을 보이면, 길이가 $m + j + k = (m + j) + (m + k) - m$ 이므로 공식이 나옵니다.

span하는 것은 분명합니다. 독립임을 보입시다. $\sum a_iu_i + \sum b_iv_i + \sum c_iw_i = 0$ 이라 하면

\sum c_iw_i = -\sum a_iu_i - \sum b_iv_i \in U_1.

좌변은 $U_2$ 에 있으므로 $U_1 \cap U_2$ 에 있고, $\sum c_iw_i = \sum d_iu_i$ 로 쓸 수 있습니다. $u, w$ 들은 $U_2$ 의 기저라 독립이므로 모든 $c_i = 0$ (그리고 $d_i = 0$ ). 그러면 $\sum a_iu_i + \sum b_iv_i = 0$ 이고 $U_1$ 의 기저의 독립성에서 모든 $a_i = b_i = 0$ . ■

집합의 원소 개수 공식 $\lvert A \cup B \rvert = \lvert A \rvert + \lvert B \rvert - \lvert A \cap B \rvert$ 와 모양이 같습니다. 그러나 세 개 이상으로는 이 유사성이 깨집니다(문제 21.12).

예제 21.18. $\mathbb{R}^3$ 의 서로 다른 두 평면( $\dim = 2$ )은 $\dim(U_1 + U_2) \le 3$ 이므로 $\dim(U_1 \cap U_2) \ge 2 + 2 - 3 = 1$ 입니다. 원점을 지나는 서로 다른 두 평면은 반드시 직선에서 만납니다(문제 12.9를 다시 증명한 것입니다).

$U_1 + U_2$ 가 직합인 것은 $U_1 \cap U_2 = \{0\}$ , 즉 $\dim(U_1 + U_2) = \dim U_1 + \dim U_2$ 인 것과 같습니다.

▶ 문제 21.10–21.12

쓰이는 곳. 다항식 회귀나 유한요소법은 무한차원인 함수 공간을 유한차원 부분공간(차수 n 이하 다항식, 조각 함수)으로 근사합니다. 그 근사의 크기를 재는 것이 이 장의 차원입니다.

이 장의 요약

유한한 목록으로 span되면 유한차원. $\mathcal{P}(\mathbb{F})$ 는 무한차원.
일차종속 보조정리: 종속이면 어떤 $v_j$ 가 앞 벡터들의 span에 있고, 빼도 span이 그대로입니다.
교환 정리: 독립 목록의 길이 $\le$ span 목록의 길이. 행렬 없이 증명됩니다.
span 목록은 기저로 줄일 수 있고, 독립 목록은 기저로 늘릴 수 있습니다. 모든 부분공간은 여공간을 갖습니다.
차원: 기저의 공통 길이. $\dim \mathcal{P}_m = m + 1$ , $\dim \mathbb{F}^{m \times n} = mn$ .
$\dim(U_1 + U_2) = \dim U_1 + \dim U_2 - \dim(U_1 \cap U_2)$ .

문제

21.1 [계산] · 확인 문제

$\mathcal{P}_2(\mathbb{R})$ 에서 $x^2 + 2$ 가 $1 + x$ , $x + x^2$ , $1 + x^2$ 의 일차결합인지 판정하고, 그렇다면 계수를 구합니다. $x^2 + 2 = a(1 + x) + b(x + x^2) + c(1 + x^2)$ 의 계수를 적습니다.

$a$	$b$	$c$
[?]	[?]	[?]

정답

1/2
-1/2
3/2

풀이

$a(1 + x) + b(x + x^2) + c(1 + x^2)$ 의 계수 비교: 상수 $a + c = 2$ , $x$ : $a + b = 0$ , $x^2$ : $b + c = 1$ . 풀면 $b = -\frac12$ , $a = \frac12$ , $c = \frac32$ . 일차결합입니다.

21.2 [계산] · 확인 문제

일차독립인지 판정합니다. 독립이면 O, 종속이면 X를 적습니다.

목록	독립인가
(a) $\mathcal{P}_2(\mathbb{R})$ 에서 $1$ , $1 + x$ , $1 + x + x^2$	[?]
(b) $\mathbb{R}^{2 \times 2}$ 에서 $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$	[?]
(c) $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ 에서 $\sin x$ , $\cos x$ , $\sin(x + 1)$	[?]
(d) $(1, 1, 0)$ , $(0, 1, 1)$ , $(1, 0, 1)$ 을 $\mathbb{R}^3$ 에서 볼 때	[?]
(d) 같은 세 벡터를 $\mathbb{F}_2^3$ 에서 볼 때	[?]

정답

O
X
X
O
X

풀이

(a) 독립(차수가 다르다, 문제 21.4). (b) 종속: 셋째 = 첫째 + 둘째. (c) 종속: $\sin(x + 1) = \cos 1 \cdot \sin x + \sin 1 \cdot \cos x$ .

(d) $\mathbb{R}^3$ : 행렬식 $1(1 - 0) - 0 + 1(1 - 0) = 2 \ne 0$ 이므로 독립. $\mathbb{F}_2^3$ : 세 벡터의 합이 $(2, 2, 2) = (0, 0, 0)$ 이므로 종속. 같은 벡터라도 체에 따라 독립성이 달라집니다.

21.3 [증명]

$\mathbb{F}^\infty$ (무한수열 전체)는 무한차원임을 보입니다.

풀이

$e_k$ 를 $k$ 번째 성분만 1인 수열이라 하면 모든 $m$ 에 대해 $e_1, \ldots, e_m$ 은 독립입니다. $\mathbb{F}^\infty$ 가 길이 $n$ 의 목록으로 span된다면 교환 정리에 의해 독립 목록의 길이는 $n$ 이하여야 하는데, $m = n + 1$ 이면 모순.

21.4 [증명]

$p_1, \ldots, p_m \in \mathcal{P}(\mathbb{F})$ 가 0이 아니고 차수가 모두 다르면 일차독립임을 보입니다.

풀이

차수가 큰 순서로 $p_1, \ldots, p_m$ 이라 합시다. $\sum a_ip_i = 0$ 에서 최고차항 $x^{\deg p_1}$ 의 계수를 보면 $p_1$ 에서만 나오므로 $a_1 = 0$ . 남은 것들에 반복합니다.

21.5 [증명]

교환 정리를 써서, $\mathbb{F}^n$ 에서 벡터 $n + 1$ 개는 항상 일차종속임을 보입니다. 12장의 증명과 무엇이 다를까요?

풀이

$e_1, \ldots, e_n$ 이 $\mathbb{F}^n$ 을 span하므로 독립 목록의 길이는 $n$ 이하. 12장은 따름정리(미지수가 더 많은 동차연립방정식)를 썼고, 이번에는 일차종속 보조정리로 교환하는 논증만 썼습니다.

21.6 [도전]

$V$ 가 유한차원이면, $V$ 의 부분공간들의 사슬 $U_1 \subsetneq U_2 \subsetneq U_3 \subsetneq \cdots$ 는 무한히 계속될 수 없음을 보입니다. $\mathcal{P}(\mathbb{F})$ 에서는 무한히 계속되는 사슬을 만듭니다.

풀이

$U_k \subsetneq U_{k+1}$ 이면 $\dim U_k < \dim U_{k+1}$ (정리 21.15(3)). 차원은 0에서 $\dim V$ 사이의 정수이므로 사슬의 길이는 $\dim V + 1$ 이하. $\mathcal{P}(\mathbb{F})$ 에서는 $\mathcal{P}_0 \subsetneq \mathcal{P}_1 \subsetneq \mathcal{P}_2 \subsetneq \cdots$ .

21.7 [증명]

정리 21.9를 증명합니다.

풀이

(⇒) span하므로 표현이 있고, $\sum a_iv_i = \sum b_iv_i$ 이면 $\sum (a_i - b_i)v_i = 0$ 에서 독립성으로 $a_i = b_i$ . (⇐) span은 분명. $0 = \sum a_iv_i$ 이면 $0 = \sum 0 \cdot v_i$ 와 비교해 유일성으로 $a_i = 0$ .

21.8 [계산]

(a) $(1, 1, 0)$ , $(0, 1, 1)$ 을 $\mathbb{R}^3$ 의 기저로 늘립니다. (b) $\mathbb{R}^2$ 를 span하는 목록 $(1, 0), (2, 0), (0, 1), (1, 1)$ 을 정리 21.10의 방법(앞에서부터, 앞 벡터들의 span에 있는 것을 뺍니다)으로 기저로 줄입니다.

풀이

(a) $(0, 0, 1)$ 을 추가. $\det\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} = 1 \ne 0$ .

(b) $(1, 0)$ 유지. $(2, 0) \in \operatorname{span}((1, 0))$ 이므로 뺍니다. $(0, 1) \notin \operatorname{span}((1, 0))$ , 유지. $(1, 1) \in \operatorname{span}((1, 0), (0, 1))$ , 뺍니다. 기저 $(1, 0), (0, 1)$ .

21.9 [계산]

$U = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x + y + z = 0\}$ 의 여공간 $W$ ( $\mathbb{R}^3 = U \oplus W$ )를 두 가지 구합니다.

풀이

$W = \operatorname{span}\{(1, 0, 0)\}$ 또는 $W = \operatorname{span}\{(1, 1, 1)\}$ . 각 벡터가 $U$ 에 없으므로 $U \cap W = \{0\}$ 이고 $\dim U + \dim W = 3$ . 여공간은 유일하지 않습니다.

21.10 [계산] · 확인 문제

차원을 구하고 기저를 하나 씁니다. 표에는 $n = 3$ 일 때의 차원을 적습니다. (a) $n \times n$ 대칭행렬 전체 (b) $n \times n$ 위삼각행렬 전체 (c) 대각합이 0인 $n \times n$ 행렬 전체 (d) $\{p \in \mathcal{P}_4(\mathbb{R}) : p(1) = p(-1) = 0\}$

(a)	(b)	(c)	(d)
[?]	[?]	[?]	[?]

정답

풀이

(a) $\frac{n(n+1)}{2}$ . 기저: $E_{ii}$ , $E_{ij} + E_{ji}$ ( $i < j$ ). ( $E_{ij}$ 는 $(i, j)$ 성분만 1.)

(b) $\frac{n(n+1)}{2}$ . 기저: $E_{ij}$ ( $i \le j$ ).

(d) 3. $p(1) = p(-1) = 0$ 이면 인수정리(23장)에 의해 $p = (x^2 - 1)q$ , $\deg q \le 2$ 이므로 $(x^2 - 1)$ , $x(x^2 - 1)$ , $x^2(x^2 - 1)$ 이 span합니다. 차수가 달라 독립이므로 기저입니다.

21.11 [증명]

체 $\mathbb{F}_q$ 가 $q$ 개의 원소를 가질 때, $\mathbb{F}_q$ 위의 $d$ 차원 벡터공간은 정확히 $q^d$ 개의 원소를 가짐을 보입니다.

풀이

기저 $v_1, \ldots, v_d$ 를 고르면 각 원소는 $\sum a_iv_i$ ( $a_i \in \mathbb{F}_q$ )로 유일하게 쓰입니다(정리 21.9). 계수 선택은 $q^d$ 가지.

21.12 [도전]

집합의 경우 $\lvert A \cup B \cup C \rvert = \lvert A \rvert + \lvert B \rvert + \lvert C \rvert - \lvert A \cap B \rvert - \lvert A \cap C \rvert - \lvert B \cap C \rvert + \lvert A \cap B \cap C \rvert$ 입니다. 부분공간에 대해 같은 모양의 공식

\dim(U_1 + U_2 + U_3) = \sum \dim U_i - \sum_{i < j}\dim(U_i \cap U_j) + \dim(U_1 \cap U_2 \cap U_3)

은 성립하지 않음을 $\mathbb{R}^2$ 의 세 직선으로 보입니다.

풀이

$U_1$ = $x$ 축, $U_2$ = $y$ 축, $U_3$ = 직선 $y = x$ . 좌변 $\dim \mathbb{R}^2 = 2$ . 우변: $1 + 1 + 1 - 0 - 0 - 0 + 0 = 3$ . 성립하지 않습니다.