22장. 선형사상

요약

선형사상과 L(V, W), 기저 위의 값으로 정해지는 사상, 영공간과 치역, 선형사상의 기본정리, 선형사상의 행렬, 가역성과 동형, 몫공간과 제1 동형정리, 쌍대공간과 쌍대사상, 행 랭크 = 열 랭크의 재증명

행렬을 추상화한 것이 선형사상입니다. 미분(다항식을 다항식으로 보냄)이나 적분도 선형사상입니다. 이 장에서는 선형사상의 영공간과 치역, 차원 정리, 가역성, 쌍대공간을 다룹니다. 일부 절(몫공간, 쌍대)은 고급 내용이라 처음 읽을 때는 건너뛰어도 뒤 장을 읽을 수 있습니다(심화·고급).

22.1 행렬보다 먼저

질문. 다항식을 미분하는 것, 수열을 한 칸 미는 것, 함수를 한 점에서 계산하는 것은 모두 “일차결합을 일차결합으로 보내는” 규칙입니다. 행렬은 없습니다. 이런 규칙들에 대해서도 랭크–영공간 정리 같은 결과가 성립할까요?

4장과 19장에서 선형변환은 행렬보다 먼저 존재한다고 했습니다. 이 장에서는 그 생각을 끝까지 밀고 나갑니다. 벡터공간 사이의 선형사상을 직접 다루고, 행렬은 기저를 고를 때만 꺼냅니다. 그렇게 하면 12장의 결과들이 더 짧고 더 일반적인 증명을 얻고, 몫공간과 쌍대공간이라는 새로운 도구가 생깁니다.

이 장에서 $V$ , $W$ , $U$ 는 $\mathbb{F}$ 위의 벡터공간입니다.

22.2 선형사상과 L(V, W)

정의 22.1 (선형사상). 함수 $T : V \to W$ 가 모든 $u, v \in V$ , $a \in \mathbb{F}$ 에 대해

T(u + v) = Tu + Tv, \qquad T(av) = a\,T(v)

를 만족하면 선형사상(linear map)이라 합니다. $V$ 에서 $W$ 로의 선형사상 전체를 $\mathcal{L}(V, W)$ 로, $V$ 에서 $V$ 로의 선형사상(연산자(operator)) 전체를 $\mathcal{L}(V)$ 로 씁니다.

선형사상에서는 괄호를 생략해 $T(v)$ 를 $Tv$ 로 쓰는 경우가 많습니다. 행렬과 벡터의 곱 $A\mathbf{x}$ 처럼 읽으면 됩니다.

예제 22.2.

영사상 $0v = 0$ , 항등사상 $Iv = v$ .
미분 $D \in \mathcal{L}(\mathcal{P}(\mathbb{R}))$ , $Dp = p'$ . (다항식의 미분 $D\left(\sum a_kx^k\right) = \sum ka_kx^{k-1}$ 은 계수에 대한 공식으로 정의할 수 있으므로 미적분 없이도 다룰 수 있습니다.)
$x$ 곱하기 $T \in \mathcal{L}(\mathcal{P}(\mathbb{R}))$ , $(Tp)(x) = xp(x)$ .
왼쪽 밀기 $L \in \mathcal{L}(\mathbb{F}^\infty)$ , $L(x_1, x_2, x_3, \ldots) = (x_2, x_3, \ldots)$ . 오른쪽 밀기 $R(x_1, x_2, \ldots) = (0, x_1, x_2, \ldots)$ .
계산 $\varphi \in \mathcal{L}(\mathcal{P}(\mathbb{R}), \mathbb{R})$ , $\varphi(p) = p(3)$ .
$A \in \mathbb{F}^{m \times n}$ 에 대해 $\mathbf{x} \mapsto A\mathbf{x}$ 는 $\mathcal{L}(\mathbb{F}^n, \mathbb{F}^m)$ 의 원소입니다.

정리 22.3 (기저에서의 값이 선형사상을 결정합니다). $v_1, \ldots, v_n$ 이 $V$ 의 기저이고 $w_1, \ldots, w_n \in W$ 가 임의로 주어지면, $Tv_j = w_j$ ( $j = 1, \ldots, n$ )인 선형사상 $T : V \to W$ 가 정확히 하나 존재합니다.

증명. 존재: $v = \sum c_jv_j$ (유일한 표현)에 대해 $Tv = \sum c_jw_j$ 로 정의합니다. 표현이 유일하므로 잘 정의되고, $Tv_j = w_j$ 이며, 선형임은 계수끼리 더하고 곱하면 확인됩니다. 유일: 선형이고 $Tv_j = w_j$ 이면 $T\left(\sum c_jv_j\right) = \sum c_jw_j$ 일 수밖에 없습니다. ■

4장의 정리 4.6은 “결정됩니다”였습니다. 이 정리는 “어떤 값을 주든 그런 선형사상이 존재합니다”도 말합니다. 기저 위에서는 마음대로 값을 정할 수 있고, 나머지는 선형성이 알아서 채웁니다.

정리 22.4 ( $\mathcal{L}(V, W)$ 는 벡터공간입니다). $(S + T)v = Sv + Tv$ , $(aT)v = a(Tv)$ 로 정의하면 $\mathcal{L}(V, W)$ 는 벡터공간입니다.

증명은 함수 공간(20.4절)과 같습니다. $S + T$ 와 $aT$ 가 다시 선형임만 확인하면 됩니다.

정의 22.5 (선형사상의 곱). $T \in \mathcal{L}(U, V)$ , $S \in \mathcal{L}(V, W)$ 에 대해 $ST \in \mathcal{L}(U, W)$ 를 $(ST)u = S(Tu)$ 로 정의합니다.

곱은 합성이며 결합법칙과 분배법칙을 만족하지만 교환법칙은 만족하지 않습니다(5장). 예를 들어 $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ 에서 $DT \ne TD$ 입니다. $(DT)p = (xp)' = p + xp'$ 이고 $(TD)p = xp'$ 이므로 $DT - TD = I$ 입니다. 이 관계는 양자역학의 불확정성 원리의 수학적 뼈대입니다.

▶ 문제 22.1–22.4

22.3 영공간과 치역

정의 22.6 (영공간과 치역). $T \in \mathcal{L}(V, W)$ 에 대해

\operatorname{null} T = \{v \in V : Tv = 0\}, \qquad \operatorname{range} T = \{Tv : v \in V\}

를 각각 $T$ 의 영공간(null space, kernel)과 치역(range, image)이라 합니다.

10장의 $N(A)$ 와 $C(A)$ 에 해당합니다. 둘 다 부분공간입니다(정리 10.9와 같은 증명).

예제 22.7.

$D \in \mathcal{L}(\mathcal{P}(\mathbb{R}))$ : $\operatorname{null} D$ = 상수 다항식, $\operatorname{range} D = \mathcal{P}(\mathbb{R})$ (모든 다항식은 어떤 다항식의 도함수).
왼쪽 밀기 $L$ : $\operatorname{null} L = \{(x_1, 0, 0, \ldots) : x_1 \in \mathbb{F}\}$ , $\operatorname{range} L = \mathbb{F}^\infty$ .
오른쪽 밀기 $R$ : $\operatorname{null} R = \{0\}$ , $\operatorname{range} R$ = 첫 성분이 0인 수열.

정리 22.8 (단사와 영공간). $T$ 가 단사인 것은 $\operatorname{null} T = \{0\}$ 인 것과 동치입니다.

문제 4.12와 같은 증명입니다. 전사는 정의대로 $\operatorname{range} T = W$ 입니다.

▶ 문제 22.5–22.6

22.4 선형사상의 기본정리

정리 22.9 (선형사상의 기본정리). $V$ 가 유한차원이고 $T \in \mathcal{L}(V, W)$ 이면 $\operatorname{range} T$ 는 유한차원이고

\dim V = \dim\operatorname{null} T + \dim\operatorname{range} T.

증명. $\operatorname{null} T$ 의 기저 $u_1, \ldots, u_m$ 을 $V$ 의 기저 $u_1, \ldots, u_m, v_1, \ldots, v_n$ 으로 늘립니다(정리 21.10). $\dim V = m + n$ 이므로, $Tv_1, \ldots, Tv_n$ 이 $\operatorname{range} T$ 의 기저임을 보이면 됩니다.

span: $v = \sum a_iu_i + \sum b_jv_j$ 이면 $Tu_i = 0$ 이므로 $Tv = \sum b_jTv_j$ .

독립: $\sum c_jTv_j = 0$ 이면 $T\left(\sum c_jv_j\right) = 0$ 이므로 $\sum c_jv_j \in \operatorname{null} T$ , 즉 $\sum c_jv_j = \sum d_iu_i$ . 이항하면 $V$ 의 기저의 일차결합이 0이므로 모든 $c_j = 0$ . ■

12장의 따름정리 12.17이 행렬 없이, 임의의 선형사상에 대해 증명되었습니다. 증명의 아이디어도 그림 12.2와 같습니다. $V$ 를 “지워지는 부분”( $u_i$ )과 “살아남는 부분”( $v_j$ )으로 나누면, 살아남는 부분은 치역으로 일대일 대응합니다.

따름정리 22.10 (차원과 단사·전사). $V$ , $W$ 가 유한차원이고 $T \in \mathcal{L}(V, W)$ 일 때

$\dim V > \dim W$ 이면 $T$ 는 단사가 아닙니다.
$\dim V < \dim W$ 이면 $T$ 는 전사가 아닙니다.

증명. (1) $\dim\operatorname{null} T = \dim V - \dim\operatorname{range} T \ge \dim V - \dim W > 0$ . (2) $\dim\operatorname{range} T = \dim V - \dim\operatorname{null} T \le \dim V < \dim W$ . ■

연립방정식으로 번역하면 (1)은 “미지수가 식보다 많은 동차연립방정식은 영이 아닌 해를 갖습니다”, (2)는 “식이 미지수보다 많으면 해가 없는 우변이 있습니다”입니다. 11장에서 소거로 얻은 결과가 차원 세기만으로 나왔습니다.

▶ 문제 22.7–22.9

22.5 선형사상의 행렬

19장의 정의를 그대로 씁니다. $V$ 의 기저 $v_1, \ldots, v_n$ , $W$ 의 기저 $w_1, \ldots, w_m$ 을 고르면 $T \in \mathcal{L}(V, W)$ 의 행렬 $\mathcal{M}(T)$ 는

Tv_k = \sum_{j=1}^m \mathcal{M}(T)_{jk}\,w_j

로 정해지는 $m \times n$ 행렬입니다. 벡터 $v$ 의 행렬 $\mathcal{M}(v)$ 는 그 좌표를 열로 쓴 $n \times 1$ 행렬입니다.

정리 22.11 (행렬의 성질). 기저를 고정하면

$\mathcal{M}(S + T) = \mathcal{M}(S) + \mathcal{M}(T)$ , $\mathcal{M}(aT) = a\mathcal{M}(T)$ .
$\mathcal{M}(ST) = \mathcal{M}(S)\mathcal{M}(T)$ (가운데 공간에서 같은 기저를 쓸 때).
$\mathcal{M}(Tv) = \mathcal{M}(T)\mathcal{M}(v)$ .

(2)가 5장에서 행렬곱을 그렇게 정의한 이유입니다. 증명은 문제 19.4와 정리 19.3입니다.

예제 22.12. $D : \mathcal{P}_3(\mathbb{R}) \to \mathcal{P}_2(\mathbb{R})$ , 기저 $1, x, x^2, x^3$ 과 $1, x, x^2$ :

\mathcal{M}(D) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}.

랭크 3, 영공간 1차원. 기본정리: $4 = 1 + 3$ .

▶ 문제 22.10

22.6 가역성과 동형

정의 22.13 (가역과 동형). $T \in \mathcal{L}(V, W)$ 에 대해 $ST = I_V$ , $TS = I_W$ 인 $S \in \mathcal{L}(W, V)$ 가 있으면 $T$ 를 가역(invertible)이라 합니다. 가역인 선형사상을 동형사상(isomorphism)이라 하고, $V$ 에서 $W$ 로의 동형사상이 존재하면 $V$ 와 $W$ 가 동형(isomorphic)이라 하며 $V \cong W$ 로 씁니다.

가역 $\iff$ 전단사입니다(0장). 전단사인 선형사상의 역함수는 자동으로 선형입니다(문제 22.11).

정리 22.14 (동형과 차원). 유한차원 벡터공간 $V$ , $W$ 가 동형인 것은 $\dim V = \dim W$ 인 것과 동치입니다.

증명. (⇒) 동형사상 $T$ 는 $\operatorname{null} T = \{0\}$ , $\operatorname{range} T = W$ 이므로 기본정리에서 $\dim V = 0 + \dim W$ . (⇐) 기저 $v_1, \ldots, v_n$ 과 $w_1, \ldots, w_n$ 을 골라 $Tv_j = w_j$ 로 정의합니다(정리 22.3). $T$ 는 기저를 기저로 보내므로 전사이고, 기본정리에 의해 $\dim\operatorname{null} T = 0$ , 단사입니다. ■

직관. 동형인 두 공간은 원소의 이름만 다를 뿐 벡터공간으로서는 같습니다. $\mathcal{P}_3(\mathbb{R})$ , $\mathbb{R}^4$ , $\mathbb{R}^{2 \times 2}$ 는 모두 4차원이므로 서로 동형입니다. 기저를 고르는 것은 $V$ 를 $\mathbb{F}^n$ 과 동일시하는 동형사상 $v \mapsto \mathcal{M}(v)$ 를 고르는 것입니다. 그래서 유한차원 선형대수는 결국 $\mathbb{F}^n$ 과 행렬의 선형대수로 바꿔 계산할 수 있습니다. 2부가 3부의 계산 도구가 되는 이유입니다.

정리 22.15 ( $\mathcal{L}(V, W) \cong \mathbb{F}^{m \times n}$ ). $\dim V = n$ , $\dim W = m$ 이면 기저를 고정했을 때 $T \mapsto \mathcal{M}(T)$ 는 $\mathcal{L}(V, W)$ 에서 $\mathbb{F}^{m \times n}$ 으로의 동형사상입니다. 따라서 $\dim\mathcal{L}(V, W) = mn$ .

증명. 정리 22.11(1)에 의해 선형입니다. $\mathcal{M}(T) = O$ 이면 모든 $Tv_k = 0$ 이므로 $T = 0$ , 단사. 임의의 행렬에 대해 정리 22.3으로 그 행렬을 갖는 $T$ 를 만들 수 있으므로 전사. ■

정리 22.16 (유한차원에서 단사 = 전사). $V$ 가 유한차원이고 $T \in \mathcal{L}(V)$ 이면 다음은 동치입니다: $T$ 가 가역; $T$ 가 단사; $T$ 가 전사.

증명. 기본정리에서 $\dim\operatorname{null} T = 0 \iff \dim\operatorname{range} T = \dim V \iff \operatorname{range} T = V$ . ■

정리 9.6의 (5) $\iff$ (6)이 이것입니다. 무한차원에서는 성립하지 않습니다. 오른쪽 밀기 $R$ 은 단사지만 전사가 아니고, 왼쪽 밀기 $L$ 은 전사지만 단사가 아닙니다. $LR = I$ 인데 $RL \ne I$ 입니다.

예제 22.17 (보간). 서로 다른 실수 $t_0, \ldots, t_m$ 과 임의의 값 $y_0, \ldots, y_m$ 에 대해 $p(t_i) = y_i$ 인 $p \in \mathcal{P}_m(\mathbb{R})$ 이 정확히 하나 있습니다. 증명: $T : \mathcal{P}_m(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^{m+1}$ , $Tp = (p(t_0), \ldots, p(t_m))$ 은 선형입니다. $Tp = 0$ 이면 $p$ 는 근이 $m + 1$ 개인 $m$ 차 이하 다항식이므로 $p = 0$ (23장). 단사이고 두 공간의 차원이 $m + 1$ 로 같으므로 전단사입니다. 계산 없이 존재와 유일성이 동시에 나왔습니다.

▶ 문제 22.11–22.13

22.7 몫공간

질문. $\mathbb{R}^2$ 에서 $U$ = $x$ 축이라 합시다. $x$ 축과 평행한 직선들(수평선들)을 하나의 “점”으로 보면, 그런 점들의 모임도 벡터공간이 될까요?

정의 22.18 (평행이동과 몫공간). $U$ 가 $V$ 의 부분공간일 때, $v \in V$ 에 대해 $v + U = \{v + u : u \in U\}$ 를 $U$ 의 평행이동(translate)이라 합니다. 평행이동 전체의 집합

V/U = \{v + U : v \in V\}

예: $V = \mathbb{R}^2$ 이고 $U$ 가 $x$ 축이면 $v + U$ 는 $v$ 를 지나고 $x$ 축에 평행한 직선입니다. $(1, 3) + U$ 와 $(5, 3) + U$ 는 같은 직선 $y = 3$ 이므로 $V/U$ 의 같은 원소입니다. 몫공간 $V/U$ 는 '높이 $y$ 하나로 정해지는 수평선들의 모임'이고 1차원입니다.

에 연산

(v + U) + (w + U) = (v + w) + U, \qquad a(v + U) = (av) + U

를 주면 벡터공간이 됩니다. 이것을 몫공간(quotient space)이라 합니다.

$x축 U를 굵은 수평선으로, 그와 평행한 수평선 여러 개를 점선으로 그렸습니다. 위쪽 수평선 하나 위에 두 점 v, v′이 있고 그 선에 v + U = v′ + U라고 적었습니다. 오른쪽에는 수평선마다 하나씩 대응하는 점들이 세로 직선 위에 놓여 V/U ≅ ℝ임을 보입니다.$

그림 22.1. $V = \mathbb{R}^2$ , $U$ = $x$ 축. 각 수평선이 $V/U$ 의 한 원소입니다. 수평선 하나는 높이 하나로 정해지므로 $V/U$ 는 직선과 같습니다.

$v + U = v' + U$ 일 조건은 $v - v' \in U$ 입니다(문제 22.14). 그림 22.1에서 $v$ 와 $v'$ 은 같은 수평선 위에 있습니다. 연산이 잘 정의되려면(대표 $v$ 를 다르게 골라도 결과가 같으려면) 이 조건이 필요하며, $U$ 가 부분공간이라 성립합니다. $V/U$ 의 영벡터는 $0 + U = U$ 자신입니다.

정리 22.19 (몫공간의 차원). $V$ 가 유한차원이면 $\dim V/U = \dim V - \dim U$ .

증명. $\pi : V \to V/U$ , $\pi(v) = v + U$ 는 선형이고 전사입니다. $\pi(v) = 0 + U \iff v \in U$ 이므로 $\operatorname{null}\pi = U$ . 기본정리에서 $\dim V = \dim U + \dim V/U$ . ■

몫공간은 “ $U$ 방향의 차이를 무시하고 보는 공간”입니다. 그림에서는 수평 방향을 무시하고 높이만 봅니다.

정리 22.20 (제1 동형정리). $T \in \mathcal{L}(V, W)$ 이면 $\tilde{T}(v + \operatorname{null} T) = Tv$ 로 정의한 $\tilde{T} : V/\operatorname{null} T \to \operatorname{range} T$ 는 동형사상입니다.

증명. 잘 정의됨: $v + \operatorname{null} T = v' + \operatorname{null} T$ 이면 $v - v' \in \operatorname{null} T$ 이므로 $Tv = Tv'$ . 선형: 정의에서 바로. 단사: $\tilde{T}(v + \operatorname{null} T) = 0$ 이면 $v \in \operatorname{null} T$ , 즉 $v + \operatorname{null} T$ 는 $V/\operatorname{null} T$ 의 영벡터. 전사: $\operatorname{range} T$ 의 원소는 $Tv = \tilde{T}(v + \operatorname{null} T)$ . ■

이 정리는 “모든 선형사상은 영공간을 무시하면 동형사상입니다”라는 뜻입니다. 13장에서 “행공간에서 열공간으로의 전단사”로 본 것을 내적 없이 말한 것입니다. 내적이 없으면 행공간(영공간의 직교여공간)을 고를 방법이 없으므로, 대신 영공간을 통째로 “접어 버린” 몫공간을 씁니다.

▶ 문제 22.14–22.16

22.8 쌍대공간

정의 22.21 (쌍대공간). $V$ 에서 $\mathbb{F}$ 로의 선형사상을 $V$ 위의 선형범함수(linear functional)라 하고, 그 전체 $V' = \mathcal{L}(V, \mathbb{F})$ 를 $V$ 의 쌍대공간(dual space)이라 합니다.

예제 22.22.

$\mathbb{F}^n$ 에서 $\varphi(\mathbf{x}) = 3x_1 - x_2$ . 일반적으로 $\mathbb{F}^n$ 위의 선형범함수는 행벡터 $\mathbf{a}^T$ 를 곱하는 것 $\mathbf{x} \mapsto \mathbf{a}^T\mathbf{x}$ 입니다.
$\mathcal{P}(\mathbb{R})$ 에서 $\varphi(p) = p(3)$ , 또는 (†) $\varphi(p) = \int_0^1 p(x)\,dx$ .

열벡터가 $V$ 의 원소라면, 행벡터는 $V'$ 의 원소입니다. 쌍대공간은 행벡터의 추상화입니다.

정리 22.15에서 $\dim V' = (\dim V) \cdot 1 = \dim V$ 입니다.

정의 22.23 (쌍대기저). $v_1, \ldots, v_n$ 이 $V$ 의 기저일 때, $\varphi_j(v_k) = \begin{cases} 1 & (k = j) \\ 0 & (k \ne j) \end{cases}$ 로 정한 $\varphi_1, \ldots, \varphi_n \in V'$ 을 쌍대기저(dual basis)라 합니다.

$\varphi_j$ 는 “ $v$ 의 $j$ 번째 좌표를 읽는 함수”입니다: $v = \sum c_kv_k$ 이면 $\varphi_j(v) = c_j$ . 쌍대기저는 실제로 $V'$ 의 기저입니다(문제 22.17).

예: $\mathbb{R}^2$ 의 표준기저이면 쌍대기저는 $\varphi_1(x, y) = x$ , $\varphi_2(x, y) = y$ 입니다. 기저가 $v_1 = (1, 0)$ , $v_2 = (1, 1)$ 이면 $(x, y) = (x - y)v_1 + yv_2$ 이므로 쌍대기저는 $\varphi_1(x, y) = x - y$ , $\varphi_2(x, y) = y$ 입니다. 기저가 바뀌면 같은 '첫째 좌표'라도 읽는 함수가 달라집니다.

정의 22.24 (쌍대사상). $T \in \mathcal{L}(V, W)$ 의 쌍대사상(dual map) $T' \in \mathcal{L}(W', V')$ 은 $T'(\varphi) = \varphi \circ T$ 로 정의합니다.

$\varphi$ 는 $W$ 에서 수를 내고, $T$ 는 $V$ 에서 $W$ 로 갑니다. 둘을 이으면 $V$ 에서 수를 내는 $\varphi \circ T$ 가 됩니다. 방향이 뒤집힙니다( $W' \to V'$ ).

예: $T(x, y) = (x + y, 2y)$ 이고 $\varphi(a, b) = a$ 이면 $T'(\varphi)(x, y) = \varphi(T(x, y)) = x + y$ 입니다. 행렬로 쓰면 $T'$ 의 행렬은 $T$ 의 행렬의 전치행렬입니다.

정리 22.25 (쌍대사상의 행렬은 전치). $V$ , $W$ 의 기저와 그 쌍대기저에 대해 $\mathcal{M}(T') = \mathcal{M}(T)^T$ 입니다.

증명. $A = \mathcal{M}(T)$ , $C = \mathcal{M}(T')$ 라 합시다. $\psi_j$ 를 $W$ 의 쌍대기저, $\varphi_k$ 를 $V$ 의 쌍대기저라 하면 $T'(\psi_j) = \sum_k C_{kj}\varphi_k$ 입니다. 양변을 $v_k$ 에서 계산하면 좌변은 $\psi_j(Tv_k) = \psi_j\left(\sum_i A_{ik}w_i\right) = A_{jk}$ , 우변은 $C_{kj}$ . 따라서 $C = A^T$ . ■

5장의 전치가 여기서 정체를 드러냅니다. 전치는 “쌍대사상의 행렬”입니다.

정의 22.26 (소멸자). $U \subseteq V$ 의 소멸자(annihilator)는 $U^0 = \{\varphi \in V' : \varphi(u) = 0\ \forall u \in U\}$ 입니다.

$\mathbb{F}^n$ 에서 $U^0$ 는 $U$ 의 모든 벡터와 내적이 0인 행벡터들, 즉 직교여공간의 쌍대 버전입니다. 내적 없이 정의된다는 것이 장점입니다.

예: $V = \mathbb{R}^3$ 이고 $U$ 가 $xy$ 평면이면, $U$ 에서 0이 되는 선형범함수는 $x$ , $y$ 를 무시하는 $\varphi(x, y, z) = cz$ 꼴뿐입니다. 그러므로 $U^0$ 는 1차원이고 $\dim U + \dim U^0 = 2 + 1 = 3$ 입니다.

정리 22.27 (쌍대사상과 4대 부분공간). $V$ , $W$ 가 유한차원이고 $T \in \mathcal{L}(V, W)$ 이면

$\dim U^0 = \dim V - \dim U$ .
$\operatorname{null} T' = (\operatorname{range} T)^0$ .
$\dim\operatorname{range} T' = \dim\operatorname{range} T$ .

증명. (1) $U$ 의 기저 $u_1, \ldots, u_m$ 을 $V$ 의 기저로 늘리고 쌍대기저 $\varphi_1, \ldots, \varphi_n$ 을 잡으면, $U^0 = \operatorname{span}(\varphi_{m+1}, \ldots, \varphi_n)$ 입니다( $\varphi = \sum c_j\varphi_j$ 가 모든 $u_i$ 에서 0 $\iff$ $c_1 = \cdots = c_m = 0$ ).

(2) $\psi \in \operatorname{null} T' \iff \psi \circ T = 0 \iff \psi(Tv) = 0\ \forall v \iff \psi \in (\operatorname{range} T)^0$ .

(3) 기본정리를 $T'$ 에 쓰고 (2), (1)을 쓰면

\dim\operatorname{range} T' = \dim W' - \dim\operatorname{null} T' = \dim W - (\dim W - \dim\operatorname{range} T) = \dim\operatorname{range} T.

■

따름정리 22.28 (행 랭크 = 열 랭크 (재증명)). 모든 행렬 $A$ 에 대해 $\operatorname{rank} A^T = \operatorname{rank} A$ .

증명. $A$ 를 $\mathbb{F}^n \to \mathbb{F}^m$ 의 선형사상 $T$ 의 행렬로 보면 $\operatorname{rank} A = \dim\operatorname{range} T$ 이고, 정리 22.25에 의해 $A^T$ 는 $T'$ 의 행렬이므로 $\operatorname{rank} A^T = \dim\operatorname{range} T'$ . 정리 22.27(3)에서 같습니다. ■

12장에서 소거로 증명한 따름정리 12.16이 이번에는 차원 세기만으로 증명되었습니다. “행이 몇 개 독립인가”와 “열이 몇 개 독립인가”가 같은 이유는, 행렬이 나타내는 사상과 그 쌍대사상이 같은 양의 정보를 전달하기 때문입니다.

▶ 문제 22.17–22.19

쓰이는 곳. 미분 $\frac{d}{dx}$ , 적분, 푸리에 변환, 합성곱은 모두 선형사상입니다. 신호처리의 '선형 시스템', 양자역학의 '연산자'가 이 장의 대상입니다.

이 장의 요약

선형사상은 기저 위의 값을 마음대로 정하면 유일하게 존재합니다. $\mathcal{L}(V, W)$ 는 $mn$ 차원 벡터공간입니다.
단사 $\iff$ $\operatorname{null} T = \{0\}$ . 기본정리: $\dim V = \dim\operatorname{null} T + \dim\operatorname{range} T$ .
동형 $\iff$ 차원이 같습니다. 유한차원 연산자는 단사 $\iff$ 전사 $\iff$ 가역 (무한차원에서는 거짓).
몫공간 $V/U$ : $U$ 방향을 무시한 공간. $\dim V/U = \dim V - \dim U$ . $V/\operatorname{null} T \cong \operatorname{range} T$ .
쌍대공간 $V' = \mathcal{L}(V, \mathbb{F})$ (행벡터의 추상화). 쌍대사상의 행렬은 전치. $\dim\operatorname{range} T' = \dim\operatorname{range} T$ 에서 행 랭크 = 열 랭크.

문제

22.1 [계산] · 확인 문제

선형사상인지 판정합니다. 선형이면 O, 아니면 X를 적습니다.

사상	선형인가
(a) $T : \mathcal{P}(\mathbb{R}) \to \mathcal{P}(\mathbb{R})$ , $(Tp)(x) = p(x + 1)$	[?]
(b) $T : \mathcal{P}(\mathbb{R}) \to \mathcal{P}(\mathbb{R})$ , $Tp = p^2$	[?]
(c) $T : \mathbb{R}^{2 \times 2} \to \mathbb{R}$ , $T(A) = \operatorname{tr} A$	[?]
(d) $T : \mathbb{R}^{2 \times 2} \to \mathbb{R}$ , $T(A) = \det A$	[?]
(e) $T : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ , $T(x, y, z) = (x + 1, y)$	[?]

정답

O
X
O
X
X

풀이

(a) 선형: $(p + q)(x + 1) = p(x + 1) + q(x + 1)$ . (b) 아님: $(2p)^2 = 4p^2 \ne 2p^2$ . (c) 선형. (d) 아님: $\det(2I) = 4 \ne 2\det I$ . (e) 아님: $T(0) \ne 0$ .

22.2 [계산] · 확인 문제

$T \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2, \mathcal{P}_2(\mathbb{R}))$ 가 $T(1, 0) = 1 + x$ , $T(0, 1) = x^2$ 을 만족합니다. $T(3, -2)$ 와 $T(a, b)$ 를 구합니다. 표에는 $T(3, -2)$ 의 계수를 적습니다.

상수항	$x$ 의 계수	$x^2$ 의 계수
[?]	[?]	[?]

정답

3
3
-2

풀이

$T(3, -2) = 3(1 + x) - 2x^2 = 3 + 3x - 2x^2$ . $T(a, b) = a + ax + bx^2$ .

22.3 [증명]

$\mathcal{L}(V, W)$ 는 함수 공간 $W^V$ 의 부분공간임을 보입니다.

풀이

영사상은 선형. $S$ , $T$ 가 선형이면 $S + T$ , $aT$ 도 선형(정의를 확인). 따라서 부분공간 판정 조건을 만족합니다.

22.4 [계산]

$D$ (미분)와 $T$ ( $x$ 곱하기)에 대해 $p = 1 + x + x^2$ 일 때 $(DT)p$ , $(TD)p$ 를 계산하고 $(DT - TD)p = p$ 를 확인합니다.

풀이

$Tp = x + x^2 + x^3$ , $(DT)p = 1 + 2x + 3x^2$ . $Dp = 1 + 2x$ , $(TD)p = x + 2x^2$ . 차: $1 + x + x^2 = p$ .

22.5 [계산] · 확인 문제

영공간과 치역을 구합니다. 표에는 차원을 적습니다. (a) $T : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ , $T(x, y, z) = (x + y, y + z)$ (b) $T : \mathcal{P}_3(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^2$ , $Tp = (p(0), p(1))$ (c) $T : \mathbb{R}^{2 \times 2} \to \mathbb{R}^{2 \times 2}$ , $T(A) = A - A^T$

	$\dim\operatorname{null} T$	$\dim\operatorname{range} T$
(a)	[?]	[?]
(b)	[?]	[?]
(c)	[?]	[?]

정답

풀이

(a) $x = -y$ , $z = -y$ : $\operatorname{null} T = \operatorname{span}\{(1, -1, 1)\}$ . 치역: $T(1, 0, 0) = (1, 0)$ , $T(0, 0, 1) = (0, 1)$ 이므로 $\mathbb{R}^2$ .

(b) $p(0) = p(1) = 0$ : $\operatorname{null} T = \operatorname{span}\{x(x - 1), x^2(x - 1)\}$ . $T(1) = (1, 1)$ , $T(x) = (0, 1)$ 이므로 치역 $\mathbb{R}^2$ .

(c) $\operatorname{null} T$ = 대칭행렬(3차원). 치역 = 반대칭행렬 $\left\{\begin{bmatrix} 0 & b \\ -b & 0 \end{bmatrix} : b\right\}$ (1차원). $A - A^T$ 는 항상 반대칭이고, $\begin{bmatrix} 0 & b \\ -b & 0 \end{bmatrix} = T\begin{bmatrix} 0 & b \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ .

22.6 [증명]

$T \in \mathcal{L}(V, W)$ 가 단사이고 $v_1, \ldots, v_n$ 이 일차독립이면 $Tv_1, \ldots, Tv_n$ 도 일차독립임을 보입니다.

풀이

$\sum a_iTv_i = 0$ 이면 $T\left(\sum a_iv_i\right) = 0$ , 단사이므로 $\sum a_iv_i = 0$ , 독립성으로 모든 $a_i = 0$ .

22.7 [계산]

문제 22.5의 세 사상에 대해 기본정리가 성립함을 확인합니다.

풀이

(a) $3 = 1 + 2$ . (b) $4 = 2 + 2$ . (c) $4 = 3 + 1$ .

22.8 [증명]

$\operatorname{null} T = \{(x_1, \ldots, x_5) \in \mathbb{R}^5 : x_1 = 3x_2,\ x_3 = x_4 = x_5\}$ 인 $T \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^5, \mathbb{R}^2)$ 는 존재하지 않음을 보입니다.

풀이

그 영공간은 $x_2$ , $x_3$ 가 자유이므로 $(3, 1, 0, 0, 0)$ , $(0, 0, 1, 1, 1)$ 을 기저로 2차원입니다. 기본정리에서 $\dim\operatorname{range} T = 5 - 2 = 3$ 인데 $\operatorname{range} T \subseteq \mathbb{R}^2$ 입니다. 모순.

22.9 [도전]

$V$ 가 유한차원이고 $T \in \mathcal{L}(V, W)$ , $S \in \mathcal{L}(W, U)$ 이면 $\dim\operatorname{null}(ST) \le \dim\operatorname{null} S + \dim\operatorname{null} T$ 임을 보입니다.

힌트. $T$ 를 $\operatorname{null}(ST)$ 로 제한한 사상의 영공간과 치역을 봅니다.

풀이

$T|$ 를 $T$ 를 $\operatorname{null}(ST)$ 로 제한한 사상이라 합시다. $\operatorname{null}(T|) = \operatorname{null} T \cap \operatorname{null}(ST) \subseteq \operatorname{null} T$ 이고, $\operatorname{range}(T|) \subseteq \operatorname{null} S$ ( $v \in \operatorname{null}(ST)$ 이면 $S(Tv) = 0$ ). 기본정리를 $T|$ 에 쓰면 $\dim\operatorname{null}(ST) = \dim\operatorname{null}(T|) + \dim\operatorname{range}(T|) \le \dim\operatorname{null} T + \dim\operatorname{null} S$ .

22.10 [계산] · 확인 문제

$T \in \mathcal{L}(\mathcal{P}_2(\mathbb{R}))$ , $Tp = p + p'$ 의 기저 $1, x, x^2$ 에 대한 행렬을 구합니다. $T$ 는 가역일까요?

	1열	2열	3열
1행	[?]	[?]	[?]
2행	[?]	[?]	[?]
3행	[?]	[?]	[?]

정답

풀이

$T(1) = 1$ , $T(x) = x + 1$ , $T(x^2) = x^2 + 2x$ . $\mathcal{M}(T) = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ . 위삼각이고 대각이 모두 1이므로 가역.

22.11 [증명]

$T \in \mathcal{L}(V, W)$ 가 전단사이면 역함수 $T^{-1} : W \to V$ 도 선형임을 보입니다.

풀이

$w_1 = Tv_1$ , $w_2 = Tv_2$ 라 하면 $T(v_1 + v_2) = w_1 + w_2$ 이므로 $T^{-1}(w_1 + w_2) = v_1 + v_2 = T^{-1}w_1 + T^{-1}w_2$ . 스칼라배도 같습니다.

22.12 [계산] · 확인 문제

다음 $\mathbb{R}$ 위의 벡터공간들을 동형인 것끼리 묶습니다. 표에는 각 공간의 ( $\mathbb{R}$ 위의) 차원을 적습니다.

$\mathbb{R}^4$	$\mathcal{P}_3(\mathbb{R})$	$\mathbb{R}^{2 \times 2}$	$\mathbb{C}^2$	$3 \times 3$ 실대칭행렬	$\mathcal{P}_5(\mathbb{R})$
[?]	[?]	[?]	[?]	[?]	[?]

정답

풀이

차원: $\mathbb{R}^4$ , $\mathcal{P}_3$ , $\mathbb{R}^{2 \times 2}$ , $\mathbb{C}^2$ (실수 위)는 모두 4. 대칭 $3 \times 3$ 과 $\mathcal{P}_5$ 는 6. 두 묶음.

22.13 [계산] · 확인 문제

$p(0) = 1$ , $p(1) = 2$ , $p(2) = 5$ 인 $p \in \mathcal{P}_2(\mathbb{R})$ 을 구합니다. 22.6절의 보간 예제에 의해 이런 $p$ 는 하나뿐입니다. $p = c_0 + c_1x + c_2x^2$ 의 계수를 적습니다.

$c_0$	$c_1$	$c_2$
[?]	[?]	[?]

정답

1
0
1

풀이

$p = c_0 + c_1x + c_2x^2$ : $c_0 = 1$ , $c_0 + c_1 + c_2 = 2$ , $c_0 + 2c_1 + 4c_2 = 5$ . $c_1 + c_2 = 1$ , $2c_1 + 4c_2 = 4$ 에서 $c_2 = 1$ , $c_1 = 0$ . $p = 1 + x^2$ .

22.14 [증명]

$U$ 가 $V$ 의 부분공간일 때 $v + U = w + U$ 인 것은 $v - w \in U$ 인 것과 동치임을 보입니다. 또 두 평행이동은 같거나 서로소임을 보입니다.

풀이

(⇒) $v = v + 0 \in v + U = w + U$ 이므로 $v = w + u$ , $v - w = u \in U$ . (⇐) $v - w \in U$ 이면 $v + u = w + (v - w + u) \in w + U$ 이므로 $v + U \subseteq w + U$ , 대칭적으로 반대. 서로소가 아니면 공통 원소 $x = v + u_1 = w + u_2$ 가 있어 $v - w \in U$ , 따라서 같습니다.

22.15 [계산] · 확인 문제

$V = \mathbb{R}^3$ , $U = \operatorname{span}\{(1, 1, 1)\}$ 이라 합시다. (a) $V/U$ 의 원소는 기하적으로 무엇일까요? $\dim V/U$ 는? (b) $(1, 2, 3) + U = (0, 1, 2) + U$ 일까요? $(1, 2, 3) + U = (1, 0, 0) + U$ 일까요? 같으면 O, 다르면 X를 적습니다.

값	답
$\dim V/U$	[?]
$(1, 2, 3) + U = (0, 1, 2) + U$	[?]
$(1, 2, 3) + U = (1, 0, 0) + U$	[?]

정답

2
O
X

풀이

(a) $(1, 1, 1)$ 방향 직선들(서로 평행) 하나하나가 원소. $\dim = 3 - 1 = 2$ .

(b) $(1, 2, 3) - (0, 1, 2) = (1, 1, 1) \in U$ 이므로 같습니다. $(1, 2, 3) - (1, 0, 0) = (0, 2, 3) \notin U$ 이므로 다릅니다.

22.16 [도전] · 확인 문제

$T : \mathcal{P}_3(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$ , $Tp = p(1)$ 에 대해 제1 동형정리가 말하는 것을 설명합니다. $\operatorname{null} T$ 의 기저를 구하고 $\dim \mathcal{P}_3(\mathbb{R})/\operatorname{null} T$ 를 구합니다.

정답

풀이

$T$ 는 전사( $T(c) = c$ )이므로 $\mathcal{P}_3/\operatorname{null} T \cong \mathbb{R}$ . $\operatorname{null} T$ 는 $p(1) = 0$ 인 다항식, 기저 $(x - 1)$ , $(x - 1)^2$ , $(x - 1)^3$ (21.6절의 예와 같은 논리). $\dim \mathcal{P}_3/\operatorname{null} T = 4 - 3 = 1$ . 두 다항식이 같은 원소인 것은 $x = 1$ 에서 값이 같은 것입니다.

22.17 [증명]

쌍대기저 $\varphi_1, \ldots, \varphi_n$ 이 $V'$ 의 기저임을 보입니다.

풀이

길이 $n = \dim V'$ 이므로 독립만 보이면 됩니다. $\sum a_j\varphi_j = 0$ 이면 $v_k$ 에서 계산해 $a_k = 0$ .

22.18 [계산] · 확인 문제

$\mathbb{R}^2$ 의 기저 $(1, 1)$ , $(1, -1)$ 의 쌍대기저 $\varphi_1, \varphi_2$ 를 $\varphi_i(x, y) = ax + by$ 꼴로 구합니다.

	$a$	$b$
$\varphi_1$	[?]	[?]
$\varphi_2$	[?]	[?]

정답

1/2
1/2
1/2
-1/2

풀이

$\varphi_1(1, 1) = 1$ , $\varphi_1(1, -1) = 0$ : $a + b = 1$ , $a - b = 0$ , $\varphi_1(x, y) = \frac{x + y}{2}$ . 같은 방법으로 $\varphi_2(x, y) = \frac{x - y}{2}$ .

22.19 [계산]

$U = \operatorname{span}\{(1, 0, 1), (0, 1, 1)\} \subseteq \mathbb{R}^3$ 의 소멸자 $U^0$ 를 구합니다. 차원이 $3 - \dim U$ 인지 확인합니다.

풀이

$\varphi(x, y, z) = ax + by + cz$ 가 $U$ 에서 0: $a + c = 0$ , $b + c = 0$ . $\varphi = c(-x - y + z)$ . $U^0 = \operatorname{span}\{x + y - z\}$ (부호는 상관없습니다), 1차원 $= 3 - 2$ .