Linearism › 다변수 미적분 › MV.9

9장. 벡터장과 선적분

다변수 미적분 · 4부. 벡터 미적분

심화 · 약 15분 · 연습문제 5

요약

벡터장, 곡선의 매개화, 스칼라 선적분과 벡터 선적분(일), 보존장과 퍼텐셜, 선적분의 기본정리, 그린 정리

바람의 속도, 강물의 흐름, 전기장과 중력장처럼 공간의 각 점에 벡터(화살표)가 붙은 것을 벡터장이라 합니다. 힘의 장 안에서 물체를 곡선을 따라 옮길 때 한 일은 “곡선을 따라 힘의 성분을 더한 것”, 곧 선적분입니다. 이 장의 핵심은 두 가지입니다. 힘이 어떤 함수의 그래디언트이면 일은 길과 상관없이 끝점의 값 차이로 정해지고(선적분의 기본정리), 닫힌 곡선을 도는 선적분은 안쪽 영역의 이중적분과 같습니다(그린 정리).

9.1 벡터장

정의 9.1 (벡터장). 영역의 각 점 x\mathbf{x}에 벡터 F(x)\mathbf{F}(\mathbf{x})를 대응시키는 함수를 벡터장(vector field)이라 합니다. 평면에서는 F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))\mathbf{F}(x, y) = (P(x, y), Q(x, y))로 씁니다.

예:

  • F=(−y,x)\mathbf{F} = (-y, x): 원점을 반시계로 도는 회전 흐름.
  • F=(x,y)\mathbf{F} = (x, y): 원점에서 바깥으로 퍼지는 흐름.
  • 그래디언트장 ∇f\nabla f: 2장의 위젯에서 본 화살표들. 등위선에 수직입니다.
  • 중력장 F=−GMm∥x∥3x\mathbf{F} = -\dfrac{GMm}{\|\mathbf{x}\|^3}\mathbf{x}: 원점을 향하고 거리 제곱에 반비례.

9.2 곡선과 선적분

정의 9.2 (매개화). 곡선 CC를 r(t)=(x(t),y(t))\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t)), a≤t≤ba \le t \le b로 쓰는 것을 매개화(parametrization)라 합니다. r′(t)\mathbf{r}'(t)는 속도(접선 방향)입니다.

예: 단위원은 r(t)=(cos⁡t,sin⁡t)\mathbf{r}(t) = (\cos t, \sin t), 0≤t≤2π0 \le t \le 2\pi. 점 p\mathbf{p}에서 q\mathbf{q}로 가는 선분은 r(t)=p+t(q−p)\mathbf{r}(t) = \mathbf{p} + t(\mathbf{q} - \mathbf{p}), 0≤t≤10 \le t \le 1.

정의 9.3 (벡터장의 선적분).

∫CF⋅dr=∫abF(r(t))⋅r′(t) dt.\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_a^b\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.

곡선을 따라 움직이는 방향의 힘 성분을 더한 것, 곧 힘 F\mathbf{F}가 한 일(work)입니다. 성분으로는 ∫CP dx+Q dy\int_CP\,dx + Q\,dy로 씁니다. 같은 곡선을 반대로 돌면 부호가 바뀝니다. 매개화 방법(빠르게, 느리게)과는 상관없습니다.

예제 9.4. F=(−y,x)\mathbf{F} = (-y, x), CC는 단위원 한 바퀴(반시계). F(r(t))=(−sin⁡t,cos⁡t)\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) = (-\sin t, \cos t), r′(t)=(−sin⁡t,cos⁡t)\mathbf{r}'(t) = (-\sin t, \cos t)이므로 내적은 1이고 ∫02π1 dt=2π\int_0^{2\pi}1\,dt = 2\pi입니다. 흐름을 따라 돌았으므로 양수입니다.

(곡선의 길이나 곡선 위의 질량처럼 방향이 없는 양은 스칼라 선적분 ∫Cf ds=∫abf(r(t))∥r′(t)∥ dt\int_Cf\,ds = \int_a^bf(\mathbf{r}(t))\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt로 구합니다. f=1f = 1이면 미적분학 10장의 곡선 길이입니다.)

9.3 보존장과 선적분의 기본정리

정의 9.5 (보존장). F=∇f\mathbf{F} = \nabla f인 함수 ff가 있으면 F\mathbf{F}를 보존장(conservative field), ff를 퍼텐셜(potential)이라 합니다. (물리에서는 퍼텐셜 에너지 U=−fU = -f로 써서 F=−∇U\mathbf{F} = -\nabla U.)

정리 9.6 (선적분의 기본정리). F=∇f\mathbf{F} = \nabla f이고 CC가 p\mathbf{p}에서 q\mathbf{q}로 가는 곡선이면

∫C∇f⋅dr=f(q)−f(p).\int_C\nabla f\cdot d\mathbf{r} = f(\mathbf{q}) - f(\mathbf{p}).

증명. 연쇄법칙(3장)으로 ddtf(r(t))=∇f⋅r′(t)\frac{d}{dt}f(\mathbf{r}(t)) = \nabla f\cdot\mathbf{r}'(t)이므로, 미적분학의 기본정리를 쓰면 됩니다. □

따름정리 9.7. 보존장에서는 일이 길과 상관없고, 닫힌 곡선을 도는 일은 0입니다. (중력이 보존장이므로 높이만 같으면 어떤 길로 올라가도 한 일이 같습니다.)

판정. 평면의 단순한 영역(구멍이 없는 영역)에서 F=(P,Q)\mathbf{F} = (P, Q)가 보존장일 필요충분조건은 ∂Q∂x=∂P∂y\dfrac{\partial Q}{\partial x} = \dfrac{\partial P}{\partial y}입니다. 필요조건은 클레로 정리(2장): fxy=fyxf_{xy} = f_{yx}.

예제 9.8. F=(2xy,x2+1)\mathbf{F} = (2xy, x^2 + 1): Qx=2x=PyQ_x = 2x = P_y이므로 보존장. fx=2xyf_x = 2xy에서 f=x2y+g(y)f = x^2y + g(y), fy=x2+g′(y)=x2+1f_y = x^2 + g'(y) = x^2 + 1에서 g=yg = y. 그러므로 f=x2y+yf = x^2y + y이고, (0,0)(0, 0)에서 (1,2)(1, 2)까지의 일은 f(1,2)−f(0,0)=4f(1, 2) - f(0, 0) = 4입니다.

예제 9.4의 (−y,x)(-y, x)는 Qx=1≠−1=PyQ_x = 1 \ne -1 = P_y라 보존장이 아니고, 실제로 한 바퀴 일이 2π≠02\pi \ne 0이었습니다.

9.4 그린 정리

정리 9.9 (그린 정리). CC가 영역 DD를 반시계로 한 바퀴 도는 경계이면

∮CP dx+Q dy=∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dA.\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)dA.

∮\oint는 닫힌 곡선을 한 바퀴 도는 선적분이라는 표시입니다. 증명은 DD를 작은 사각형으로 나누면 이웃 사각형의 공유 변에서 선적분이 서로 상쇄되어 바깥 경계만 남는다는 생각에서 나옵니다. 작은 사각형 하나를 도는 선적분은 (Qx−Py) dA(Q_x - P_y)\,dA입니다. 이 양 Qx−PyQ_x - P_y는 그 점에서 장이 “얼마나 소용돌이치는가”(10장의 회전)입니다.

예제 9.10. 예제 9.4를 그린 정리로: Qx−Py=1−(−1)=2Q_x - P_y = 1 - (-1) = 2이므로 ∬D2 dA=2π\iint_D2\,dA = 2\pi(단위원판의 넓이의 2배). 같은 답입니다.

따름정리 9.11 (넓이). P=−y/2P = -y/2, Q=x/2Q = x/2로 두면 넓이(D)=12∮Cx dy−y dx\text{넓이}(D) = \frac12\oint_Cx\,dy - y\,dx. 경계만 따라 돌면 넓이를 잴 수 있습니다(구적기의 원리).

9.5 이 장의 요약

  • 선적분 ∫CF⋅dr=∫F(r(t))⋅r′(t) dt\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt = 일.
  • 보존장(F=∇f\mathbf{F} = \nabla f, 판정 Qx=PyQ_x = P_y)이면 일 = 퍼텐셜의 차, 닫힌 곡선은 0.
  • 그린 정리: 경계를 도는 선적분 = 안쪽의 소용돌이(Qx−PyQ_x - P_y)의 이중적분.

쓰이는 곳. 물리의 일과 에너지 보존, 전위차(전압)는 선적분과 퍼텐셜입니다. 유체역학의 순환(circulation)과 양력, 열역학의 상태함수(경로와 무관한 양)도 이 장의 개념입니다. 머신러닝에서는 확산 모델과 점수 기반 생성 모델이 로그 밀도의 그래디언트장 ∇log⁡p\nabla\log p(점수 함수, 보존장)를 학습합니다.

문제

9.1 [계산] · 확인 문제

F=(y,x)\mathbf{F} = (y, x), CC는 (0,0)(0, 0)에서 (1,1)(1, 1)로 가는 선분일 때 ∫CF⋅dr\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}은?

정답
1
풀이

r(t)=(t,t)\mathbf{r}(t) = (t, t), r′=(1,1)\mathbf{r}' = (1, 1), F=(t,t)\mathbf{F} = (t, t)이므로 ∫012t dt=1\int_0^12t\,dt = 1입니다. (F=∇(xy)\mathbf{F} = \nabla(xy)이므로 f(1,1)−f(0,0)=1f(1,1) - f(0,0) = 1로도 나옵니다.)

9.2 [계산] · 확인 문제

F=(3x2y, x3+2y)\mathbf{F} = (3x^2y,\ x^3 + 2y)는 보존장입니다. (0,0)(0, 0)에서 (2,1)(2, 1)까지의 선적분은?

정답
9
풀이

f=x3y+y2f = x^3y + y^2이 퍼텐셜입니다(fx=3x2yf_x = 3x^2y, fy=x3+2yf_y = x^3 + 2y). f(2,1)−f(0,0)=8+1=9f(2, 1) - f(0, 0) = 8 + 1 = 9입니다.

9.3 [계산] · 확인 문제

그린 정리로 ∮C(x2−y) dx+(x+y2) dy\oint_C(x^2 - y)\,dx + (x + y^2)\,dy를 구합니다. CC는 꼭짓점 (0,0),(2,0),(2,3),(0,3)(0,0), (2,0), (2,3), (0,3)인 직사각형의 경계(반시계)입니다.

정답
12
풀이

Qx−Py=1−(−1)=2Q_x - P_y = 1 - (-1) = 2이므로 ∬D2 dA=2⋅6=12\iint_D2\,dA = 2\cdot6 = 12입니다.

9.4 [개념]

보존장인 것은?

  1. (−y,x)(-y, x)
  2. (y,−x)(y, -x)
  3. (2x,2y)(2x, 2y)
  4. (y2,x)(y^2, x)
정답
3
풀이

Qx=PyQ_x = P_y를 확인합니다. 1번 1≠−11 \ne -1, 2번 −1≠1-1 \ne 1, 3번 0=00 = 0(퍼텐셜 x2+y2x^2 + y^2), 4번 1≠2y1 \ne 2y.

9.5 [증명]

따름정리 9.11의 넓이 공식으로 반지름 aa인 원의 넓이를 구합니다.

풀이

r(t)=(acos⁡t,asin⁡t)\mathbf{r}(t) = (a\cos t, a\sin t)이면 x dy−y dx=(acos⁡t⋅acos⁡t−asin⁡t⋅(−asin⁡t)) dt=a2 dtx\,dy - y\,dx = (a\cos t\cdot a\cos t - a\sin t\cdot(-a\sin t))\,dt = a^2\,dt이므로 넓이는 12∫02πa2 dt=πa2\frac12\int_0^{2\pi}a^2\,dt = \pi a^2입니다.