9장. 역행렬과 A = LU

요약

역행렬의 정의와 유일성, 이미 아는 역행렬들, 역행렬의 성질, 가우스–요르단 소거, 가역성의 동치 조건, LU 분해와 전진대입·후진대입, LDLᵀ와 PA = LU

변환을 되돌리는 변환(역행렬)은 언제 있고 어떻게 구할까요? 이 장에서는 역행렬의 뜻과 구하는 방법을 다루고, 소거 과정을 행렬 두 개의 곱 A = LU로 기록해 두면 같은 행렬로 여러 방정식을 빠르게 풀 수 있다는 것을 봅니다. 실제 계산 프로그램은 역행렬을 직접 구하기보다 LU 분해를 씁니다.

9.1 변환을 되돌리기

질문. 행렬 $A$ 가 평면을 어떤 방식으로 움직였습니다. 그 움직임을 정확히 되돌리는 행렬 $B$ 가 있을까요? 있다면 어떻게 구할까요? 그리고 그런 $B$ 가 없는 행렬은 어떤 행렬일까요?

6장에서 $2 \times 2$ 행렬의 경우를 보았습니다. $\det A \ne 0$ 이면 $A$ 를 되돌리는 행렬이 있었고, $\det A = 0$ 이면 평면이 납작해져 되돌릴 수 없었습니다. 이 장에서는 $n \times n$ 으로 일반화하고, 8장의 소거를 이용해 역행렬을 계산합니다. 그리고 소거 자체를 행렬의 곱 $A = LU$ 로 기록하는 방법을 배웁니다.

9.2 역행렬

정의 9.1 (역행렬). $n \times n$ 행렬 $A$ 에 대하여

AB = I \quad \text{이고} \quad BA = I

인 $n \times n$ 행렬 $B$ 가 존재하면 $A$ 를 가역(invertible)이라 하고, $B$ 를 $A$ 의 역행렬(inverse matrix)이라 합니다. 가역이 아닌 정사각행렬을 특이행렬(singular matrix)이라 합니다.

변환으로 읽으면 $BA = I$ 는 “ $A$ 를 한 뒤 $B$ 를 하면 제자리”, $AB = I$ 는 “ $B$ 를 한 뒤 $A$ 를 하면 제자리”입니다. 0장의 역함수의 정의(정의 0.22)와 똑같습니다. 정리 0.23에 의해 $A$ 가 가역인 것은 변환 $\mathbf{x} \mapsto A\mathbf{x}$ 가 전단사인 것과 같습니다.

정리 9.2 (역행렬은 하나뿐입니다). $A$ 의 역행렬은 존재하면 유일합니다.

증명. $B$ 와 $C$ 가 모두 $A$ 의 역행렬이라 합시다. 결합법칙에 의해

B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C.

■

유일하므로 $A$ 의 역행렬을 $A^{-1}$ 로 씁니다. 증명에서는 $BA = I$ 와 $AC = I$ 만 썼습니다. 즉 “왼쪽 역”과 “오른쪽 역”이 둘 다 있으면 둘은 같습니다.

9.2.1 이미 아는 역행렬들

$2 \times 2$ : $\det A = ad - bc \ne 0$ 이면 $A^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ (정리 6.4).
대각행렬: $\operatorname{diag}(d_1, \ldots, d_n)^{-1} = \operatorname{diag}(1/d_1, \ldots, 1/d_n)$ . 모든 $d_i \ne 0$ 이어야 합니다.
소거행렬: $E_{ij}$ 는 행 $i$ 에서 행 $j$ 의 $\ell$ 배를 뺍니다. 되돌리려면 $\ell$ 배를 다시 더합니다. $E_{ij}^{-1}$ 은 $-\ell$ 자리를 $+\ell$ 로 바꾼 행렬입니다.
치환행렬: 행을 섞은 것을 다시 원래대로 섞습니다. $P^{-1} = P^T$ (문제 9.4).
회전: $R_\theta^{-1} = R_{-\theta} = R_\theta^T$ .

9.3 역행렬의 성질

정리 9.3 (역행렬의 성질). $A$ , $B$ 가 같은 크기의 가역행렬이면

$A^{-1}$ 도 가역이고 $(A^{-1})^{-1} = A$ .
$AB$ 도 가역이고 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ .
$A^T$ 도 가역이고 $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$ .

증명. 각각 후보를 곱해서 $I$ 가 됨을 확인하면 됩니다(역행렬은 유일하므로). (1) $A^{-1}A = I$ , $AA^{-1} = I$ 는 “ $A$ 가 $A^{-1}$ 의 역”이라는 말이기도 합니다. (2) $(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AA^{-1} = I$ 이고, 반대 순서도 같습니다. (3) $A^T(A^{-1})^T = (A^{-1}A)^T = I^T = I$ 이고, 반대 순서도 같습니다. 정리 5.13을 썼습니다. ■

(2)에서 순서가 뒤집힙니다. 양말( $B$ )을 신고 신발( $A$ )을 신었으면, 벗을 때는 신발을 먼저( $A^{-1}$ ), 양말을 나중에( $B^{-1}$ ) 벗습니다.

9.3.1 역행렬과 연립방정식

$A$ 가 가역이면 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 의 양변에 $A^{-1}$ 을 곱해

\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}

를 얻습니다. 해는 정확히 하나입니다. 그러나 실제 계산에서 연립방정식을 풀려고 $A^{-1}$ 을 구하지는 않습니다. $A^{-1}$ 을 구하는 데는 소거보다 약 3배의 계산이 들고, 수치 오차도 커집니다. $A^{-1}$ 은 생각의 도구로 쓰고, 계산은 9.6절의 $LU$ 로 합니다.

▶ 문제 9.1–9.5

9.4 가우스–요르단 소거

질문. $3 \times 3$ 행렬의 역행렬은 어떻게 계산할까요?

$AA^{-1} = I$ 를 열 단위로 보면, $A^{-1}$ 의 제 $j$ 열 $\mathbf{x}_j$ 는 $A\mathbf{x}_j = \mathbf{e}_j$ 의 해입니다. 따라서 $n$ 개의 연립방정식을 동시에 풀면 됩니다. 첨가행렬의 오른쪽에 $\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_n$ 을 모두 붙인 $\left[\, A \mid I \,\right]$ 에 소거를 합니다.

정의 9.4 (가우스–요르단 소거). $\left[\, A \mid I \,\right]$ 에 행 연산을 하여

피벗 아래를 0으로 만들고 (가우스 소거),
피벗 위도 0으로 만들고,
각 행을 피벗으로 나누어 피벗을 1로 만듭니다.

왼쪽이 $I$ 가 되면 오른쪽이 $A^{-1}$ 입니다. 이 과정을 가우스–요르단 소거(Gauss–Jordan elimination)라 합니다.

예제 9.5. $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{bmatrix}$ .

\left[\begin{array}{ccc|ccc} 2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \xrightarrow{\text{행2} + \frac12\text{행1}} \left[\begin{array}{ccc|ccc} 2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac32 & -1 & \frac12 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \xrightarrow{\text{행3} + \frac23\text{행2}} \left[\begin{array}{ccc|ccc} 2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac32 & -1 & \frac12 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac43 & \frac13 & \frac23 & 1 \end{array}\right]

피벗 $2, \frac32, \frac43$ 이 모두 0이 아니므로 가역입니다. 이제 위쪽을 소거합니다.

\xrightarrow{\text{행2} + \frac34\text{행3}} \left[\begin{array}{ccc|ccc} 2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac32 & 0 & \frac34 & \frac32 & \frac34 \\ 0 & 0 & \frac43 & \frac13 & \frac23 & 1 \end{array}\right] \xrightarrow{\text{행1} + \frac23\text{행2}} \left[\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 0 & 0 & \frac32 & 1 & \frac12 \\ 0 & \frac32 & 0 & \frac34 & \frac32 & \frac34 \\ 0 & 0 & \frac43 & \frac13 & \frac23 & 1 \end{array}\right]

각 행을 피벗으로 나누면

A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac34 & \frac12 & \frac14 \\ \frac12 & 1 & \frac12 \\ \frac14 & \frac12 & \frac34 \end{bmatrix} = \frac14\begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}.

검산: $A$ 의 첫째 행과 $A^{-1}$ 의 첫째 열의 내적은 $\frac14(6 - 2 + 0) = 1$ , 둘째 열과는 $\frac14(4 - 4 + 0) = 0$ .

직관. 가우스–요르단이 왜 $A^{-1}$ 을 줄까요? 모든 행 연산을 합친 행렬을 $E$ 라 합시다. 왼쪽 블록에서 $EA = I$ 가 되었습니다. 같은 연산이 오른쪽 블록에는 $EI = E$ 를 만듭니다. $EA = I$ 이므로 $E$ 가 $A$ 를 되돌리는 행렬, 즉 $A^{-1}$ 입니다.

예제에서 $A$ 는 대칭이고 $A^{-1}$ 도 대칭입니다(문제 9.8). $A$ 에는 0이 많은데 $A^{-1}$ 에는 0이 하나도 없습니다. 희소한 행렬의 역행렬은 보통 꽉 차 있습니다. 이것이 계산에서 $A^{-1}$ 을 피하는 또 하나의 이유입니다.

▶ 문제 9.6–9.8

9.5 가역성의 판정

정리 9.6 (가역성의 동치 조건). $n \times n$ 행렬 $A$ 에 대하여 다음은 동치입니다.

$A$ 는 가역입니다.
(행 교환을 허용한) 소거에서 피벗이 $n$ 개 나옵니다.
$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 의 해는 $\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 뿐입니다.
모든 $\mathbf{b}$ 에 대해 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 의 해가 정확히 하나 있습니다.
$BA = I$ 인 $B$ 가 있습니다.
$AC = I$ 인 $C$ 가 있습니다.

증명. (1)⇒(5), (1)⇒(6): 역행렬이 $B$ 이자 $C$ 입니다.

(5)⇒(3): $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 이면 $\mathbf{x} = BA\mathbf{x} = B\mathbf{0} = \mathbf{0}$ .

(3)⇒(2): 피벗이 $n$ 개보다 적다고 합시다. 그러면 피벗이 없는 열이 있습니다. 소거 후의 $U\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 에서 그 열의 미지수를 1로, 피벗이 없는 다른 열의 미지수를 0으로 정하고 피벗이 있는 미지수들을 후진대입으로 구하면, $\mathbf{x} \ne \mathbf{0}$ 인 해가 나옵니다. 행 연산은 해를 바꾸지 않으므로(정리 8.5) 이것은 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 의 해이기도 합니다. (3)에 모순.

(2)⇒(1): 피벗이 $n$ 개이면 가우스–요르단이 끝까지 진행되어 $EA = I$ 인 $E$ (행 연산 행렬들의 곱)를 얻습니다. 각 행 연산 행렬은 가역이므로 $E$ 도 가역(정리 9.3)이고, $A = E^{-1}(EA) = E^{-1}$ 입니다. 가역행렬의 역은 가역이므로 $A$ 는 가역입니다.

(1)⇒(4): $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$ 가 해이고, 다른 해 $\mathbf{y}$ 가 있으면 $A(\mathbf{x} - \mathbf{y}) = \mathbf{0}$ 에서 양변에 $A^{-1}$ 을 곱해 $\mathbf{x} = \mathbf{y}$ .

(4)⇒(3): $\mathbf{b} = \mathbf{0}$ 일 때 해가 하나뿐이고 $\mathbf{0}$ 이 해입니다.

(6)⇒(1): $AC = I$ 이면 $C^TA^T = I$ 이므로 $A^T$ 에 대해 (5)가 성립합니다. 앞에서 보인 (5)⇒(3)⇒(2)⇒(1)에 의해 $A^T$ 가 가역이고, 정리 9.3(3)을 $A^T$ 에 적용하면 $A = (A^T)^T$ 도 가역입니다. ■

(5)와 (6)의 동치는 정사각행렬에서만 성립하는 놀라운 사실입니다. 한쪽에서 곱해서 $I$ 가 되는 행렬을 찾으면, 반대쪽에서도 자동으로 $I$ 가 됩니다. 직사각행렬에서는 그렇지 않습니다(18장의 유사역행렬). 15장에서 이 목록에 “ $\det A \ne 0$ ”이 추가되고, 12장에서 “열들이 일차독립”, 16장에서 “0이 고윳값이 아닙니다”가 추가됩니다.

▶ 문제 9.9–9.10

9.6 A = LU: 소거의 기록

질문. 같은 $A$ 로 우변 $\mathbf{b}$ 만 바꿔 가며 연립방정식을 여러 번 풀어야 합니다. 매번 처음부터 소거해야 할까요?

소거 과정 $E_{32}E_{31}E_{21}A = U$ 를 뒤집으면

A = E_{21}^{-1}E_{31}^{-1}E_{32}^{-1}U = LU.

여기서 $L = E_{21}^{-1}E_{31}^{-1}E_{32}^{-1}$ 은 대각성분이 1인 아래삼각행렬입니다. 놀라운 점은 $L$ 의 성분이 승수 그 자체라는 것입니다(문제 8.10).

정리 9.7 (LU 분해). 행 교환 없이 소거가 끝나는 $n \times n$ 행렬 $A$ 는

A = LU

로 쓸 수 있습니다. $U$ 는 소거의 결과인 위삼각행렬(대각성분이 피벗), $L$ 은 대각성분이 1이고 $(i, j)$ 성분( $i > j$ )이 승수 $\ell_{ij}$ 인 아래삼각행렬입니다.

증명. 소거의 제 $i$ 행은 최종적으로

(U\text{의 행}i) = (A\text{의 행}i) - \sum_{j < i} \ell_{ij}\,(U\text{의 행}j)

입니다. 행 $i$ 에서 빼는 것은 언제나 이미 완성된 피벗 행( $U$ 의 행 $j$ )의 배수이기 때문입니다. 정리하면

(A\text{의 행}i) = \sum_{j < i} \ell_{ij}\,(U\text{의 행}j) + 1 \cdot (U\text{의 행}i).

우변은 정리 5.5(3)에 의해 $LU$ 의 제 $i$ 행입니다. ■

예제 9.8. 예제 8.2의 $A = \begin{bmatrix} 2 & 4 & -2 \\ 4 & 9 & -3 \\ -2 & -3 & 7 \end{bmatrix}$ 은 승수가 $\ell_{21} = 2$ , $\ell_{31} = -1$ , $\ell_{32} = 1$ 이었습니다.

\begin{bmatrix} 2 & 4 & -2 \\ 4 & 9 & -3 \\ -2 & -3 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 4 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}.

셋째 행을 확인하면 $-1 \cdot (2, 4, -2) + 1 \cdot (0, 1, 1) + 1 \cdot (0, 0, 4) = (-2, -3, 7)$ .

9.6.1 LU로 풀기

$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 는 $L(U\mathbf{x}) = \mathbf{b}$ 입니다. $\mathbf{c} = U\mathbf{x}$ 로 두면 두 단계로 나뉩니다.

$L\mathbf{c} = \mathbf{b}$ 를 위에서부터 풉니다(전진대입(forward substitution)).
$U\mathbf{x} = \mathbf{c}$ 를 아래에서부터 풉니다(후진대입).

두 단계 모두 삼각행렬이라 약 $n^2/2$ 번의 계산이면 됩니다. $A = LU$ 를 한 번 구해 두면( $n^3/3$ ), 새 $\mathbf{b}$ 마다 $n^2$ 정도로 풀 수 있습니다. 첫째 단계는 원래 소거에서 우변에 하던 일을 나중에 하는 것과 같습니다.

예제 9.9. 위 예에서 $\mathbf{b} = (2, 8, 10)$ 이면 $L\mathbf{c} = \mathbf{b}$ : $c_1 = 2$ , $2c_1 + c_2 = 8$ 에서 $c_2 = 4$ , $-c_1 + c_2 + c_3 = 10$ 에서 $c_3 = 8$ . 예제 8.2에서 소거 후 우변이 $(2, 4, 8)$ 이었던 것과 같습니다. 이어서 $U\mathbf{x} = \mathbf{c}$ 를 풀면 $\mathbf{x} = (-1, 2, 2)$ .

9.6.2 LDU와 대칭행렬

$U$ 의 각 행을 피벗으로 나누면 $U = DU'$ ( $D$ 는 피벗의 대각행렬, $U'$ 은 대각성분이 1인 위삼각)로 쓸 수 있습니다. 그러면 $A = LDU'$ 입니다. $A$ 가 대칭이면 $U' = L^T$ 가 되어

A = LDL^T

입니다(문제 9.12). 대칭행렬의 소거는 계산이 절반으로 줄고, 17장에서 이 분해가 “양정치”를 판정하는 데 쓰입니다.

9.6.3 행 교환이 필요할 때

소거 중에 행 교환이 필요하면 미리 그 순서로 행을 바꿔 놓은 행렬 $PA$ 에 대해 소거하면 됩니다.

PA = LU.

모든 가역행렬은 적당한 치환행렬 $P$ 에 대해 이렇게 분해됩니다. 실제 컴퓨터 계산에서는 0이 아니더라도 절댓값이 가장 큰 성분을 피벗으로 고르기 위해 일부러 행을 바꿉니다. 작은 피벗으로 나누면 반올림 오차가 커지기 때문입니다(30장).

▶ 문제 9.11–9.13

쓰이는 곳. 논문에서 $A^{-1}b$ 라고 쓰더라도 실제 구현은 역행렬을 구하지 않고 LU(또는 숄레스키) 분해로 $Ax = b$ 를 풉니다. 같은 행렬로 여러 번 풀어야 하는 시뮬레이션에서 특히 중요합니다.

이 장의 요약

$AB = BA = I$ 이면 $B = A^{-1}$ . 역행렬은 유일합니다. 가역 $\iff$ 변환이 전단사.
$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ , $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$ .
가우스–요르단: $\left[\, A \mid I \,\right] \to \left[\, I \mid A^{-1} \,\right]$ .
정사각행렬에서: 가역 $\iff$ 피벗 $n$ 개 $\iff$ $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 의 해는 $\mathbf{0}$ 뿐 $\iff$ 한쪽 역이 있습니다.
$A = LU$ : $L$ 은 승수를 담은 아래삼각, $U$ 는 피벗을 담은 위삼각. 풀이는 전진대입 후 후진대입.
대칭이면 $A = LDL^T$ . 행 교환이 필요하면 $PA = LU$ .

문제

9.1 [계산] · 확인 문제

역행렬을 구합니다. 각각 “무엇을 되돌리는가”로 답을 설명합니다.

\text{(a)}\ \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \qquad \text{(b)}\ \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac13 \end{bmatrix} \qquad \text{(c)}\ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -4 & 0 & 1 \end{bmatrix} \qquad \text{(d)}\ R_{30^\circ}

표에는 (a)와 (d)의 역행렬 성분을 적습니다((d)는 소수 셋째 자리까지). (b), (c)는 풀이에서 확인합니다.

	1행 1열	1행 2열	2행 1열	2행 2열
(a)	[?]	[?]	[?]	[?]
(d)	[?]	[?]	[?]	[?]

정답

2
-5
-1
3
0.866
0.5
-0.5
0.866

풀이

(a) $\det = 1$ , $\begin{bmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$ . (b) $\operatorname{diag}(\frac12, -1, 3)$ : 각 축의 배율을 역수로.

(d) $R_{-30^\circ} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt3}{2} & \frac12 \\ -\frac12 & \frac{\sqrt3}{2} \end{bmatrix}$ : 반대 방향으로 $30^\circ$ .

9.2 [계산] · 확인 문제

$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ , $B = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ 에 대해 $A^{-1}$ , $B^{-1}$ , $(AB)^{-1}$ 을 구합니다. $(AB)^{-1}$ 이 $B^{-1}A^{-1}$ 과 같고 $A^{-1}B^{-1}$ 과는 다름을 확인합니다.

	1행 1열	1행 2열	2행 1열	2행 2열
$(AB)^{-1}$	[?]	[?]	[?]	[?]
$A^{-1}B^{-1}$	[?]	[?]	[?]	[?]

정답

1/2
-1/2
0
1
1/2
-1
0
1

풀이

$A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ , $B^{-1} = \begin{bmatrix} \frac12 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ . $AB = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ , $(AB)^{-1} = \frac12\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac12 & -\frac12 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = B^{-1}A^{-1}$ . 한편 $A^{-1}B^{-1} = \begin{bmatrix} \frac12 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ .

9.3 [증명]

$A$ 가 가역이라 합시다. (a) $AB = AC$ 이면 $B = C$ 임을 보입니다. (5.4절의 “약분 실패”와 비교합니다.) (b) $A^2 = A$ 이면 $A = I$ 임을 보입니다.

풀이

(a) 양변 왼쪽에 $A^{-1}$ : $B = A^{-1}AB = A^{-1}AC = C$ .

(b) $A^2 = AI$ 이므로 (a)에서 $A = I$ .

9.4 [증명]

치환행렬 $P$ 에 대해 $P^TP = I$ 임을 보입니다. 따라서 $P^{-1} = P^T$ 입니다.

힌트. $P$ 의 열들은 $\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_n$ 을 순서만 바꾼 것입니다. 문제 5.11을 씁니다.

풀이

$(P^TP)_{ij} = (P\text{의 열}i) \cdot (P\text{의 열}j)$ . 열들은 서로 다른 표준기저벡터이므로 $i = j$ 이면 1, 아니면 0.

9.5 [도전]

$A^3 = O$ 인 정사각행렬 $A$ 에 대해 $I - A$ 는 가역이고 $(I - A)^{-1} = I + A + A^2$ 임을 보입니다. 실수에서 $\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + \cdots$ 과 비교합니다.

풀이

$(I - A)(I + A + A^2) = I + A + A^2 - A - A^2 - A^3 = I - A^3 = I$ . 반대 순서도 같은 계산. 실수의 등비급수가 $x^3 = 0$ 에서 끊긴 것과 같습니다.

9.6 [계산] · 확인 문제

가우스–요르단 소거로 역행렬을 구합니다. (a) $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{bmatrix}$ (b) $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ . 표에는 역행렬의 성분을 행 순서대로 적습니다.

	1행 1열	1행 2열	1행 3열	2행 1열	2행 2열	2행 3열	3행 1열	3행 2열	3행 3열
(a)	[?]	[?]	-	[?]	[?]	-	-	-	-
(b)	[?]	[?]	[?]	[?]	[?]	[?]	[?]	[?]	[?]

정답

풀이

(a) $\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 7 & 0 & 1 \end{array}\right] \to$ 행2 $- 3$ 행1 $\to \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 1 \end{array}\right] \to$ 행1 $- 2$ 행2 $\to \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 7 & -2 \\ 0 & 1 & -3 & 1 \end{array}\right]$ . $A^{-1} = \begin{bmatrix} 7 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$ .

(b) 행2 $-$ 행3, 행1 $-$ 행3, 행1 $-$ 행2 순서로 하면 $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ .

9.7 [계산] · 확인 문제

가우스–요르단 소거로 $\begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 4 & -6 & 0 \\ -2 & 7 & 2 \end{bmatrix}$ 의 역행렬을 구하고, 원래 행렬과 곱해 $I$ 가 되는지 한 열 이상 확인합니다.

	1열	2열	3열
1행	[?]	[?]	[?]
2행	[?]	[?]	[?]
3행	[?]	[?]	[?]

정답

3/4
-5/16
-3/8
1/2
-3/8
-1/4
-1
1
1

풀이

소거: 행2 $- 2$ 행1 $= (0, -8, -2)$ , 행3 + 행1 $= (0, 8, 3)$ , 행3 + 행2 $= (0, 0, 1)$ . 피벗 $2, -8, 1$ . 위쪽 소거와 스케일 후

A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac34 & -\frac{5}{16} & -\frac38 \\ \frac12 & -\frac38 & -\frac14 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}.

확인(첫째 열): $(2, 1, 1) \cdot (\frac34, \frac12, -1) = 1$ , $(4, -6, 0) \cdot (\frac34, \frac12, -1) = 0$ , $(-2, 7, 2) \cdot (\frac34, \frac12, -1) = 0$ .

9.8 [증명]

$A$ 가 가역인 대칭행렬이면 $A^{-1}$ 도 대칭임을 보입니다.

풀이

$(A^{-1})^T = (A^T)^{-1} = A^{-1}$ (정리 9.3(3)과 $A^T = A$ ).

9.9 [계산] · 확인 문제

다음 행렬이 가역인지 소거로 판정합니다. 가역이 아니면 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 인 $\mathbf{x} \ne \mathbf{0}$ 을 하나 찾습니다. 표에는 가역이면 O, 아니면 X를 적습니다.

\text{(a)}\ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \qquad \text{(b)}\ \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \qquad \text{(c)}\ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}

(a)	(b)	(c)
[?]	[?]	[?]

정답

X
O
X

풀이

(a) 행2 $= 2\times$ 행1이므로 소거하면 영행이 생겨 피벗이 2개. 특이. $x + 2y + 3z = 0$ , $x + z = 0$ 에서 $\mathbf{x} = (1, 1, -1)$ .

(b) 행1 ↔ 행2 후 소거하면 피벗 $1, 1, -2$ . 가역.

9.10 [도전]

$n \times n$ 행렬 $A$ 에 대하여 다음을 보입니다. (a) $A^2 = O$ 이면 $A$ 는 가역이 아닙니다. (b) $\mathbf{x} \ne \mathbf{y}$ 인데 $A\mathbf{x} = A\mathbf{y}$ 이면 $A$ 는 가역이 아닙니다. (c) $A$ 의 두 열이 같으면 $A$ 는 가역이 아닙니다.

풀이

(a) 가역이면 $A = A^{-1}A^2 = A^{-1}O = O$ 인데 $O$ 는 가역이 아닙니다. 모순.

(b) $A(\mathbf{x} - \mathbf{y}) = \mathbf{0}$ 이고 $\mathbf{x} - \mathbf{y} \ne \mathbf{0}$ 이므로 정리 9.6의 (3)이 깨집니다.

9.11 [계산] · 확인 문제

$LU$ 분해를 구합니다. (a) $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 6 & 8 \end{bmatrix}$ (b) $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$ . 표에는 (a)를 적고 (b)는 풀이에서 확인합니다.

(a)	1행 1열	1행 2열	2행 1열	2행 2열
$L$	1	0	[?]	1
$U$	[?]	[?]	0	[?]

정답

풀이

(a) $\ell_{21} = 3$ . $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 6 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}$ .

(b) 문제 8.3의 승수가 모두 1이었으므로 $L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ , $U = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ .

9.12 [계산]

$a \ne 0$ 일 때 대칭행렬 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix}$ 를 $A = LDL^T$ 꼴로 씁니다. 곱해서 확인합니다.

풀이

$\ell_{21} = b/a$ , 둘째 피벗 $c - b^2/a$ .

A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac ba & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & c - \frac{b^2}{a} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & \frac ba \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.

곱하면 $\begin{bmatrix} a & b \\ b & \frac{b^2}{a} + c - \frac{b^2}{a} \end{bmatrix} = A$ .

9.13 [계산] · 확인 문제

문제 9.11(b)의 $LU$ 를 써서 $A\mathbf{x} = (3, 5, 6)$ 을 전진대입과 후진대입으로 풉니다.

	첫째	둘째	셋째
$\mathbf{c}$ ( $L\mathbf{c} = \mathbf{b}$ )	[?]	[?]	[?]
$\mathbf{x}$ ( $U\mathbf{x} = \mathbf{c}$ )	[?]	[?]	[?]

정답

풀이

$L\mathbf{c} = \mathbf{b}$ : $c_1 = 3$ , $c_2 = 5 - 3 = 2$ , $c_3 = 6 - 3 - 2 = 1$ . $U\mathbf{x} = \mathbf{c}$ : $z = 1$ , $y = 2 - 1 = 1$ , $x = 3 - 1 - 1 = 1$ . 검산: $A(1, 1, 1) = (3, 5, 6)$ .