10장. 부분공간: 열공간과 영공간

요약

부분공간의 정의와 예, 부분공간이 아닌 집합, 교집합, 열공간과 해의 존재, 영공간과 해 전체의 구조, 행 연산이 보존하는 부분공간, 4대 부분공간

행렬 A가 만들어 낼 수 있는 벡터 전체(열공간)와, A가 0으로 보내 버리는 벡터 전체(영공간)는 행렬을 이해하는 두 개의 창입니다. 이 장에서는 이런 '덧셈과 스칼라배에 닫힌 집합'을 부분공간이라 부르고, 연립방정식 Ax = b가 언제 풀리는지를 이 두 공간으로 설명합니다.

10.1 원점을 지나는 평평한 것

질문. 3장에서 span은 언제나 원점, 원점을 지나는 직선, 평면, 공간 전체 중 하나였습니다. 원점을 지나지 않는 직선이나, 휘어진 곡선, 1사분면 같은 집합은 span이 될 수 없습니다. span을 span답게 만드는 성질은 정확히 무엇일까요?

정리 3.6에서 span은 $\mathbf{0}$ 을 포함하고, 덧셈과 스칼라배에 닫혀 있었습니다. 이 성질 자체를 정의로 삼은 것이 부분공간입니다. 이 장에서는 행렬 하나가 자연스럽게 만들어 내는 두 부분공간, 열공간과 영공간을 소개합니다. $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 에 대한 두 질문

해가 있을까요? → 열공간
해가 몇 개일까요? → 영공간

이 각각 두 부분공간에 대한 질문이 됩니다.

10.2 부분공간

정의 10.1 (부분공간). $\mathbb{R}^n$ 의 부분집합 $S$ 가 다음 세 조건을 만족하면 $S$ 를 $\mathbb{R}^n$ 의 부분공간(subspace)이라 합니다.

$\mathbf{0} \in S$ .
$\mathbf{v}, \mathbf{w} \in S$ 이면 $\mathbf{v} + \mathbf{w} \in S$ . (덧셈에 닫혀 있습니다)
$\mathbf{v} \in S$ , $c \in \mathbb{R}$ 이면 $c\mathbf{v} \in S$ . (스칼라배에 닫혀 있습니다)

조건 (2), (3)을 합치면 “ $S$ 안의 벡터들의 일차결합은 다시 $S$ 안에 있습니다”가 됩니다. 부분공간은 일차결합을 해도 빠져나갈 수 없는 집합입니다.

조건 (1)은 사실 (3)에서 거의 나옵니다. $S$ 에 벡터가 하나라도 있으면 $c = 0$ 으로 놓아 $0\mathbf{v} = \mathbf{0} \in S$ 입니다. (1)은 $S$ 가 공집합이 아니라는 것을 보장하는 역할을 합니다.

예제 10.2. 다음은 모두 부분공간입니다.

$\{\mathbf{0}\}$ (영부분공간)과 $\mathbb{R}^n$ 자신.
$\mathbb{R}^2$ 에서 원점을 지나는 직선 $\{(x, y) : y = 2x\}$ .
$\mathbb{R}^3$ 에서 원점을 지나는 평면 $\{(x, y, z) : x + y + z = 0\}$ .
임의의 벡터들의 span (정리 3.6).

$세 그림. (a) 원점을 지나지 않는 직선, 원점은 빈 동그라미. (b) 칠한 1사분면과, 그 안의 v, 밖으로 나간 −v. (c) x축과 y축을 굵게 그렸고, e₁과 e₂는 축 위에 있지만 e₁ + e₂는 축 밖에 있습니다.$

그림 10.1. 부분공간이 아닌 세 집합. 각각 정의의 조건 하나씩을 어깁니다.

예제 10.3. 그림 10.1의 세 집합은 부분공간이 아닙니다.

(a) 직선 $y = \frac12 x - \frac12$ : $\mathbf{0}$ 을 포함하지 않습니다.
(b) 1사분면 $\{(x, y) : x \ge 0, y \ge 0\}$ : $\mathbf{v} = (1, 1)$ 은 속하지만 $-\mathbf{v}$ 는 속하지 않습니다.
(c) $x$ 축 $\cup$ $y$ 축: $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2$ 는 속하지만 $\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 = (1, 1)$ 은 속하지 않습니다.

직관. 부분공간은 “원점을 지나고, 휘지 않고, 끝이 없고, 구멍이나 모서리가 없는” 집합입니다. $\mathbb{R}^3$ 에서는 원점, 원점을 지나는 직선, 원점을 지나는 평면, $\mathbb{R}^3$ 전체의 네 종류뿐입니다(12장에서 증명합니다).

정리 10.4 (교집합은 부분공간). $S$ , $T$ 가 $\mathbb{R}^n$ 의 부분공간이면 $S \cap T$ 도 부분공간입니다.

증명. $\mathbf{0} \in S$ , $\mathbf{0} \in T$ 이므로 $\mathbf{0} \in S \cap T$ . $\mathbf{v}, \mathbf{w} \in S \cap T$ 이면 둘 다 $S$ 에 있으므로 $\mathbf{v} + \mathbf{w} \in S$ 이고, 둘 다 $T$ 에 있으므로 $\mathbf{v} + \mathbf{w} \in T$ 입니다. 따라서 $\mathbf{v} + \mathbf{w} \in S \cap T$ . 스칼라배도 같습니다. ■

두 평면의 교집합은 직선(또는 평면 자신)입니다. 반면 합집합은 그림 10.1(c)처럼 보통 부분공간이 아닙니다. 두 부분공간을 “합치는” 올바른 방법은 합 $S + T = \{\mathbf{s} + \mathbf{t} : \mathbf{s} \in S, \mathbf{t} \in T\}$ 이며, 20장에서 다룹니다.

▶ 문제 10.1–10.4

10.3 열공간

정의 10.5 (열공간). $m \times n$ 행렬 $A$ 의 열들의 span을 $A$ 의 열공간(column space)이라 하고 $C(A)$ 로 씁니다.

C(A) = \operatorname{span}\{\mathbf{a}_1, \ldots, \mathbf{a}_n\} = \{A\mathbf{x} : \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\} \subseteq \mathbb{R}^m.

두 표현이 같은 이유는 $A\mathbf{x}$ 가 정의상 열들의 일차결합이기 때문입니다(정의 4.8). 변환의 말로는 $C(A)$ 는 $A$ 의 출력 전체, 즉 치역입니다. span이므로 부분공간입니다.

정리 10.6 (해의 존재와 열공간). $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 가 해를 갖는 것은 $\mathbf{b} \in C(A)$ 인 것과 동치입니다.

정의를 다시 쓴 것에 불과하지만, 이 정리 덕분에 “해가 있는가”라는 계산의 질문이 “ $\mathbf{b}$ 가 어떤 부분공간 안에 있는가”라는 기하의 질문이 됩니다.

예제 10.7. $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$ 의 열공간은 $\mathbb{R}^3$ 안에서 $(1, 4, 2)$ 와 $(0, 3, 3)$ 이 만드는 평면입니다(두 열이 평행하지 않으므로). $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 는 미지수 2개, 식 3개이므로 대부분의 $\mathbf{b}$ 에 대해 해가 없습니다. $\mathbf{b}$ 가 바로 그 평면 위에 있을 때만 해가 있습니다. 예를 들어 $\mathbf{b} = (1, 7, 5) = \mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2$ 이면 해 $(1, 1)$ 이 있고, $\mathbf{b} = (1, 0, 0)$ 이면 해가 없습니다.

$m \times n$ 행렬에서 $C(A)$ 는 $\mathbb{R}^m$ (출력 공간)의 부분공간입니다. $\mathbb{R}^n$ 이 아닙니다. 열이 $\mathbb{R}^m$ 의 벡터이기 때문입니다.

▶ 문제 10.5–10.6

10.4 영공간

정의 10.8 (영공간). $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 에 대하여 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 의 해 전체의 집합을 $A$ 의 영공간(nullspace)이라 하고 $N(A)$ 로 씁니다.

N(A) = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : A\mathbf{x} = \mathbf{0}\} \subseteq \mathbb{R}^n.

정리 10.9 (영공간은 부분공간). $N(A)$ 는 $\mathbb{R}^n$ 의 부분공간입니다.

증명. $A\mathbf{0} = \mathbf{0}$ 이므로 $\mathbf{0} \in N(A)$ . $A\mathbf{v} = \mathbf{0}$ , $A\mathbf{w} = \mathbf{0}$ 이면 $A(\mathbf{v} + \mathbf{w}) = A\mathbf{v} + A\mathbf{w} = \mathbf{0}$ 이고 $A(c\mathbf{v}) = cA\mathbf{v} = \mathbf{0}$ 입니다. ■

증명에서 우변이 $\mathbf{0}$ 이라는 것이 결정적입니다. $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ ( $\mathbf{b} \ne \mathbf{0}$ )의 해 전체는 부분공간이 아닙니다. $\mathbf{0}$ 이 해가 아니기 때문입니다.

예제 10.10.

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$ : 소거하면 $x + 2y = 0$ 만 남습니다. $N(A) = \{t(-2, 1) : t \in \mathbb{R}\}$ , 원점을 지나는 직선.
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ ( $1 \times 3$ ): $N(A) = \{(x, y, z) : x + y + z = 0\}$ , $\mathbb{R}^3$ 의 평면.
가역행렬 $A$ : $N(A) = \{\mathbf{0}\}$ (정리 9.6(3)).

10.4.1 영공간과 해의 개수

정리 10.11 (해 전체의 구조). $\mathbf{x}_p$ 가 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 의 해 하나라 합시다. 그러면 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 의 해 전체는

\{\mathbf{x}_p + \mathbf{x}_n : \mathbf{x}_n \in N(A)\}

입니다.

증명. $\mathbf{x}_n \in N(A)$ 이면 $A(\mathbf{x}_p + \mathbf{x}_n) = \mathbf{b} + \mathbf{0} = \mathbf{b}$ 이므로 해입니다. 거꾸로 $\mathbf{x}$ 가 해이면 $A(\mathbf{x} - \mathbf{x}_p) = \mathbf{b} - \mathbf{b} = \mathbf{0}$ 이므로 $\mathbf{x}_n = \mathbf{x} - \mathbf{x}_p \in N(A)$ 이고 $\mathbf{x} = \mathbf{x}_p + \mathbf{x}_n$ 입니다. ■

$평면에 영공간 N(A)를 원점을 지나는 굵은 실선으로, Ax = b의 해 전체를 그와 평행한 점선으로 그렸습니다. 원점에서 점선 위의 점 xₚ = (1, 1)로 가는 화살표와, 거기서 점선을 따라가는 화살표 xₙ이 있습니다.$

그림 10.2. $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$ , $\mathbf{b} = (3, 9)$ . 해 전체(점선)는 영공간(실선)을 $\mathbf{x}_p = (1, 1)$ 만큼 평행이동한 직선입니다.

그림 10.2처럼 해 전체는 영공간을 평행이동한 것입니다. 따라서 해의 개수는 영공간이 결정합니다.

$N(A) = \{\mathbf{0}\}$ 이면 해는 (있다면) 하나뿐입니다.
$N(A) \ne \{\mathbf{0}\}$ 이면 해는 (있다면) 무수히 많습니다. 영공간이 원점 외의 벡터를 하나라도 가지면 그 모든 스칼라배도 가지기 때문입니다.

1부에서 미뤄 두었던 “해는 0개, 1개, 무수히 많음 중 하나”가 이것으로 증명됩니다. 해가 정확히 2개인 경우는 불가능합니다.

변환의 말로는, $N(A) = \{\mathbf{0}\}$ 은 $A$ 가 단사라는 것입니다(문제 4.12). 영공간은 $A$ 가 납작하게 지워 버리는 방향들입니다.

▶ 문제 10.7–10.9

10.5 행 연산과 두 부분공간

질문. 8장의 소거는 $A$ 를 $U$ 로 바꿉니다. 이때 열공간과 영공간은 바뀔까요?

정리 10.12 (행 연산과 부분공간). 가역행렬 $E$ 에 대해 $EA$ 는 $A$ 와

영공간이 같습니다: $N(EA) = N(A)$ .
행공간이 같습니다: $EA$ 의 행들의 span $=$ $A$ 의 행들의 span.

그러나 열공간은 일반적으로 다릅니다.

증명. (1) $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 이면 $EA\mathbf{x} = \mathbf{0}$ . 거꾸로 $EA\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 이면 $E^{-1}$ 을 곱해 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ .

(2) $EA$ 의 각 행은 $A$ 의 행들의 일차결합입니다(정리 5.5(3)). 따라서 $EA$ 의 행공간 $\subseteq$ $A$ 의 행공간. $A = E^{-1}(EA)$ 이므로 반대 방향도 같은 논리. ■

예제 10.13. $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} \to U = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ . $C(A)$ 는 $(1, 3)$ 방향의 직선이고 $C(U)$ 는 $(1, 0)$ 방향의 직선입니다. 열공간이 바뀌었습니다. 그러나 두 행렬 모두 $N(\cdot) = \operatorname{span}\{(-2, 1)\}$ 입니다.

이 정리는 11장과 12장에서 계속 쓰입니다. 영공간을 구하려면 소거된 $U$ (또는 11장의 $R$ )에서 구해도 됩니다. 그러나 열공간을 구할 때는 $A$ 의 원래 열을 써야 합니다.

직관. 행렬 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 에서 나오는 부분공간을 정리하면

이름	기호	어디에 사는가
열공간	$C(A)$	$\mathbb{R}^m$
영공간	$N(A)$	$\mathbb{R}^n$
행공간	$C(A^T)$	$\mathbb{R}^n$
왼쪽 영공간	$N(A^T)$	$\mathbb{R}^m$

행공간은 $A^T$ 의 열공간과 같습니다. 이 네 부분공간을 4대 부분공간이라 하며, 12장과 13장에서 이들 사이의 아름다운 관계를 봅니다.

▶ 문제 10.10–10.11

쓰이는 곳. '모델이 만들 수 있는 출력 전체'(열공간)와 '출력에 아무 영향을 주지 않는 입력 방향'(영공간)은 선형 모델을 해석할 때 자주 쓰입니다. 제어공학의 가제어성, 신호처리의 부분공간 방법도 이 개념 위에 있습니다.

이 장의 요약

부분공간: $\mathbf{0}$ 을 포함하고 덧셈·스칼라배에 닫힌 집합. span은 항상 부분공간입니다.
교집합은 부분공간이지만 합집합은 보통 아닙니다.
$C(A) = \{A\mathbf{x} : \mathbf{x}\} \subseteq \mathbb{R}^m$ . $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 의 해가 있다 $\iff$ $\mathbf{b} \in C(A)$ .
$N(A) = \{\mathbf{x} : A\mathbf{x} = \mathbf{0}\} \subseteq \mathbb{R}^n$ . 해 전체 $= \mathbf{x}_p + N(A)$ . 해의 개수는 $0, 1, \infty$ .
행 연산은 영공간과 행공간을 보존하지만 열공간은 바꿉니다.

문제

10.1 [계산] · 확인 문제

다음 집합이 부분공간인지 판정합니다. 아니면 깨지는 조건을 구체적인 벡터로 보입니다. 부분공간이면 O, 아니면 X를 적습니다.

집합	부분공간인가
(a) $\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x = 3y\}$	[?]
(b) $\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x + y = 1\}$	[?]
(c) $\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : z = 0\}$	[?]
(d) $\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : xy \ge 0\}$	[?]
(e) $\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x = y = z\}$	[?]
(f) $\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 = y^2\}$	[?]

정답

O
X
O
X
O
X

풀이

(a) 부분공간 (직선 $\operatorname{span}\{(3, 1)\}$ ). (b) 아님: $\mathbf{0}$ 이 없습니다.

(e) 부분공간 ( $\operatorname{span}\{(1, 1, 1)\}$ ). (f) 아님: 두 직선 $y = \pm x$ 의 합집합. $(1, 1) + (1, -1) = (2, 0)$ 은 $4 \ne 0$ .

10.2 [증명]

실수 $a, b, c, d$ 에 대해 $P = \{(x, y, z) : ax + by + cz = d\}$ 라 합시다. $d = 0$ 이면 $P$ 는 부분공간이고, $d \ne 0$ 이면 부분공간이 아님을 보입니다.

풀이

$d = 0$ : $P = N\left(\begin{bmatrix} a & b & c \end{bmatrix}\right)$ 이므로 부분공간(정리 10.9). $d \ne 0$ : $(0, 0, 0)$ 을 넣으면 $0 \ne d$ 이므로 $\mathbf{0} \notin P$ .

10.3 [도전]

$S$ , $T$ 가 $\mathbb{R}^n$ 의 부분공간일 때, $S \cup T$ 가 부분공간인 것은 $S \subseteq T$ 또는 $T \subseteq S$ 인 것과 동치임을 증명합니다.

힌트. (⇒) 대우로. $\mathbf{s} \in S \setminus T$ , $\mathbf{t} \in T \setminus S$ 가 있으면 $\mathbf{s} + \mathbf{t}$ 는 어디에 있을까요?

풀이

(⇐) 합집합이 큰 쪽과 같으므로 부분공간. (⇒) 대우. $\mathbf{s} \in S \setminus T$ , $\mathbf{t} \in T \setminus S$ 라 합시다. $\mathbf{s} + \mathbf{t} \in S$ 이면 $\mathbf{t} = (\mathbf{s} + \mathbf{t}) - \mathbf{s} \in S$ 로 모순. $\mathbf{s} + \mathbf{t} \in T$ 이면 $\mathbf{s} \in T$ 로 모순. 따라서 $\mathbf{s} + \mathbf{t} \notin S \cup T$ .

10.4 [계산]

$\mathbb{R}^3$ 의 두 평면 $x + y + z = 0$ 과 $x - y = 0$ 의 교집합을 span으로 나타냅니다.

풀이

$y = x$ 를 첫째 식에 넣으면 $z = -2x$ . 교집합 $= \operatorname{span}\{(1, 1, -2)\}$ , 원점을 지나는 직선.

10.5 [계산] · 확인 문제

열공간을 기하적으로 설명합니다(점, 직선, 평면, 전체 중 무엇이며 어느 공간 안에 있는가). 표에는 “원점”, “직선”, “평면”, “전체” 중 하나를 적습니다.

\text{(a)}\ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \qquad \text{(b)}\ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \qquad \text{(c)}\ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \qquad \text{(d)}\ \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}

(a)	(b)	(c)	(d)
[?]	[?]	[?]	[?]

정답

직선
평면
전체
원점

풀이

(a) $\mathbb{R}^2$ 의 직선 $y = 2x$ . (b) $\mathbb{R}^3$ 의 평면 $z = x + y$ (열 $(1, 0, 1)$ , $(0, 1, 1)$ ). (c) $\mathbb{R}^2$ 전체 (처음 두 열이 평행하지 않습니다). (d) $\{\mathbf{0}\} \subseteq \mathbb{R}^2$ .

10.6 [계산] · 확인 문제

$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 3 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$ 에 대해 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 가 해를 갖기 위한 $b_1, b_2, b_3$ 의 조건을 하나의 식으로 구합니다. $(1, 7, 5)$ 와 $(1, 0, 0)$ 으로 확인합니다. 표에는 두 $\mathbf{b}$ 에 대해 해가 있으면 O, 없으면 X를 적습니다.

$\mathbf{b}$	해가 있는가
$(1, 7, 5)$	[?]
$(1, 0, 0)$	[?]

정답

O
X

풀이

$x_1(1, 4, 2) + x_2(0, 3, 3) = \mathbf{b}$ 에서 $x_1 = b_1$ , $3x_2 = b_2 - 4b_1$ . 셋째 성분: $2b_1 + 3x_2 = 2b_1 + b_2 - 4b_1 = b_2 - 2b_1$ 이어야 하므로 조건은 $b_3 = b_2 - 2b_1$ , 즉 $2b_1 - b_2 + b_3 = 0$ . $(1, 7, 5)$ : $2 - 7 + 5 = 0$ 만족. $(1, 0, 0)$ : $2 \ne 0$ 불만족.

10.7 [계산] · 확인 문제

영공간을 구하고, 몇 개의 벡터의 span으로 나타냅니다. 표에는 영공간을 span으로 나타낼 때 필요한 (서로 평행하지 않은) 벡터의 최소 개수를 적습니다. 영공간이 $\{\mathbf{0}\}$ 이면 0입니다.

\text{(a)}\ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \qquad \text{(b)}\ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \qquad \text{(c)}\ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \end{bmatrix} \qquad \text{(d)}\ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}

(a)	(b)	(c)	(d)
[?]	[?]	[?]	[?]

정답

풀이

(a) $x = -2y - 3z$ . $\operatorname{span}\{(-2, 1, 0), (-3, 0, 1)\}$ , $\mathbb{R}^3$ 의 평면.

(b) $\det = -2 \ne 0$ 이므로 $\{\mathbf{0}\}$ .

(d) $x = -z$ , $y = -z$ : $\operatorname{span}\{(-1, -1, 1)\}$ .

10.8 [계산]

$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$ , $\mathbf{b} = (3, 6)$ 에 대해 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 의 해 전체를 $\mathbf{x}_p + N(A)$ 꼴로 씁니다.

풀이

행2 $-$ 행1: $y + 2z = 3$ . $z = t$ 이면 $y = 3 - 2t$ , $x = 3 - y - z = t$ . 해 $= (0, 3, 0) + t(1, -2, 1)$ . $\mathbf{x}_p = (0, 3, 0)$ , $N(A) = \operatorname{span}\{(1, -2, 1)\}$ .

10.9 [도전]

(a) $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 가 서로 다른 해 $\mathbf{x}_1 \ne \mathbf{x}_2$ 를 가지면 해가 무수히 많음을, 정리 10.11을 쓰지 않고 직접 보입니다. (힌트: $\mathbf{x}_1 + t(\mathbf{x}_2 - \mathbf{x}_1)$ ) (b) $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2$ 가 해일 때 $\frac12(\mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2)$ 는 해일까요? $2\mathbf{x}_1$ 은?

풀이

(a) $A\big(\mathbf{x}_1 + t(\mathbf{x}_2 - \mathbf{x}_1)\big) = \mathbf{b} + t(\mathbf{b} - \mathbf{b}) = \mathbf{b}$ . $\mathbf{x}_2 - \mathbf{x}_1 \ne \mathbf{0}$ 이므로 $t$ 마다 다른 해가 나옵니다.

(b) $A\big(\frac12(\mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2)\big) = \frac12(\mathbf{b} + \mathbf{b}) = \mathbf{b}$ 이므로 해. $A(2\mathbf{x}_1) = 2\mathbf{b}$ 이므로 $\mathbf{b} \ne \mathbf{0}$ 이면 해가 아닙니다.

10.10 [계산]

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & 6 & 1 \end{bmatrix}$ 을 소거하여 $U$ 를 구합니다. $N(A) = N(U)$ 임을 확인하고, $C(A) \ne C(U)$ 임을 $C(A)$ 에는 있지만 $C(U)$ 에는 없는 벡터로 보입니다.

풀이

행2 $- 2$ 행1 $= (0, 0, 1)$ , 행3 $- 3$ 행1 $= (0, 0, 1)$ , 행3 $-$ 행2 $= \mathbf{0}$ . $U = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ . 두 행렬 모두 $z = 0$ , $x = -2y$ 이므로 영공간 $= \operatorname{span}\{(-2, 1, 0)\}$ . $C(U)$ 의 모든 벡터는 셋째 성분이 0인데, $A$ 의 첫째 열 $(1, 2, 3) \in C(A)$ 는 셋째 성분이 3.

10.11 [증명]

크기가 맞는 행렬 $A$ , $B$ 에 대해 (a) $N(A) \subseteq N(BA)$ 임을 보입니다. (b) $C(AB) \subseteq C(A)$ 임을 보입니다. 각각 변환의 말로 설명합니다.

풀이

(a) $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 이면 $BA\mathbf{x} = B\mathbf{0} = \mathbf{0}$ . 변환: $A$ 가 지운 방향은 그 뒤에 무엇을 해도 지워진 채입니다.

(b) $AB\mathbf{x} = A(B\mathbf{x})$ 는 $A$ 의 출력입니다. 변환: $B$ 를 먼저 하든 말든 마지막 출력은 $A$ 의 치역 안에 있습니다.