미적분학 정의·정리

$a < b$일 때

$|x| = x$ ($x \ge 0$), $|x| = -x$ ($x < 0$). $|x - a|$는 수직선에서 $x$와 $a$ 사이의 거리입니다.

$\delta > 0$일 때 $|x - a| < \delta \iff a - \delta < x < a + \delta$.

$|x + y| \le |x| + |y|$.

실수의 부분집합 $D$의 각 $x$에 실수 $f(x)$를 하나씩 정하는 규칙 $f$를 함수(function)라 하고, $D$를 정의역(domain), $\{f(x) \mid x \in D\}$를 치역(range)이라 합니다. 점 $(x, f(x))$의 모임을 그래프라 합니다.

모든 $x$에서 $f(-x) = f(x)$이면 우함수(그래프가 $y$축 대칭), $f(-x) = -f(x)$이면 기함수(원점 대칭)입니다.

$x_1 < x_2$이면 $f(x_1) < f(x_2)$일 때 증가(increasing), $f(x_1) > f(x_2)$일 때 감소(decreasing)합니다.

$(f \circ g)(x) = f(g(x))$. 일반적으로 $f \circ g \ne g \circ f$입니다.

단사인 $f$에 대해 $f^{-1}(y) = x \iff f(x) = y$. 그래프는 직선 $y = x$에 대칭입니다.

$\ln(xy) = \ln x + \ln y$, $\ln(x/y) = \ln x - \ln y$, $\ln x^r = r\ln x$, $\log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a}$.

$\lim_{x \to a} f(x) = L$이란, 모든 $\varepsilon > 0$에 대해 어떤 $\delta > 0$이 있어

$\lim_{x\to a} f(x) = L$, $\lim_{x\to a} g(x) = M$이면

$x$를 $a$보다 큰 쪽에서만 가깝게 할 때의 극한을 우극한(right-hand limit) $\lim_{x\to a^+}f(x)$, 작은 쪽에서의 극한을 좌극한(left-hand limit) $\lim_{x\to a^-}f(x)$라 합니다.

$\lim_{x\to a}f(x) = L$일 필요충분조건은 좌극한과 우극한이 모두 $L$인 것입니다.

$a$ 근처에서 $g(x) \le f(x) \le h(x)$이고 $\lim g = \lim h = L$이면 $\lim f = L$입니다.

$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} = 1$.

$\lim_{x\to\infty}f(x) = L$은 모든 $\varepsilon > 0$에 대해 어떤 $N$이 있어 $x > N$이면 $|f(x) - L| < \varepsilon$이라는 뜻입니다. 이때 직선 $y = L$을 수평 점근선(horizontal asymptote)이라 합니다.

$\lim_{x\to a}f(x) = \infty$는 모든 $M$에 대해 어떤 $\delta > 0$이 있어 $0 < |x - a| < \delta$이면 $f(x) > M$이라는 뜻입니다. 이때 직선 $x = a$를 수직 점근선(vertical asymptote)이라 합니다. ($\infty$는 수가 아니므로 이 경우 극한은 “존재하지 않지만 무한대로 발산한다”고 말합니다.)

함수 $f$가 $x = a$에서 연속(continuous)이라는 것은

$f$, $g$가 $a$에서 연속이면 $f + g$, $f - g$, $fg$, 그리고 $g(a) \ne 0$일 때 $f/g$도 $a$에서 연속입니다.

$g$가 $a$에서 연속이고 $f$가 $g(a)$에서 연속이면 $f \circ g$는 $a$에서 연속입니다. 곧 $\lim_{x\to a} f(g(x)) = f(\lim_{x\to a} g(x))$입니다.

다항함수, 유리함수(정의역에서), $\sin$, $\cos$, $e^x$, $\ln x$($x > 0$), $\sqrt{x}$($x \ge 0$)는 모두 정의역에서 연속입니다.

$f$가 $[a, b]$에서 연속이고 $N$이 $f(a)$와 $f(b)$ 사이의 수이면, $f(c) = N$인 $c \in [a, b]$가 있습니다.

$f$가 $[a, b]$에서 연속이고 $f(a)$와 $f(b)$의 부호가 다르면 $(a, b)$에 $f(c) = 0$인 $c$가 있습니다.

닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수는 그 구간에서 최댓값과 최솟값을 가집니다.

$x$가 $a$에서 $a + h$로 변할 때 $f$의 평균변화율은

극한

$f'(a)$가 있으면 점 $(a, f(a))$에서의 접선은 $y = f(a) + f'(a)(x - a)$입니다.

각 $x$에 미분계수 $f'(x)$를 대응시키는 함수를 $f$의 도함수(derivative)라 하고 $f'$, $\dfrac{df}{dx}$, $\dfrac{d}{dx}f(x)$로 씁니다. 도함수를 구하는 것을 미분한다고 합니다.

$f$가 $a$에서 미분 가능하면 $a$에서 연속입니다.

$(c)' = 0$, $(x^n)' = nx^{n-1}$ ($n$은 양의 정수).

$(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$.

$(e^x)' = e^x$.

$(af + bg)' = af' + bg'$.

극한 법칙(1장)에서 바로 나옵니다. 그래서 다항식은 항마다 미분합니다: $(3x^4 - 2x + 7)' = 12x^3 - 2$.

$(fg)' = f'g + fg'$.

$\left(\dfrac fg\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$ ($g \ne 0$).

$y = f(u)$, $u = g(x)$이면

$f$가 미분 가능하고 $f'(x) \ne 0$이면 $(f^{-1})'(y) = \dfrac{1}{f'(x)}$ ($y = f(x)$).

$(\ln x)' = \dfrac1x$ ($x > 0$). 더 일반적으로 $(\ln|x|)' = \dfrac1x$ ($x \ne 0$).

$(x^r)' = rx^{r-1}$ ($x > 0$, $r$은 실수).

$(\arcsin x)' = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$, $(\arctan x)' = \dfrac{1}{1 + x^2}$.

$f(c)$가 $c$ 근처의 모든 $x$에 대해 $f(c) \ge f(x)$이면 극댓값(local maximum), $f(c) \le f(x)$이면 극솟값(local minimum)입니다. 둘을 합쳐 극값(extremum)이라 합니다.

$f$가 $c$에서 극값을 갖고 미분 가능하면 $f'(c) = 0$입니다.

$f'(c) = 0$이거나 $f'(c)$가 없는 점을 임계점(critical point)이라 합니다.

$f$가 $[a, b]$에서 연속, $(a, b)$에서 미분 가능하고 $f(a) = f(b)$이면 $f'(c) = 0$인 $c \in (a, b)$가 있습니다.

$f$가 $[a, b]$에서 연속, $(a, b)$에서 미분 가능하면

구간에서 $f' > 0$이면 $f$는 증가, $f' < 0$이면 감소, $f' = 0$이면 상수입니다.

구간에서 $f' = g'$이면 $f - g$는 상수입니다. (7장의 부정적분이 “+ C”를 갖는 이유입니다.)

임계점 $c$에서 $f'$의 부호가 $+$에서 $-$로 바뀌면 극대, $-$에서 $+$로 바뀌면 극소, 바뀌지 않으면 극값이 아닙니다.

구간에서 $f'$이 증가하면 그래프가 아래로 볼록(위로 오목, ∪ 모양), 감소하면 위로 볼록(∩ 모양)입니다. 볼록성이 바뀌는 점을 변곡점(inflection point)이라 합니다.

$f'' > 0$이면 아래로 볼록, $f'' < 0$이면 위로 볼록입니다.

$f'(c) = 0$이고 $f''(c) < 0$이면 극대, $f''(c) > 0$이면 극소입니다. $f''(c) = 0$이면 판정할 수 없습니다.

$\lim f = \lim g = 0$ (또는 둘 다 $\pm\infty$)이고 $\lim \frac{f'}{g'}$이 존재하면 $\displaystyle\lim\frac fg = \lim\frac{f'}{g'}$입니다.

$f$가 $[a, b]$에서 연속일 때 최댓값과 최솟값은 (1) $(a, b)$ 안의 임계점에서의 값, (2) $f(a)$, $f(b)$ 가운데 가장 큰 것과 가장 작은 것입니다.

$a$ 근처에서 $f(x) \approx L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$. $L$은 $a$에서의 접선입니다.

$dx$를 $x$의 변화량으로 두고 $dy = f'(x)\,dx$를 $y$의 미분(differential)이라 합니다. 실제 변화량 $\Delta y = f(x + dx) - f(x)$를 $dy$로 어림합니다.

$x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.

예제 6.12. $\sqrt2$, 곧 $x^2 - 2 = 0$의 근. $x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 - 2}{2x_n} = \frac12\left(x_n + \frac2{x_n}\right)$입니다.

$[a, b]$를 $a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$로 나누고 각 조각 $[x_{k-1}, x_k]$에서 점 $x_k^*$를 고를 때

조각의 최대 폭을 0으로 보낼 때 리만 합이 (점의 선택과 상관없이) 한 값으로 가면, 그 값을 $f$의 $a$에서 $b$까지의 정적분(definite integral)이라 하고

$[a, b]$에서 연속인 함수는 적분 가능합니다. 유한 개의 점에서만 불연속이고 유계인 함수도 적분 가능합니다.

1. $\int_a^b (cf + g)\,dx = c\int_a^b f\,dx + \int_a^b g\,dx$
2. $\int_a^b f\,dx + \int_b^c f\,dx = \int_a^c f\,dx$
3. $\int_a^a f\,dx = 0$, $\int_b^a f\,dx = -\int_a^b f\,dx$
4. $[a, b]$에서 $f \le g$이면 $\int_a^b f\,dx \le \int_a^b g\,dx$
5. $m \le f \le M$이면 $m(b - a) \le \int_a^b f\,dx \le M(b - a)$

$f$가 $[a, b]$에서 연속이면 $\int_a^b f\,dx = f(c)(b - a)$인 $c \in [a, b]$가 있습니다. 값 $\frac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$를 $f$의 평균값(mean value)이라 합니다.

$f$가 $[a, b]$에서 연속이면 $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$는 $(a, b)$에서 미분 가능하고

$F' = f$인 $F$를 $f$의 원시함수(antiderivative)라 합니다. 원시함수 전체를 부정적분(indefinite integral) $\int f(x)\,dx = F(x) + C$로 씁니다.

$f$가 $[a, b]$에서 연속이고 $F$가 $f$의 원시함수이면

$u = g(x)$이면

$\displaystyle\int u\,dv = uv - \int v\,du$, 곧 $\displaystyle\int f g' \,dx = fg - \int f' g\,dx$.

$\displaystyle\int_a^\infty f\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_a^b f\,dx$. 극한이 있으면 수렴(convergence), 없으면 발산(divergence)합니다. $f$가 $x = a$ 근처에서 끝없이 커지면 $\displaystyle\int_a^b f\,dx = \lim_{c\to a^+}\int_c^b f\,dx$로 정의합니다.

$\displaystyle\int_1^\infty\frac{dx}{x^p}$는 $p > 1$이면 $\frac{1}{p - 1}$로 수렴하고, $p \le 1$이면 발산합니다. $\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{x^p}$는 $p < 1$이면 $\frac1{1-p}$로 수렴하고 $p \ge 1$이면 발산합니다.

$[a, b]$에서 $f \ge g$이면 두 곡선 사이의 넓이는 $\displaystyle\int_a^b (f(x) - g(x))\,dx$입니다.

$x$에서의 단면의 넓이가 $A(x)$인 입체의 부피는 $\int_a^b A(x)\,dx$입니다.

$f'$이 연속이면 $y = f(x)$ ($a \le x \le b$)의 길이는 $\displaystyle\int_a^b\sqrt{1 + f'(x)^2}\,dx$입니다.

$f \ge 0$이고 $\int_{-\infty}^\infty f\,dx = 1$인 함수를 확률밀도함수(probability density function, pdf)라 하고 $P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx$, $E[X] = \int_{-\infty}^\infty xf(x)\,dx$로 정합니다.

수열 $a_1, a_2, \dots$에 대해 $\lim_{n\to\infty}a_n = L$이란 모든 $\varepsilon > 0$에 대해 어떤 $N$이 있어 $n > N$이면 $|a_n - L| < \varepsilon$이라는 뜻입니다. 극한이 있으면 수렴(convergence), 없으면 발산(divergence)합니다.

증가하고 위로 유계인 수열은 수렴합니다.

급수 $\sum_{n=1}^\infty a_n$의 부분합(partial sum) $S_N = a_1 + \cdots + a_N$이 수렴하면 그 극한을 급수의 합이라 합니다.

$\sum_{n=0}^\infty ar^n$은 $|r| < 1$이면 $\frac{a}{1 - r}$로 수렴하고, $|r| \ge 1$이면 ($a \ne 0$) 발산합니다.

$\sum a_n$이 수렴하면 $a_n \to 0$입니다. 따라서 $a_n \not\to 0$이면 발산합니다.

$f$가 $[1, \infty)$에서 양수, 연속, 감소이고 $a_n = f(n)$이면, $\sum a_n$과 $\int_1^\infty f\,dx$는 함께 수렴하거나 함께 발산합니다.

$\sum\frac1{n^p}$은 $p > 1$이면 수렴, $p \le 1$이면 발산합니다. (9장의 정리 9.12)

$0 \le a_n \le b_n$일 때 $\sum b_n$이 수렴하면 $\sum a_n$도 수렴하고, $\sum a_n$이 발산하면 $\sum b_n$도 발산합니다.

$\lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \rho$일 때 $\rho < 1$이면 (절대)수렴, $\rho > 1$이면 발산, $\rho = 1$이면 판정할 수 없습니다.

$b_n$이 감소하며 0으로 가면 $\sum(-1)^{n+1}b_n$은 수렴하고, 오차는 $|S - S_N| \le b_{N+1}$입니다.

$\sum|a_n|$이 수렴하면 절대수렴(absolute convergence), $\sum a_n$은 수렴하지만 $\sum|a_n|$은 발산하면 조건수렴(conditional convergence)입니다.

절대수렴하면 수렴합니다.

조건수렴하는 급수는 항의 순서를 바꾸면 합이 달라질 수 있습니다(리만 재배열 정리). 절대수렴하는 급수는 순서를 바꿔도 합이 같습니다.

$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n(x - a)^n$ 꼴의 급수를 $a$를 중심으로 하는 거듭제곱급수(power series)라 합니다.

거듭제곱급수마다 $0 \le R \le \infty$인 $R$이 있어, $|x - a| < R$이면 절대수렴하고 $|x - a| > R$이면 발산합니다. $R$을 수렴 반지름(radius of convergence)이라 합니다. 끝점 $|x - a| = R$은 따로 살펴야 합니다.

수렴 반지름 안에서 거듭제곱급수는 항별로 미분하고 적분할 수 있고, 수렴 반지름은 그대로입니다.

$f$의 $a$에서의 $n$차 테일러 다항식(Taylor polynomial)은

$f$가 $n + 1$번 미분 가능하면 $f(x) = T_n(x) + R_n(x)$이고, $x$와 $a$ 사이의 어떤 $c$에 대해

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$. 특히 $e^{i\pi} + 1 = 0$.

지수함수와 삼각함수가 복소수에서는 하나라는 이 공식이 푸리에 해석의 출발점이고, 복소해석학에서 본격적으로 다룹니다.