복소해석학 정의·정리

$i^2 = -1$인 수 $i$와 실수 $x, y$로 쓴 $z = x + iy$를 복소수(complex number)라 하고, $x = \mathrm{Re}\,z$를 실수부(real part), $y = \mathrm{Im}\,z$를 허수부(imaginary part)라 합니다. 복소수 전체의 집합을 $\mathbb C$로 씁니다.

$\bar z = x - iy$를 $z$의 켤레(conjugate), $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$를 절댓값(modulus)이라 합니다.

$|z + w| \le |z| + |w|$.

삼각형의 한 변은 다른 두 변의 합보다 짧다는 뜻입니다. 이 부등식은 적분의 크기를 어림할 때(4장) 계속 씁니다.

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$.

근거. 지수함수의 테일러 급수 $e^x = \sum\frac{x^n}{n!}$에 $x = i\theta$를 넣고, $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$을 써서 실수항과 허수항을 모으면 각각 $\cos\theta$와 $\sin\theta$의 급수가 됩니다(미적분학 12장). □

$z = r_1e^{i\theta_1}$, $w = r_2e^{i\theta_2}$이면 $zw = r_1r_2e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$입니다.

$(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$, 곧 $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$.

복소수 $z$에 복소수 $w = f(z)$를 대응시키는 함수를 복소함수(complex function)라 합니다. $z = x + iy$로 쓰면

주편각을 쓴 $\mathrm{Log}\,z = \ln|z| + i\,\mathrm{Arg}\,z$를 주가지(principal branch)라 합니다.

$ad - bc \ne 0$일 때 $w = \dfrac{az + b}{cz + d}$를 뫼비우스 변환(Möbius transformation)이라 합니다.

뫼비우스 변환은 “직선 또는 원”을 “직선 또는 원”으로 보냅니다(직선을 반지름이 무한대인 원으로 봅니다).

$z$가 어느 방향에서 $z_0$에 다가가든 $|f(z) - L| \to 0$이면 $\lim_{z \to z_0}f(z) = L$이라 하고, $f(z_0) = L$이면 $f$가 $z_0$에서 연속(continuous)이라 합니다.

다음 극한이 존재하면 $f$가 $z_0$에서 복소 미분가능하다고 하고, 그 값을 $f'(z_0)$라 씁니다.

$f = u + iv$가 $z_0$에서 복소 미분가능하면

열린 집합의 모든 점에서 복소 미분가능한 함수를 그 집합에서 정칙(holomorphic) 또는 해석적(analytic)이라 합니다. 평면 전체에서 정칙인 함수를 전해석함수(entire function)라 합니다.

$\Delta u = u_{xx} + u_{yy} = 0$을 만족하는 함수를 조화함수(harmonic function)라 합니다. 정칙함수의 실수부와 허수부는 조화함수이고, $v$를 $u$의 조화 켤레(harmonic conjugate)라 합니다.

$f$가 정칙이고 $f'(z_0) \ne 0$이면, $z_0$에서 만나는 두 곡선 사이의 각은 $f$로 옮긴 뒤에도 크기와 방향이 같습니다.

곡선 $C$를 $z(t)$($a \le t \le b$)로 나타낼 때

$C$가 중심 $z_0$, 반지름 $r$인 원(반시계 방향)이면

$F' = f$인 정칙함수 $F$가 곡선을 포함하는 영역에서 있으면

곡선 $C$의 길이가 $L$이고 그 위에서 $|f(z)| \le M$이면

$f$가 단순 닫힌 경로 $C$와 그 안쪽 전체에서 정칙이면

정칙이 아닌 점들을 지나지 않고 경로 $C_1$을 $C_2$로 연속적으로 변형할 수 있으면 $\oint_{C_1}f\,dz = \oint_{C_2}f\,dz$입니다.

$f$가 단순 닫힌 경로 $C$와 그 안쪽에서 정칙이고 $z_0$가 $C$의 안쪽에 있으면

같은 조건에서 $f$는 무한 번 미분가능하고

$|z - z_0| = R$ 위에서 $|f| \le M$이면 $|f^{(n)}(z_0)| \le \dfrac{n!M}{R^n}$.

유계인 전해석함수는 상수입니다.

상수가 아닌 복소 계수 다항식은 복소수 근을 적어도 하나 가집니다. 따라서 $n$차 다항식은 (중복을 세어) 정확히 $n$개의 복소수 근을 가집니다.

유계인 영역에서 정칙이고 경계까지 연속인 함수의 절댓값 $|f|$는 최댓값을 경계에서 얻습니다. 안쪽에서 최대이면 상수입니다.

$\sum_{n=0}^\infty a_n(z - z_0)^n$을 중심 $z_0$인 거듭제곱급수(power series)라 합니다.

수 $R$($0 \le R \le \infty$)이 있어 급수는 $|z - z_0| < R$에서 수렴하고 $|z - z_0| > R$에서 발산합니다. $R$을 수렴 반지름(radius of convergence)이라 하고, 비율 판정법으로 $R = \lim\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$(극한이 있을 때)입니다.

$f$가 원판 $|z - z_0| < R$에서 정칙이면 그 원판에서

$f$가 정칙이고 상수 0이 아니면, $f(z_0) = 0$인 점 $z_0$ 근처에 다른 영점이 없습니다. 그리고 $f(z) = (z - z_0)^mg(z)$, $g(z_0) \ne 0$으로 쓸 수 있습니다. $m$을 영점의 차수(order)라 합니다.

$f$가 고리 $r < |z - z_0| < R$에서 정칙이면

$z_0$에서의 로랑 급수의 $\frac{1}{z - z_0}$ 계수 $a_{-1}$을 유수(residue)라 하고 $\mathrm{Res}(f, z_0)$로 씁니다.

$f$가 단순 닫힌 경로 $C$ 위와 안쪽에서, 안쪽의 유한 개 특이점 $z_1, \dots, z_k$를 빼고 정칙이면

$k > 0$이고 반원 위에서 $|f(z)| \to 0$이면(차수 차가 1이어도) $\int_{C_R}f(z)e^{ikz}dz \to 0$.

$f$가 $C$ 안에서 극을 빼고 정칙이고 $C$ 위에 영점·극이 없으면

평면 전체가 아니고 구멍이 없는(단순 연결) 열린 영역은 모두 단위원판으로 가는 등각 사상(일대일, 정칙)을 가집니다.

$w = f(z)$가 정칙이고 $\phi(u, v)$가 $w$ 평면에서 조화함수이면, $\phi(f(z))$는 $z$ 평면에서 조화함수입니다.

$\Omega(z) = \phi + i\psi$를 복소 퍼텐셜(complex potential)이라 합니다. 속도는 $\overline{\Omega'(z)} = v_x + iv_y$입니다.

$w = z + \dfrac1z$를 주코프스키 변환(Joukowski transform)이라 합니다.