선형대수 정의·정리

잘 정의된 대상들의 모임을 집합(set)이라 하고, 집합을 이루는 대상 하나하나를 원소(element)라 합니다. $a$가 집합 $A$의 원소이면 $a \in A$라 쓰고, 원소가 아니면 $a \notin A$라 씁니다.

원소가 하나도 없는 집합을 공집합(empty set)이라 하고 $\varnothing$로 씁니다.

집합 $A$의 모든 원소가 집합 $B$의 원소이면 $A$를 $B$의 부분집합(subset)이라 하고 $A \subseteq B$로 씁니다.

$A \subseteq B$이고 $B \subseteq A$이면 두 집합이 같다(equal)고 하고 $A = B$로 씁니다.

두 집합 $A$, $B$에 대하여

$a \in A$, $b \in B$로 만든 $(a, b)$를 순서쌍(ordered pair)이라 합니다. 두 순서쌍은 같은 자리의 성분이 모두 같을 때만 같습니다. 즉

참인지 거짓인지가 분명하게 결정되는 문장을 명제(statement)라 합니다.

명제 $P \Rightarrow Q$에 대하여 $Q \Rightarrow P$를 역(converse), $\neg Q \Rightarrow \neg P$를 대우(contrapositive)라 합니다.

$P \Rightarrow Q$와 그 대우 $\neg Q \Rightarrow \neg P$는 참·거짓이 항상 같습니다. 반면 역은 원래 명제와 참·거짓이 다를 수 있습니다.

• $\forall x \in A,\ P(x)$: “$A$의 모든 원소 $x$에 대하여 $P(x)$입니다.” ($\forall$는 전칭기호(universal quantifier))
• $\exists x \in A,\ P(x)$: “$P(x)$를 만족하는 $x \in A$가 적어도 하나 존재합니다.” ($\exists$는 존재기호(existential quantifier))

수 $a_m, a_{m+1}, \ldots, a_n$의 합을

수 $a_k$, $b_k$와 상수 $c$에 대하여

1. $\sum_{k=1}^n (a_k + b_k) = \sum_{k=1}^n a_k + \sum_{k=1}^n b_k$
2. $\sum_{k=1}^n c\, a_k = c\sum_{k=1}^n a_k$
3. $\sum_{k=1}^n c = nc$

집합 $A$의 각 원소 $a$에 집합 $B$의 원소를 정확히 하나씩 대응시키는 규칙 $f$를 $A$에서 $B$로의 함수(function) 또는 사상(map)이라 하고 $f : A \to B$로 씁니다. $a$에 대응하는 원소를 $f(a)$로 씁니다.

함수 $f : A \to B$에 대하여

• 서로 다른 입력이 항상 서로 다른 출력으로 가면, 즉 $\forall a_1, a_2 \in A,\ f(a_1) = f(a_2) \Rightarrow a_1 = a_2$이면 $f$를 단사(injective)라 합니다.
• 공역의 모든 원소가 어떤 입력의 출력이면, 즉 $\forall b \in B,\ \exists a \in A,\ f(a) = b$이면 $f$를 전사(surjective)라 합니다.
• 단사이면서 전사이면 전단사(bijective)라 합니다.

$f : A \to B$, $g : B \to C$에 대하여 $(g \circ f)(a) = g\big(f(a)\big)$로 정의한 함수 $g \circ f : A \to C$를 $f$와 $g$의 합성(composition)이라 합니다.

$f : A \to B$에 대하여 $g : B \to A$가

$f : A \to B$의 역함수가 존재하는 것은 $f$가 전단사인 것과 동치입니다.

정수 $n$에 대해 $n = 2k$인 정수 $k$가 존재하면 $n$을 짝수(even), $n = 2k + 1$인 정수 $k$가 존재하면 홀수(odd)라 합니다.

두 짝수의 합은 짝수입니다.

아이디어. “짝수”를 정의로 바꾸면 “2 × (정수)”가 됩니다. 두 수를 더한 다음 2로 묶을 수 있는지 봅니다.

정수 $a \ne 0$, $b$에 대해 $b = ak$인 정수 $k$가 존재하면 “$a$가 $b$를 나눕니다”고 하고 $a \mid b$로 씁니다.

정수 $n$에 대하여 $n^2$이 짝수이면 $n$은 짝수입니다.

증명. 대우를 증명합니다. $n$이 홀수라 하면 $n = 2k + 1$인 정수 $k$가 있습니다.

$\sqrt{2}$는 무리수입니다.

증명. $\sqrt{2}$가 유리수라고 가정합시다. 그러면 $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$인 정수 $p$, $q$ ($q \ne 0$)가 있고, 약분을 끝까지 해서 $p$와 $q$가 둘 다 짝수인 경우는 없다고 할 수 있습니다.

소수는 무한히 많습니다.

증명. 소수가 유한하다고 가정하고, 그 전부를 $p_1, p_2, \ldots, p_n$이라 합시다. $N = p_1p_2\cdots p_n + 1$을 생각합니다. $N > 1$이므로 $N$은 어떤 소수로 나누어떨어지고, 그 소수는 목록 안의 어떤 $p_i$입니다. 그런데 $p_i \mid p_1\cdots p_n$이고 $p_i \mid N$이므로 $p_i \mid \big(N - p_1\cdots p_n\big) = 1$입니다. 1을 나누는 소수는 없으므로 모순입니다. $\blacksquare$

자연수 $n$에 대한 명제 $P(n)$이 다음 두 조건을 만족하면, 모든 자연수 $n$에 대해 $P(n)$은 참입니다.

모든 $n \in \mathbb{N}$에 대하여 $\displaystyle\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n + 1)}{2}$입니다.

집합 $A$, $B$, $C$에 대하여 $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$입니다.

평면이나 공간에서 길이와 방향으로 결정되는 대상을 벡터(vector)라 합니다. 길이와 방향이 같은 두 화살표는, 그려진 위치가 달라도 같은 벡터를 나타냅니다.

길이가 0인 벡터, 즉 “움직이지 않음”을 나타내는 벡터를 영벡터(zero vector)라 하고 $\mathbf{0}$으로 씁니다. 영벡터는 방향이 정해지지 않습니다.

실수 $n$개를 순서대로 늘어놓은 목록

$\mathbb{R}^n$의 두 벡터 $\mathbf{v}$, $\mathbf{w}$는 모든 성분이 같을 때, 즉 $v_i = w_i$ ($i = 1, \ldots, n$)일 때 같다고 하고 $\mathbf{v} = \mathbf{w}$로 씁니다.

$\mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^n$에 대하여

실수 $c$와 $\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$에 대하여

$\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^n$, $a, b \in \mathbb{R}$에 대하여

1. $\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}$ (덧셈의 교환법칙)
2. $(\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w})$ (덧셈의 결합법칙)
3. $\mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v}$ (영벡터)
4. $\mathbf{v} + (-\mathbf{v}) = \mathbf{0}$ (덧셈의 역원)
5. $a(b\mathbf{v}) = (ab)\mathbf{v}$ (스칼라곱의 결합법칙)
6. $1\mathbf{v} = \mathbf{v}$ (1을 곱하기)
7. $a(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = a\mathbf{u} + a\mathbf{v}$ (분배법칙 1)
8. $(a + b)\mathbf{v} = a\mathbf{v} + b\mathbf{v}$ (분배법칙 2)

$\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$의 길이(length) 또는 노름(norm)을

$\mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^n$의 내적(dot product)을

$\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^n$, $c \in \mathbb{R}$에 대하여

1. $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = \mathbf{w} \cdot \mathbf{v}$
2. $\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{u} \cdot \mathbf{w}$
3. $(c\mathbf{v}) \cdot \mathbf{w} = c(\mathbf{v} \cdot \mathbf{w})$
4. $\mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = \lVert\mathbf{v}\rVert^2 \ge 0$이고, 등호는 $\mathbf{v} = \mathbf{0}$일 때만 성립합니다.

$\mathbb{R}^2$의 영이 아닌 두 벡터 $\mathbf{v}$, $\mathbf{w}$ 사이의 각을 $\theta$ ($0 \le \theta \le \pi$)라 하면

$\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = 0$이면 $\mathbf{v}$와 $\mathbf{w}$가 수직(orthogonal)이라 하고 $\mathbf{v} \perp \mathbf{w}$로 씁니다.

$\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k \in \mathbb{R}^n$과 스칼라 $c_1, \ldots, c_k \in \mathbb{R}$에 대하여

$\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k \in \mathbb{R}^n$의 일차결합 전체의 집합을 이 벡터들의 span(생성)이라 하고 $\operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k\}$로 씁니다.

$S = \operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k\}$라 합시다. 그러면

1. $\mathbf{0} \in S$.
2. $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in S$이면 $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in S$.
3. $\mathbf{x} \in S$, $c \in \mathbb{R}$이면 $c\mathbf{x} \in S$.

$\mathbf{w} \in \operatorname{span}\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k\}$이면

함수 $T : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$이 모든 $\mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^n$, $c \in \mathbb{R}$에 대하여

$T$가 선형변환이면 $T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$입니다.

$\mathbb{R}^n$에서 제$i$ 성분만 1이고 나머지가 0인 벡터를 $\mathbf{e}_i$로 쓰고, $\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_n$을 표준기저벡터(standard basis vectors)라 합니다.

$T : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$이 선형변환이면, 모든 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$에 대하여

실수를 $m$개의 행(가로줄)과 $n$개의 열(세로줄)로 늘어놓은 표

$A = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 & \cdots & \mathbf{a}_n \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{m \times n}$, $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$에 대하여

$T : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$이 선형변환이면

$A \in \mathbb{R}^{m \times n}$의 제$i$행을 $\mathbf{r}_i$(성분 $n$개짜리 벡터)라 하면, $A\mathbf{x}$의 제$i$ 성분은 $\mathbf{r}_i \cdot \mathbf{x}$입니다. 즉

$\mathbf{x} \mapsto \mathbf{x}$ (아무것도 하지 않는 변환)의 표준행렬을 $n \times n$ 항등행렬(identity matrix)이라 하고 $I$ 또는 $I_n$으로 씁니다. 열이 $\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_n$이므로 대각선은 1, 나머지는 0입니다.

$n \times n$ 행렬을 정사각행렬(square matrix)이라 합니다. 정사각행렬에서 $a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{nn}$을 대각성분(diagonal entries)이라 하고, 대각성분이 아닌 성분이 모두 0인 행렬을 대각행렬(diagonal matrix)이라 합니다.

$T : \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^n$, $U : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$이 선형변환이면 $U \circ T : \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^m$도 선형변환입니다.

$A \in \mathbb{R}^{m \times n}$, $B = \begin{bmatrix} \mathbf{b}_1 & \cdots & \mathbf{b}_p \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{n \times p}$에 대하여

모든 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^p$에 대하여 $(AB)\mathbf{x} = A(B\mathbf{x})$.

$A \in \mathbb{R}^{m \times n}$의 행을 $\mathbf{r}_1, \ldots, \mathbf{r}_m$, 열을 $\mathbf{a}_1, \ldots, \mathbf{a}_n$이라 하고, $B \in \mathbb{R}^{n \times p}$의 행을 $\mathbf{s}_1, \ldots, \mathbf{s}_n$, 열을 $\mathbf{b}_1, \ldots, \mathbf{b}_p$라 합시다.

크기가 맞는 행렬에 대하여

1. $(AB)C = A(BC)$ (결합법칙)
2. $A(B + C) = AB + AC$, $(A + B)C = AC + BC$ (분배법칙)
3. $c(AB) = (cA)B = A(cB)$
4. $I_m A = A = AI_n$ ($A \in \mathbb{R}^{m \times n}$)

$A \in \mathbb{R}^{m \times n}$의 행과 열을 맞바꾼 $n \times m$ 행렬을 $A$의 전치행렬(transpose)이라 하고 $A^T$로 씁니다. 즉 $(A^T)_{ij} = a_{ji}$입니다.

1. $(A^T)^T = A$, $(A + B)^T = A^T + B^T$, $(cA)^T = cA^T$
2. $(AB)^T = B^TA^T$
3. $(A\mathbf{x}) \cdot \mathbf{y} = \mathbf{x} \cdot (A^T\mathbf{y})$

$A^T = A$인 정사각행렬을 대칭행렬(symmetric matrix)이라 합니다. 즉 모든 $i, j$에 대해 $a_{ij} = a_{ji}$입니다.

$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$의 행렬식(determinant)을

$2 \times 2$ 행렬 $A$, $B$에 대하여 $\det(AB) = \det A \cdot \det B$.

$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$에 대하여 다음은 동치입니다.

정사각행렬 $A$에 대하여

$\lambda$가 $A$의 고윳값인 것은 $\det(A - \lambda I) = 0$인 것과 동치입니다.

연립방정식 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$에 대해 $A$의 오른쪽에 $\mathbf{b}$를 붙인 행렬 $\left[\, A \mid \mathbf{b} \,\right]$를 첨가행렬(augmented matrix)이라 합니다.

행렬에 대한 다음 세 연산을 기본 행 연산(elementary row operations)이라 합니다.

첨가행렬에 기본 행 연산을 하여 얻은 연립방정식은 원래 연립방정식과 해집합이 같습니다.

소거 과정에서 각 단계의 기준이 되는, 그 열의 (현재 행 이하에서) 0이 아닌 첫 성분을 피벗(pivot)이라 합니다.

$i \ne j$에 대해 단위행렬의 $(i, j)$ 성분을 $-\ell$로 바꾼 행렬을 $E_{ij}$라 합시다. $E_{ij}A$는 $A$의 제$i$행에서 제$j$행의 $\ell$배를 뺀 행렬입니다. 이런 행렬을 소거행렬(elimination matrix)이라 합니다.

단위행렬의 행 순서를 바꾼 행렬을 치환행렬(permutation matrix)이라 합니다. $PA$는 $A$의 행 순서를 같은 방식으로 바꾼 행렬입니다.

$n \times n$ 행렬 $A$에 대하여

$A$의 역행렬은 존재하면 유일합니다.

$A$, $B$가 같은 크기의 가역행렬이면

1. $A^{-1}$도 가역이고 $(A^{-1})^{-1} = A$.
2. $AB$도 가역이고 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$.
3. $A^T$도 가역이고 $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$.

$\left[\, A \mid I \,\right]$에 행 연산을 하여

1. 피벗 아래를 0으로 만들고 (가우스 소거),
2. 피벗 위도 0으로 만들고,
3. 각 행을 피벗으로 나누어 피벗을 1로 만듭니다.

$n \times n$ 행렬 $A$에 대하여 다음은 동치입니다.

1. $A$는 가역입니다.
2. (행 교환을 허용한) 소거에서 피벗이 $n$개 나옵니다.
3. $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$의 해는 $\mathbf{x} = \mathbf{0}$뿐입니다.
4. 모든 $\mathbf{b}$에 대해 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$의 해가 정확히 하나 있습니다.
5. $BA = I$인 $B$가 있습니다.
6. $AC = I$인 $C$가 있습니다.

행 교환 없이 소거가 끝나는 $n \times n$ 행렬 $A$는

$\mathbb{R}^n$의 부분집합 $S$가 다음 세 조건을 만족하면 $S$를 $\mathbb{R}^n$의 부분공간(subspace)이라 합니다.

$S$, $T$가 $\mathbb{R}^n$의 부분공간이면 $S \cap T$도 부분공간입니다.

$m \times n$ 행렬 $A$의 열들의 span을 $A$의 열공간(column space)이라 하고 $C(A)$로 씁니다.

$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$가 해를 갖는 것은 $\mathbf{b} \in C(A)$인 것과 동치입니다.

정의를 다시 쓴 것에 불과하지만, 이 정리 덕분에 “해가 있는가”라는 계산의 질문이 “$\mathbf{b}$가 어떤 부분공간 안에 있는가”라는 기하의 질문이 됩니다.

$A \in \mathbb{R}^{m \times n}$에 대하여 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$의 해 전체의 집합을 $A$의 영공간(nullspace)이라 하고 $N(A)$로 씁니다.

$N(A)$는 $\mathbb{R}^n$의 부분공간입니다.

$\mathbf{x}_p$가 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$의 해 하나라 합시다. 그러면 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$의 해 전체는

가역행렬 $E$에 대해 $EA$는 $A$와

1. 영공간이 같습니다: $N(EA) = N(A)$.
2. 행공간이 같습니다: $EA$의 행들의 span $=$ $A$의 행들의 span.

사다리꼴에서 피벗이 있는 열을 피벗 열(pivot column), 피벗이 없는 열을 자유 열(free column)이라 합니다. 자유 열에 대응하는 미지수를 자유변수(free variable), 피벗 열에 대응하는 미지수를 피벗변수(pivot variable)라 합니다.

사다리꼴이면서 다음을 만족하는 행렬을 기약 행 사다리꼴(reduced row echelon form, RREF)이라 합니다.

$A$가 $m \times n$이고 피벗이 $r$개이면, 자유변수는 $n - r$개이고 특수해도 $n - r$개이며

$m < n$이면 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$은 $\mathbf{x} \ne \mathbf{0}$인 해를 갖습니다.

이 따름정리는 짧지만 12장에서 “차원”을 정의하는 데 결정적인 역할을 합니다.

$A$를 소거했을 때 나오는 피벗의 개수를 $A$의 랭크(rank)라 하고 $\operatorname{rank} A$ 또는 $r$로 씁니다.

$A \in \mathbb{R}^{m \times n}$, $r = \operatorname{rank} A$.

1. $r = m$ (행 최대 랭크(full row rank))이면 모든 $\mathbf{b}$에 대해 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$의 해가 있습니다.
2. $r = n$ (열 최대 랭크(full column rank))이면 $N(A) = \{\mathbf{0}\}$이고, 해는 있다면 유일합니다.

벡터 $\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k$가

$k \ge 2$일 때, $\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k$가 일차종속인 것은 그중 어떤 벡터가 나머지 벡터들의 일차결합인 것과 동치입니다.

$\mathbb{R}^m$의 벡터 $k$개가 $k > m$이면 일차종속입니다.

부분공간 $S$의 벡터들 $\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k$가

1. 일차독립이고,
2. $S$를 span하면

$\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k$가 $S$의 기저이면, $S$의 모든 벡터 $\mathbf{x}$는

$\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_m$이 $S$를 span하고, $\mathbf{w}_1, \ldots, \mathbf{w}_n \in S$가 일차독립이면 $n \le m$입니다.

부분공간 $S$의 두 기저는 길이가 같습니다.

부분공간 $S$의 기저의 길이를 $S$의 차원(dimension)이라 하고 $\dim S$로 씁니다. $\dim\{\mathbf{0}\} = 0$으로 약속합니다.

$\mathbb{R}^n$의 모든 부분공간 $S$는 기저를 가지며 $\dim S \le n$입니다.

$\dim S = d$일 때, $S$의 벡터 $d$개에 대해

1. 일차독립이면 자동으로 $S$를 span합니다(따라서 기저).
2. $S$를 span하면 자동으로 일차독립입니다(따라서 기저).

1. 열공간 $C(A)$: $A$의 피벗 열들이 기저이고 $\dim C(A) = r$.
2. 행공간 $C(A^T)$: $R$의 영이 아닌 행들이 기저이고 $\dim C(A^T) = r$.
3. 영공간 $N(A)$: 특수해들이 기저이고 $\dim N(A) = n - r$.
4. 왼쪽 영공간 $N(A^T)$: $\dim N(A^T) = m - r$. $E$의 마지막 $m - r$개 행이 기저입니다.

모든 행렬에서 독립인 행의 최대 개수와 독립인 열의 최대 개수는 같습니다. 즉 $\dim C(A) = \dim C(A^T)$이고, $\operatorname{rank} A = \operatorname{rank} A^T$입니다.

$A \in \mathbb{R}^{m \times n}$이면 $\dim C(A) + \dim N(A) = n$.

$\mathbb{R}^n$의 두 부분공간 $S$, $T$에서 $S$의 모든 벡터가 $T$의 모든 벡터와 수직이면, 즉

$A \in \mathbb{R}^{m \times n}$이면 $N(A) \perp C(A^T)$이고 $N(A^T) \perp C(A)$입니다.

부분공간 $S$에 수직인 모든 벡터의 집합 $S^\perp = \{\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n : \mathbf{v}^T\mathbf{s} = 0\ \forall \mathbf{s} \in S\}$를 $S$의 직교여공간(orthogonal complement)이라 합니다.

$A \in \mathbb{R}^{m \times n}$에 대하여

모든 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$은 $\mathbf{x} = \mathbf{x}_r + \mathbf{x}_n$ ($\mathbf{x}_r \in C(A^T)$, $\mathbf{x}_n \in N(A)$)으로 유일하게 쓰입니다.

$\mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^n$이면

$\lVert \mathbf{v} + \mathbf{w} \rVert \le \lVert \mathbf{v} \rVert + \lVert \mathbf{w} \rVert$.

$A^TA$가 가역인 것은 $A$의 열들이 일차독립인 것과 동치입니다.

$\hat{\mathbf{x}}$가 $A^TA\hat{\mathbf{x}} = A^T\mathbf{b}$를 만족하면, 모든 $\mathbf{x}$에 대해

벡터 $\mathbf{q}_1, \ldots, \mathbf{q}_k$가 서로 수직이고 모두 길이가 1이면, 즉

정규직교 벡터들은 일차독립입니다.

정사각행렬 $Q$가 $Q^TQ = I$를 만족하면 직교행렬(orthogonal matrix)이라 합니다. 이때 $Q^{-1} = Q^T$입니다.

$Q^TQ = I$이면 모든 $\mathbf{x}, \mathbf{y}$에 대해

독립인 $\mathbf{a}_1, \ldots, \mathbf{a}_n$에 대해 차례로

위의 과정에서

1. $\mathbf{A}_1, \ldots, \mathbf{A}_n$은 서로 수직이고 모두 $\mathbf{0}$이 아닙니다.
2. 각 $k$에 대해 $\operatorname{span}\{\mathbf{q}_1, \ldots, \mathbf{q}_k\} = \operatorname{span}\{\mathbf{a}_1, \ldots, \mathbf{a}_k\}$.

열이 독립인 $m \times n$ 행렬 $A$는

1. $\det I = 1$.
2. 두 행을 바꾸면 부호가 바뀝니다.
3. 각 행에 대해 따로따로 선형입니다. 즉 다른 행들을 고정하면

$n \times n$ 행렬에 대하여

4. 두 행이 같으면 $\det A = 0$.
5. 한 행에서 다른 행의 배수를 빼도 $\det A$는 변하지 않습니다.
6. 영행이 있으면 $\det A = 0$.
7. $A$가 삼각행렬이면 $\det A$는 대각성분의 곱입니다.
8. $A$가 특이이면 $\det A = 0$이고, 가역이면 $\det A \ne 0$입니다.

9. $\det(AB) = \det A\det B$.
10. $\det A^T = \det A$.

$A$에서 제$i$행과 제$j$열을 지운 $(n - 1) \times (n - 1)$ 행렬을 $M_{ij}$라 합시다. $C_{ij} = (-1)^{i+j}\det M_{ij}$를 $(i, j)$ 여인수(cofactor)라 합니다.